基本初等函数与初等函数

1、2021/6/161a2021/6/1621.1.邻域邻域: :. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).,(aU记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 . ),(axaxaUxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 记记一些概念2021/6/163说明: 记号记号f和和f(x)的区别的区别: 前者表示自变量前者表示自变量x和因变量和因变量y之间的之间的对应法则对应法则, 而后者表示与自变量而后者表示与自变量x对应的函数值对应的函数值. 说明: 说明: 函数的记号还可用函数的记号还可用“g”、“F

2、”、“ ”等等, 此时函数就此时函数就记作记作y g(x)、 y F(x)、y (x)等等. 同一题中同一题中, 不同的函数应用不同的记号不同的函数应用不同的记号. 设数集设数集X、Y为两个非空实数集合，对任意为两个非空实数集合，对任意X中的元中的元素素x，按照某一对应规则，按照某一对应规则f ，Y中都有唯一的一个数中都有唯一的一个数y与之与之对应，则称规则对应，则称规则f : X Y为定义在为定义在X上的函数上的函数, 通常简记通常简记为为 y f(x), 其中其中x称为自变量称为自变量, y称为因变量称为因变量, X称为定义域称为定义域, 记作记作Df, 即即Df X. 2.函数概念 v定

3、义 下页2021/6/164 (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函数取整函数 y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x表示不超过表示不超过x 的最大整数的最大整数2021/6/165 若若存在数存在数K1, 使对任一使对任一x X, 有有f(x) K1, 则称函数则称函数f(x)在在X上有上界上有上界. 函数的有界性 若若存在数存在数K2, 使对任一使对任一x X, 有有f(x) K2, 则称函数则称函数f(x)在在X上有

4、下界上有下界. 若若存在正数存在正数M, 使对任一使对任一x X, 有有|f(x)| M, 则称函数则称函数f(x)在在X上有界上有界; 如果这样的如果这样的M不存在不存在, 则称函数则称函数f(x)在在X上无界上无界. 下页3.3.函数的性质函数的性质: :单调性、奇偶性、周期性、有界性单调性、奇偶性、周期性、有界性2021/6/166例、判断函数的奇偶性.11ln21. 1xxy ) 1ln(. 22 xxy2. 4xxeey 2. 3xxeey xxysin. 53 1、奇，2、奇，3、偶，4、奇，5、偶，6、偶xxxycos)|(|. 62 函数的性质函数的性质: :单调性、奇偶性、周

5、期性、有界性单调性、奇偶性、周期性、有界性4323xx或 62xx712x例、例、 求函数求函数y=+arcsin的定义域的定义域.。， 2021/6/1673.基本初等函数基本初等函数1）幂函数幂函数)( 是常数是常数 xy2）指数函数）指数函数)1, 0( aaayx3）对数函数）对数函数)1, 0(log aaxya4）三角函数）三角函数 与反三角函数与反三角函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2021/6/1682）指数函数）指数函数)1

6、, 0( aaayx3）对数函数）对数函数)1, 0(log aaxyaxay xay)1( )1( axyalog xya1log ) 1( a2021/6/1694）三角函数）三角函数正弦函数正弦函数xysin 与反三角函数与反三角函数-1,1，值值域域：定定义义域域：R:2,2,sin的反函数的反函数求求 xxyarcsinxy22,1 , 1 yx值值域域定定义义域域arcsinyx反反正正弦弦函函数数xycos 余弦函数余弦函数反反余余弦弦函函数数:, 0,cos的的反反函函数数求求 xxy yx0,1 , 1值值域域定定义义域域arccosyx 2021/6/1610 xycot

7、arc:), 0(,cot的的反反函函数数求求 xxy yx0),(值值域域定定义义域域cotyarcx xycot 余切函数余切函数R，值值域域：定定义义域域： kx 反反余余切切函函数数22 正切函数正切函数xytan R2，值值域域：定定义义域域： kx :)2,2(,tan的的反反函函数数求求 xxyarctanyx 反反正正切切函函数数22),( yx值值域域定定义义域域2021/6/1611(1)cot2xy ,uy ,cotvu .2xv 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用数复合步骤所构成并可

8、用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函初等函数数.*分段函数不是初等函数分段函数不是初等函数*2sin (31)(2)xye 例：分析下列复合函数的结构例：分析下列复合函数的结构uye ，2,uv sin,vw 31wx4.复合函数与初等函数复合函数与初等函数定义定义:,自变量x,中间变量u,因变量y2xxeex2xxeexxxxxeeeechxshxxxxxxeeeeshxchxx双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦sh, 双曲余弦双曲余弦ch,双曲正切双曲正切th, 双曲余切双曲余切cth等都是初等函数等都是初等函数.2021/6/1612例例1 1).(,0, 10, 2)(

9、,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x2021/6/1613,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx ).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设例例1 12021/6/1614双曲函数与反双曲函数2xxeeshx双曲正弦chxyshx

10、y),(: D奇函数奇函数.2xxeechx双曲余弦),(: D偶函数偶函数.1、双曲函数、双曲函数xey21 xey 212021/6/1615xxxeeeechxshxthxx双曲正切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,2021/6/1616双曲函数常用公式双曲函数常用公式;)(shychxchyshxyxsh;)(shyshxchxchyyxch; 122xshxch;22chxshxxsh.222xshxchxch2021/6/16172、反双曲函数、反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在arshxy)1ln(2xxarshxy反双曲正弦2021/6/

11、1618.), 1内单调增加内单调增加在在), 1 : Darchxy反双曲余弦).1ln(2xxarchxyarchx y2021/6/1619.11ln21xx )1 , 1(: D奇函数奇函数,.)1 , 1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切artharthxy xarthx y2021/6/1620例例1 已知函数 ,求 . 1) 2(xxf)1(xf解解 321) 2(xxxf31)1(xxf例例2 已知函数 ,求 . 21111xxf xf2112112111111222xxxxxxf解解 3)(xxf, 1|, 1, 1|, 0, 1|, 1)(xxxxfxexg)()()(xfgxgf和0, 10, 00, 1)(xxxxgf1, 1,1, 111,)(1xxexxexfg或，求，求， 例例32021/6/1621._)(,0,0, 0)(,0, 00,)(2 xfxxxxxx