2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习：《二次函数》动点问题压轴(含答案)

1、同步练习：二次函数动点问题压轴21如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=- x+6x-5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA、AC、CP,过点C作y轴的垂线I.(1) P的坐标, C的坐标；(2) 直线1上是否存在点 0,使厶PBQ的面积等于 PAC面积的2倍？若存在，求出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2. 如图所示，抛物线 y= ax2+bx+4的顶点坐标为(3,),与y轴交于点A.过点A作AB/ x轴，交抛物线于点 B,点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若点E在y轴的负半轴上，

2、且 AE= AD，直线CE交抛物线y= ax2+bx+4于点F. 求点F的坐标； 过点D作DG丄CE于点G,连接0D、ED，当/ ODE = Z CDG时，求直线 DG的函 数表达式./DT/5备用囹3. 如图，已知抛物线 y=-2x2+弓X+4,且与x轴相交于A, B两点(B点在A点右侧)与42y轴交于C点.(1) 若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与 B、C重合)，则是否存在一点卩，使厶PBC的面积最大.若存在，请求出厶 PBC的最大面积；若不存在，试说明理由.(2) 若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线 BC于点N,当MN =3时，求M点的坐标.卜A(1) 求抛

3、物线的解析式；(2) 如图(1),点D是直线CB上方抛物线上的动点，当四边形DCAB的面积取最 大值时，求点D的坐标；如图(2),连接 CA,在抛物线上有一点 M,满足/ MCB =Z ACO，请直接写出点M的横坐标.14.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线Ci： y=x求点D的坐标和直线 BC对应的一次函数关系式； 若正方形PQMN的一边PQ在线段AB上，另两个顶点 M、N分别在BC、AC上, 试求M、N两点的坐标；+6x+2的顶点为M，与y轴相交于点N,先将抛物线Ci沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2,直线I:y= kx+ b经过M , N两点.(1)求点M的坐标，并结合

4、图象直接写出不等式(2 )若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称，求 p的值及抛物线C2的解析式;(3)若抛物线Ci与x轴的交点为E、F，试问四边形EMBD是何种特殊四边形？并说明 其理由.(A左B右)，与y轴交于点C.其顶点为D.(3) 如图2, E是线段BC上的动点，过点E作DE的垂线交BD于点F，求DF的最小(0 2)参考答案1.解:2 2(1)T y=- x +6x- 5 =-( x- 3)+4,顶点 P ( 3, 4),令x = 0得到y=- 5, C (0,- 5).故答案为：(3, 4),( 0, - 5)；(2)令 y = 0, x2- 6x+5 = 0，解得 x= 1 或 5

5、, A (1, 0), B ( 5, 0),设直线PC的解析式为直线PC的解析式为y= kx+b,则有，解得:y= 3x- 5,设直线交x轴于D，则D C , 0),设直线PQ交x轴于E，当BE = 2AD时， PBQ的面积等于 PAC的面积的2倍,则直线PE的解析式为y=- 6x+22, Q (|，- 5),直线PE的解析式为y=- x+下,21-5),综上所述，满足条件的点 Q的坐标为:),y= a (x 3) 2+-* J = ax2 6ax+9a+二4,4抛物线解析式为y=丄 x2+_x+4；42x 4；2.解：（1）v抛物线y= ax2 *+bx+4的顶点坐标为(2)如图 1，设 C

6、 (m，-+ m2+*m+4);k.厂7-Dr5c1TAD = AE, AD / x 轴，CD / y 轴, AD = AE= m,/ OA= 4, OE= m 4,点E在y轴的负半轴上, E (0, 4 m),设CE的解析式为：y= kx+b,b=4-m磁廿-J#IT.十 4 CE的解析式为：y=解法一：.丄2 :-Tx ux+4=,15吩b=4-in15、.)x+4 m,154口巧解得()x+4 m,1) x+m= 0,-亍2+(x+4)( x m)= 0, xi = 4, X2= m,定点 F ( 4, 6)；(-丄x 1) m4x+442解法二：CE的解析式为：y =(-丄二一) x+

