一致连续的几何意义

1、补充：函数一致连续的概念补充：函数一致连续的概念设函数设函数f(x)在区间在区间 I 上连续，上连续， )()(lim,000 xfxfIxIxxx 有有则对则对或：对于或：对于 0, 0，当，当|x-x0|时，有时，有|f(x)-f(x0)| 0，是否可找到满足（，是否可找到满足（*）式一个）式一个最小的最小的，对，对 I 中的一切中的一切x0点都适合？点都适合？. 1, 1 . 0,1)( xxxf例例 0，要找对一切要找对一切 x00.1, 1都适用的都适用的。从主要。从主要不等式不等式 ,|11|0出发出发 xx)01(111000 xxxx要保证要保证,110200020 xxxxx

2、x.111 . 0min0202 xx取取定义定义 设设f(x)在区间在区间 I 上连续，若上连续，若 0, 0 （仅与仅与有关，与有关，与x0无关），对于无关），对于 I 上任意二点上任意二点x ,x ，只要，只要| x -x |，就有，就有| f(x )-f(x )| 0，对于任意的，对于任意的0，总可以找到区间，总可以找到区间 I 中的两点中的两点 x ,x ，虽然，虽然| x - x |，但是，但是|f(x )-f(x )| 例：例：1/x , x ( 0，1 .2）一致连续的几何意义）一致连续的几何意义一致连续函数一致连续函数 只要自变量只要自变量| x -x |，则函数值，则函数值

3、|f(x )-f(x )| 0，对一切对一切, ), 2 , 1(1 nnn ,1|,nxxbaxxnnnn 满足满足虽然存在两点虽然存在两点,| )()(|0 nnxfxf但是但是x na，b，x na，b (n=1,2,)，x n，x n是二个有界无穷数列，是二个有界无穷数列， “有界无穷数列定存在收敛的子数列有界无穷数列定存在收敛的子数列”取取x n的一串子列的一串子列 ，随之挑出，随之挑出x n的的子列子列 . 利用两个子列的关系利用两个子列的关系, 有有0 xxnk nkx |1|000 xxkxxxxxxnnnnnknkkkk.0 xxnk ,| )()(|0 nnkkxfxf二边

4、取极限，有二边取极限，有 | f(x0)- f(x0)| 0 ，矛盾！，矛盾！ f(x)在在a，b上一致连续。上一致连续。举例：举例：1. 证明证明 f(x)=sin( /x) 在（在（0，1）上连续有界的，但非一致连）上连续有界的，但非一致连续。续。证：命题的前一部分是显然的。现证它并不一致连续。证：命题的前一部分是显然的。现证它并不一致连续。，只要，只要n充分大，无论充分大，无论 怎样小，怎样小，0,2121,21 nxnxnn取取 |nnxx有有01|2sin)212sin(| )()(| nnxfxfnn然而然而 f(x)在在(0，1)上非一致连续。上非一致连续。xn 与与xn 可以非常靠近可以非常靠近2 . 函数函数 f(x)=x2在下列区间中是否为一致连续。在下列区间中是否为一致连续。a) （-l，l），），l是一正数；是一正数； b) 在（在（，+）上。）上。从从主主要要不不等等式式出出发发解解,0) a f(x)在（在（-l，l）上一致连续。）上一致连续。,2| |时时当当lxx | )() (|xfxf|2|)() (xxlxxxxxfxf 取取=2 ，当，当 x1-x2 时，有时，