映射与函数习题

1、广州至慧教育学生姓名 就读年级 授课日期 教研院审核 【知识点回顾】1函数的概念一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个(任意性)元素X，在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y和它对应，这样的对应 叫做集合 A到集合B的一个函数 (三性缺一不可)函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应这种 特殊对应”有何特点：1).可以是 一对一” 2).可以是 多对一” 3).不能一对多” 4). A 中不能有剩余元素5).B中可以有剩余元素判断两个函数相同：只看定义域和对应法则2映射的概念一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A

2、中的每一个 元素x,在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应f: AB为从集合 A到 集合B的一个映射(mapping )。思考：映射与函数区别与联系函数一一建立在两个非空数集上的特殊对应映射一一建立在两个非空集合上的特殊对应1) 函数是特殊的映射，是数集到数集的映射.2 )映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数.3)映射与函数都是特殊的对应思考：映射有“三性”： “有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射； “存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合 B中都存在元素和它对应； “唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一

3、的.3用映射定义函数(1) .函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末 A到B的映射f:A t B就叫做At B 的函数。记作：y=f (x).(2) 定义域：原象集合A叫做函数y=f (x)的定义域。(3) 值域：象的集合C (C B)叫做函数y=f (x)的值域。定义：给定一个集合 A到集合B的映射，且a A， b B。如果元素a和元素b对应，那 么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。给定映射f: AtB。则集合A中任何一个元素在集合 B中都有唯一的象，而集合 B中的元 素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。问题1:下图中的(1) ( 2)所示的映射有什么特点答

4、：发现规律：(1)对于集合A中的不同元素，在集合 B中有不同的象，我们把这样的映射称为单射。(2)集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。定义：一般地，设A、B是两个集合。f: At B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合 A的不同元素，在集合 B中有不同的象，且 B中每一个元素都有原象，那 么这个映射叫做 A到B上的映射。注意:1)满是映射，B到A也是映射。2)映射和一一映射之间的充要关系，映射是一映射的必要而不充分条件3)映射：A和B中元素个数相等。例2：判断下面的对应是否为映射，是否为一一 映射1) A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64, 对应法

5、则 f: a tb = (a-1)2答：是映射，不是一一映射。(如右图所示可以很容易可能出。)2) A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4,对应法则f:求平方根答：不是映射。3) A=Z , B=N*，对应法则f :求绝对值答：不是映射。4) A=11,16,20,21,B=6,2,4,0, 对应法则 f :求被 7 除的余数答：是映射，且是映射。(x,y)|x,y R , f是从A到B的映射f:x t (x+1,x2).例3:已知集合A=R,B=(1)求 2在B中的对应元素(2) (2,1)在A中的对应元素解：(1)将x= 2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为(.2 +1

6、, 2)(2 )由题意得：x+仁2x2=1 x=1即(2,1 )在A中的对应元素为1例 4：设集合 A=a、b,B=c、d、e(1 )可建立从 A到B的映射个数 .(2)可建立从 B到A的映射个数 .答：9,8 (可以试着画图看看)小结：如果集合 A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合 A到集合B的映射 共有nm 个。【映射例题精解】例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是为什么设 A=1,2,3,4, B=3,5,7,9设 A=1,4,9,B+-1,1,-2,2,-3,3设A=R B=R对应关系是f(x)=x 设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x 解析：1、是一一

7、映射，且是函数2、不是映射(象是有且唯一)3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为对应关系是f(x)=2x+1,x 属于A对应关系是 A中的元素开平方 的3次方，x属于A 的2次方+1, x属于AB中不是所有值在 A中都有对应。从A到B的映射共有2A3=8个:(a, b,c)(0 ,0 ,0)；(a, b,c)(0 ,0 ,1);(a, b,c)(0 ,1,0);(a, b,c)f(1,0 ,0);(a, b,c)f(0 ,1,1);(a, b ,c)f(1,0 ,1);(a , b ,c)f(1,1,0);(a , b ,c)f(1,1,1)。例3假设集合m=0 -1 1 n=-