7、4 m=由画图可知：F是直线CE上的定点，1= 0,x= 4,定点 F ( 4, 6);连接0Q,由知：0E = m 4,/ DAE = / ADH = / EHD = 90 AD = AE ,四边形AEHD是正方形，/ EDH = 45 AD = AE= DH = EH ,/ ODE = Z CDG , / ODE+ / EDQ = Z EDQ+ / CDG = 45,即/ ODQ = 45 / ADO+ / CDG = 45在OA的延长线上取 AP = QH，连接PD ,/ PAD = Z QHD = 90 AD = DH , PAD QHD ( SAS), PD = DQ,Z ADP =

8、 Z CDG , AP= QH ,/ ADP+ / ADO = 45 = Z ODQ ,/ OD = OD , PDO QDO ( SAS),OP= OQ,/ EH = DH，/ EHC = Z DHQ，/ GEH = Z CDG , EHC 也厶 DHQ (ASA),1 o 91R CH = QH=-(m-4)= AP,4 z421* ROQ = OP= 4+ 一 一| 一 T,421517OE= m- 4, EQ = EH - QH = m- (丁皿 一111)=-皿m,在Rt OEQ中，由勾股定理得： OE2+EQ2= OQ2,1 S 7 （-三叮莎皿）m3 - 10m2 - 24m=

9、0,解得：mi = 0 （舍），m2= 12, m3 =- 2 (舍)， D (12, 4), Q (6,- 8),设直线DG的解析式为：y = kx+b,f L2k+b=416k+b=-8，解得b=-20直线DG的函数表达式为：y= 2x- 20 .3解:(1)当 x= 0 时，y =x +一x+4 =4,点 C的坐标为（0, 4）设直线BC的解析式为y= kx+b （k工0将 B (8, 0)、C ( 0, 4)代入 y= kx+b,+4 -（-x+4）=- x+2x,S/BC=y pdqb=X8?（-二x2+2x）=-242X）x22+8x=-（ x- 4） 2+16 .直线BC的解析式

10、为y=-丄X+4.假设存在，设点 P的坐标为（X,-二x2+二X+4） （ 0 v XV 8）,过点P作PD / y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（X,-二x+4），如图所示. PD =1当x= 4时， PBC的面积最大，最大面积是16./ 0 v xv 8,存在点卩，使厶PBC的面积最大，最大面积是 16.（2）设点M的坐标为（m, MN = |-丁 m2+_m+4 -（-则点N的坐标为（m,-m+4）1=丨-* m2+2m|.m+4）,又 MN = 3,2-1- - m2+2m|= 3.41 2当 0 v m v 8 时，有m2+2m - 3= 0,解得：mi = 2, m2 = 6

11、,点M的坐标为（2, 6）或（6, 4）;1 2当 mv 0 或 m 8 时，有-m2+2m+3 = 0,4解得：m3= 4-2 一 二 m4= 4+2.：点 M 的坐标为（4 - 2 ，7- 1 ）或（4+2 ，- 7- 1）.综上所述：M 点的坐标为（4-2 ,7- 1 ）、（ 2, 6）、（ 6, 4）或（4+2. ,- -1）.yf卜/34解：【问题】y= ax2+bx+二=a （x+1）（x- 3），解得：a= 丄，b = 1,故答案为：-1;【操作】抛物线 Gi沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线 G2,相当于抛物线向左平Q移3个单位，向上平移 亍个单位,2Gi： y= ax +

12、bxX22(x- 1) 2+2,1 /、2|3|12 3G2： y=-2 (x- 1+3) +2V2X -吩当 x寸，y=-x2-当 xv 0 时，y=-*x2+x+善；【探究】C点的坐标为（0,当y=21 23 3n,)解得：Xi= 0, X2= 2,31 t 2十2,尸),/- 4v xv- 2或Ov xv 1时，函数y随x的增大而增大;【应用】如图，过点 P作x轴的平行线交过点 D与x轴的垂线于点 M，交过E点与x轴的垂线于点N,/ EPN+ / MPD = 90 / MDP + / DPM = 90/ EPN=Z MDP ,3.ffw u卩 p?o tan/ EPN = tan/ MD

13、P，即，即 _；:，解得：m=：.汀，rW UM 4 J2m故点P的坐标为：5.解：(1)在 y=x2- 4 中，令 y = 0,则 x= 3，令 x= 0,则 y= - 4, B ( 3, 0), C ( 0, - 4);故答案为：(3, 0),( 0, - 4);(2)如图(2)，当P点运动到(-1,- 2)时，即处于点 Pi位置，此时，P (Pi) B 与O C相切； 1/ qE /k#XFXZ;/ A-kZvQ图（2） Pi （- 1,- 2）,而点B、C的坐标分别为（3, 0）、（ 0,- 4）, PiB2= 20 , PiC2= 5, BC2= 25，故 PiB2+piC2= BC

