复变函数课件学习

1、 2.1: 复变函数的积分复变函数的积分 2.2: 柯西定理柯西定理2.3: 不定积分不定积分2.4:柯西积分公式柯西积分公式本章小节本章小节 (1) 柯西定理柯西定理(单、复连通区域单、复连通区域); (2) 柯西积分公式柯西积分公式(单、复连通单、复连通,无界区域无界区域);LLLLPPQQQPLL2.1 复变函数的积分LLLL( )( , )i ( , )f zu x yx ywvLLLab011, , , , ,kknz zzzz1 (1,2,., )kkzzknk1()nnkkkSfz1kkkzzz1maxkk ns 0nS( )dLf zz01( )dlim()nkkLkf zzf

2、z()dLfzz( )f z( )dLfzz()dLfzzn0(,)kk ( )f z,u v( )d ( , )d( , )d i ( , )d( , )d LLLf z zu x y xx y yx y x u x y yvv( )dLf zz( )df zz(i )(did )uxyv( )dddi( dd )f zzu xyxu yvv( )fz( )dLf zz( )dCfzz( )f zLL1L2L12( )d( )d( )dLLLf z zf z zf z zk( )d( )dLLkf zzkf zz1212 ( )( )d( )d( )dLLLf zf z zf z zf z

3、z ( )d( )dLLf zzf zz LL( )d( ) d( ) dLLLf z zf zzf zSdS22d(d )(d )Sxy111()()()nnnkkkkkkkkkfzfzfS,kkzSL1kkzz( )d( ) d( ) dLLLf zzf zzf zSLLL( )f z( )f z( ) (0)f zMM( )dLf zzMll( )f zL( )f zM( ) dddLLLf zSM SMSMl( )d( ) dLLf zzf zS( )dLf zzMl L D 图 2.2 l G ()f z( )f zDDl( )d0Lf zz ( )d0lf zz ( )( , )

4、i ( , )f zu x yx y v( )fz( )dddidd()d di()d dLLLDDf z zu xyx u yuux yx yxyxyvvvv, uuxyxy vv( )d0Lf z z DGl, LlDG( )d0lf zz D( , ), ( , )P x y Q x y( , )d( , )dd dLDQPP x y x Q x y yx yxyDD( )f zD0z1z12,C CD0z0z0z1zz1z1z1120( )d( )d( )dzCCzf z zf z zf z z0( )dzzf0( )( )dzzF zf( )F z定理定理 2.2.4 如果如果 在单

5、连在单连通域通域 内处处解析内处处解析,则则 在在D内也解析内也解析,并且并且( )( , ) i ( , )f zu x yx y v( )F zD( )( )F zf z( ),( )G zH z( )f z( )( )0G HGHf zf z( )( )G zH zC2zD( )G z( )f z1z110012( )d( )( )( )zzzzf z zG zG zG z 不失一般性不失一般性,取取n1进行证明进行证明. 有下述定理有下述定理: 定理定理 设设 L和和 为复连通区域内的两条简单闭为复连通区域内的两条简单闭曲线曲线,如图如图2.5所示所示, 在在L内部且彼此不相交内部且彼

6、此不相交,以以 和和L为边界所围成的闭区域为边界所围成的闭区域 全含于全含于D则对于则对于区域区域D内的解析函数内的解析函数 有有1C1C1D( )f z 1( )d0LCfzz 1( )d( )dLCf zzf zz( )d( )dCCf z zf z z ( )d( )dCCf zzf zzC( )d( )dCCf zzf zz ( )fz0z001( )()d2iLf zf zzzz00( )( )ddLKf zf zzzzzzz0000000()( )()dd( )()2i ()dKKKf zf zf zzzzzzzf zf zf zzzz( )f z0z0000( )d2i ()Lf zzf zzz0000( )()( )()ddd2KKKf zf zf zf zzzSzzzzR|,( )0zf