14、2, CPPiB,- PiB与O C相切；（3）存在点P,使得 PBC为直角三角形，当PB与O相切时， PBC为直角三角形，如图（2）, 连接BC,/ OB= 3. OC = 4,BC= 5,CP2丄 BP2, CP2= 一 ： BP2= 2 .乙过P2作P2E丄x轴于E, P2F丄y轴于F, 则厶 CP2FBP2E,P 尹 CP2L设 OF = P2E = 2x, FP2= OE = x, BE = 3 x, CF = 2x 4,BE 3-k _211 c 22-x=, 2x=,i6EP2P2 (221122二）27由（2）知，Pi符合条件，即 Pi （- 1 , - 2）;综上所述：点P的

15、坐标为：（-1 , - 2）或（里，-単）； OE =P,BE= EP,.当AP最大时，0E的值最大，5+一 ,当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值=. OE的最大值为_二-故答案为:6解：（1）当 x= 0 时，y= 2 1 ；，当 y= 0 时，x=-2,必B（0,晒）,=4, BC= AB =4a-2b+c=016a+4b+c=23 戶2廣故抛物线的表达式为:_V3b 3lc=2V3y忑y=-解得+2打：:;X2(2)过点P作PH丄x轴于H，交AC于点G,，解得 二.T03y 3 s 3-丄J ；-止/ BAO= 60设则 l ：A?四边形ABCD为菱形,/ CAD = 30/

16、PGE=/ AGH = 60- r r PG2亍一V3_ I ；=当x= 1时，PE最大，最大值为;4(3)由(2)知：/ CAD = 30 = / EAF ,则/ AFE = 90 -/ EAF = 60当厶OPF为等腰三角形，则 OPF为等边三角形，则直线 OP的倾斜角为60设直线OP的表达式为：y =.】x，联立并解得：x=- 2戈:，点P为AC上方抛物线上一动点，即-2 V XV4,故 x =- 2+2 _故点 P (- 2+2 ：:, 6 - 2 ：;).7.解：(1)在 y=- x- 3 中，令 x= 0，得 y=- 3；令 y= 0，得 x=- 3. B (- 3, 0), C

17、(0, - 3).设抛物线的函数解析式为y= a (x+3)( x- 1).将点C (0, - 3)代入，得a= 1. 抛物线的函数解析式为y= x2+2x- 3;(2)如图1,过点P作PE丄x轴于点E，交BC于点F.设点P的坐标为(t, t2+2t - 3)，则点F的坐标为(t, - t - 3) PF =- t- 3 -(t2+2t - 3) =- t2- 3t.S 四边形 ABPC= SBPC+ Sa ABC =PF?OB+二 AB?OC =V 0,2当t= 时，S四边形ABPC取得最大值.此时点P的坐标为:-；如图2,作点P关于x轴的对称点P,PP交x轴于点I，连接AP,AP,过点P作

18、PJ丄AP于点J,交x轴于点G.112当 GJ = -AG 时，pg+J5ag取得最小值，此时sin/ GAJ-55|ag5tan/ GAJ .AJ 2设点 P 的坐标为(t, t2+2t - 3)，则 PI = - t2- 2t+3 , Al = - t + 1.由对称的性质，得/ PAI = / GAJ ,PIJj=tan/ PAI-t2-2t+-31-t-bl_2，即5解得ti= , t2= 1 (舍去) .此时点P的坐标为(3) DM + DN是定值.如图3,过点Q作QH丄x轴于点H ./ ND丄x轴,.QH / ND . BQHBND , AMD AQH ._BH DjL AD设点Q

19、的坐标为(k, k2+2k- 3),则 HQ =- k2- 2k+3 , BH = 3+k, AH = 1 - k./ D是抛物线的对称轴与 x轴的交点,AD = BD = 2.9-k -2k+33+LcDJI2DN_ 2-k2-2k+31-kDN = 2- 2k,DM =2k+6. DM+DN = 2k+6+2 - 2k= & DM+DN是定值，该定值为 8&解:(1)把点B (4, m)代入y= x+中，得m=5豆,(4 )把点A (- 1 , 0 )、B (4, 一)、C (0,）代入抛物线中，得a-b+=O16a+4b+c=Q解得2* b=-l3c=I. 2x2 - x-2抛物线的解析

20、式为 y=x2- x3122(x- 1) 2-2,点M的坐标为（1 , - 2）.（2）点P为直线AB下方抛物线上一动点,如图1所示，过点P作y轴的平行线交AB于点H , 叶/cEi设点P的坐标为（m,1 -PAB = 丁?HP? (Xb- XA)=3 nt .-m-丁)，则点 H (m,片-丄2 ( 2一 m+),m25m+2) X5 =-壬(m-V 0，当m=#时，S最大，最大为1 容，此时点P （号， M (1 , - 2), A (- 1, 0), AMD为等腰直角三角形，设点N的坐标为(n，土n2- n),/ QENA MFQ (AAS),FQ = EN= 2, MF = EQ =

21、， 2解得n= 5或-1 （舍），点Q的坐标为（7, 0）,根据对称性可知，点 Q的坐标为（-5, 0 ）时也满足条件， ADM是等腰直角三角形，当点Q是AD的中点，N与A或D重合时， QMN MAD , 此时Q （1, 0）时.综上所述：点 Q的坐标为（7, 0）或（-5, 0）或（1, 0）.9解：（1）v抛物线的顶点为（1,- 4）,设抛物线的解析式为y= a （x- 1） 2 - 4,将点C (0, - 3)代入抛物线y= a (x - 1) 2 - 4中，得a - 4=- 3,a = 1,抛物线的解析式为y= a (x- 1) 2 - 4= x2- 2x- 3；(2)由(1 )知，抛

22、物线的解析式为y= x2- 2x-3,令 y = 0,贝y x2- 2x- 3 = 0, - x=- 1 或 x= 3, B (3, 0), A (- 1, 0),令 x = 0,贝U y=- 3, C (0,- 3), AC=、i,设点 E (0, m),贝U AE=2十,CE =|m+3|, ACE是等腰三角形，当 AC =AE 时，一 .=.|， m= 3或m=- 3 (点C的纵坐标，舍去)，- E (3, 0),当 AC = CE 时，一 .=|m+3|, m=- 3 ii, E (0,- 3+ . II)或(0,- 3- II),当AE = CE时，占2十=|m+3|,4m=-即满足

23、条件的点 E的坐标为(0,3)、( 0, - 3+顷)、(0, - 3-右帀)(0,亠)一，(3)如图，存在，T D (1,- 4),将线段BD向上平移4个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q,此时点D的对应点就是点 P,设 Q (t, 4),将点Q的坐标代入抛物线 y= X2-2x- 3中得，t2-2t-3= 4, t= 1+2-或 t = 1-2 :Q (1+2 _ ;, 4)或(1-2 】:,4),分别过点D , Q作x轴的垂线，垂足分别为F, G,抛物线y= X2- 2x- 3与x轴的右边的交点 B的坐标为(3, 0),且D( 1,- 4),

24、FB = PG = 3- 1= 2,.点 P 的横坐标为(1+2 ：-)- 2 =- 1+2 :或(1- 2 -)- 2=- 1 - 2 -,即 P (- 1+2，0)、Q (1+2 丄 4)或 P (- 1 - 2 -, 0 )、Q (1 - 2 二，4).C4110.解：(1 )把 O (0, 0), A (3, 3)代入得:解得:a=-lc-0则抛物线解析式为y=- x2+4x；(2)设直线OA解析式为y= kx,把A (3, 3)代入得：k= 1,即直线OA解析式为y= x,/ PB丄x轴， P, C, B三点纵坐标相等, B ( m, 0),.把 x= m 代入 y= x 中得：y=

25、 m, 即卩 C ( m, m),把 x = m 代入 y=- x2+4x 中得：y= m2+4m,l卩 P (m,- m2+4m),/ P在直线OA上方,22当m=- PC=- m +4m- m=- m +3m (0v mv 3),=二时，PC取得最大值，最大值为=二.4 211.解：(1 )二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x轴交于 A (3, 0), B (- 1, 0),L2+-3b-hs=Q4-b+c-0解得p,4 9 g二次函数的解析式为 y=-x 卫一生;(2)如图，D点关于PQ与A点对称，过点 Q作FQ丄AP于F,/ AP= AQ = t, AP= DP , AQ= DQ

26、 ,AP= AQ = QD = DP,四边形AQDP为菱形./ FQ / OC, AF FQ tr 4胪卡t ,囤亍，Q(3-尹yt)./ DQ = AP = t ,-t ./ D在二次函数/ D在二次函数上,145t =64 ,或t = 0 （与A重合，舍去），（3）存在满足条件的点 E,点E的坐标为（-(-1, 0)或(7 ,0).如图，过点 Q作QD丄OA于D,此时QD / OC , A (3 , 0) , B (- 1 , 0) , C (0 , - 4) , O (0, 0),AB= 4, OA = 3, OC= 4,-：；丄;一,，AQ = 4 QD / OC,QDADAQ0C _

27、A0 ACWAD4|43,即厶AEQ为等腰三角形.作AQ的垂直平分线，交 x轴于E，此时AE = EQ,x|.设 AE = X,贝V EQ= x, DE = AD - AE|=严10在 RtA EDQ 中，（一-x）52= x2,解得x=1010j3 OA AE= 3 E （,0），点E在x轴的负半轴上;以Q为圆心，AQ长半径画圆，交 x轴于E,此时QE = QA= 4, ED = AD =二,AE = OA-AE =3- E（-, 0）；当AE = AQ= 4时,T OA - AE= 3 - 4=- 1,或 OA+AE= 7, E （- 1, 0）或（7, 0）.一 11 9综上所述，存在满

28、足条件的点 E,点E的坐标为（-可，0）或（-厂，0）或（-1, 0） 或（7, 0）.a1 r - j =i口号r:B ；x :片、工J11 1：/L: :/L；：X / J / /CC广r1 =12解：(1)直线y= x+4与坐标轴交于 A、B两点,当 x = 0 时，y= 4, x = 4 时，y= 0, A ( 4, 0), B (0, 4),把A, B两点的坐标代入抛物线解析式得抛物线的解析式为产今4 ；f-4b-c=8tc=4，解得b=-l PFDOBD ,(2)如图1 ,作PF / BO交AB于点F,PD Jgg I ,当PF取最大值时，有最大值，设 P (X,今/-耳十4)，其

29、中-4v xv 0,则 F (x, x+4), 二PF =卩口-升二今拝F十4一(X十4)=今/一，Tv 0且对称轴是直线 x =- 2,当x=- 2时，PF有最大值，此时 PF = 2,.讣丄 T _；点 C (2, 0), CO = 2,如图2,点F在y轴上时，过点P作PH丄x轴于H ,f:在正方形 CPEF 中，CP = CF，/ PCF = 90/ PCH+ / OCF = 90 / PCH + Z HPC = 90./ HPC = Z OCF ,在厶 CPH 和厶 FCO 中，Z HPC = Z OCF , Z PHC = Z COF , PC = FC ,CPHBA FCO (AA

30、S),PH = CO = 2 ,点P的纵坐标为2 ,解得, 1, _ | - , _ |13.解:亠1(1)由题意得：力,故抛物线的解析式是:（2设直线BC的解析式为y= kx+.直线BC过点B (3, 0), 0 = 3k+:,则k=故直线设直线警吨m解析式为，且直线m/直线BC,bc解析式为y=当直线四边形DCAB有最大值.m与抛物线只有一个交点时，点 D到BC的距离最远，此时 BCD取最大值，故V3 , V3 2 23 I ， =（- 3一；）2-4X. -：x（ 3b-3 ：）= 0时，直线m与抛物线有唯一交点,解之得：，-一丄4则直线m的表达式为：y=- 一 X+；,联立并解得易晋;

31、存在，点M的横坐标为一 或丄; D符合条件的直线有两条：CMi和CM2 （分别在CB的上方和下方），（I）V在 Rt ACO 中，/ ACO = 30 在 Rt COB 中，/ CBO = 30/ BCMi=Z BCM 2= 15在 BCE 中，/ BCE = Z BEC2= 15 BC= BE=3.F：,则E （八乜0）,设直线CE解析式为：卜- ；-：,二+_ :-:,解之得：-二，直线CE解析式为：尸（伍（73-2）1+73解得：xi= 0, X2= 2 : - 1;（n）T在 Rt OCF 中，/ CBO = 30 / BCF = 15在 RtA COF 中，/ CFO = 45 OC = OF =:， F （ .；,