8、2 -1 0 1 2映射f:MN满足条件“对任意的x属于M,x+f(x)是奇数”，这样的映射有_个 当x=-1时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M都有x+f(x)是奇数”f(-1)=-2,0,2 当x=0时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1 当x=1时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数f(1)=-2,0,2综上可知，只有第种情况有限制，所以这样的映射共有3X 2X 3=18个例4设集合A=-1 , 0, 1 B=2, 3, 4, 5, 6 从A到B的映射f满足

9、条件：对每个X A有f (X) +X为偶数 那么这样的映射f的个数是多少映射可以多对一，要让f (X) +X=偶数，当X=- 1和1时，只能从B中取奇数，有3, 5两种可能，当X= 0从B中取偶数有2 4 6三种，则一共有2X 2X 3= 12个以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有 n种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m+n中不同的方 法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二 步有n种不同的方法.那么完成这件事共有 N=nXn种不同的方法例 5 已知：集合 M a,b,Q ,

10、 N 1,0,1，映射 f:M N 满足 f(a) f(b) f (c) 0 , 那么映射f : M N的个数是多少思路提示：满足 f (a) f (b) f (c)0,则只可能 0 0 00 1( 1) 0,即 f (a)、f(b)、f(c)中可以全部为0,或0,1, 1各取一个.解： f (a) N, f (b) N, f (c) N，且 f (a) f (b) f (c)0有 0 0 00 1( 1) 0 .当f (a) f(b) f (c)0时，只有一个映射;当f (a)、f (b)、f(c)中恰有一个为此所求的映射的个数为 1+6=7 .例6给出下列四个对应：其构成映射的是0 ,而另

11、两个分别为1 , 1时，有32=6个映射.A只有B 只有C只有D 只有答案:B提示:根据映射的概念，集合A到集合B的映射是指对于集合 A中的每个兀素，在集合中都有唯一确定的值与之相对应,故选择B .例7.若函数f (x)满足 f (xy) f(x)f(y)x, y R，则下列各式不恒成立的()答案:D提示:令y0 有 f (x)f(x)f(0)，f(0)0 , A正确.令xy 1，有 f(3)f(2)f(1) f(1)f(1)f(1) 3f (1), B 正确.令x1y 2，有 f(1)fG)f(T 2f(，1 1f(2) f(1)，c正确.()令y由于 于是当xx，则 f (0) f (x)

12、 f ( x). f(0)0 , f( x)y 0 时，f (f (x),x) f (x)0，故 f ( x)f(x)0不恒成立，故选D例8.已知集合P x 0x 4, Q y0 y2，下列不表示从 P到Q的映射是(答案：C提示：C选项中f：x28-x，则对于P集合中的元素4,对应的元素-，不在集合Q中,33不符合映射的概念.例9.集合A 3, 4到A的映射个数是_答案：9,8提示：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法(可对应5或6或7),5, 6,7,那么可建立从 A到B的映射个数是第二步A中的元素4也有这3种对应方法.则不同的映射种数 M 3 3 9 .反之从B到A ,

13、道理相同，有N22 2 28种不同映射.例10.如果函数f (x) (xa)3对任意R都有 f(1 x) f(1 x)，试求 f(2) f( 2)的值.解：对任意 当 x 即 f (1)x R，总有0时应有f (1f(1). f(1) 0.f(1 x)0)f(1f(10)，又- f(x) (x a)3 , f(1) (1a)3.x),故有(1 a)30 (，则 a 1 . f (x) (x 1)3. f(2) f( 2) (2 1)3 ( 2 1)326 .【课堂练习】1. 设f:A 是集合A到集合B的映射，则正确的是()A. A中每一元素在 B中必有象B. B中每一元素在 A中必有原象C.

14、B中每一元素在 A中的原象是唯一的D. A中的不同元素的象必不同2. 集合A=3,4,B=5,6,7, 那么可建立从 A到B的映射个数是 ，从B到A的映射个数是.3设集合A和B都是自然数集N,映射f:A 把集合A中的元素n影射到集合B中的元素 2nn，则在映射 f下，象20的原象是()A.2B.3C.4D.54. 如果(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是()3113A. (3， 1) B. (,) C. (， ) D. (-1 , 3)222 25. 已知点(x , y)在映射f下的象是(2x y, 2x + y),求(1)点(2,3 )在映射 f下的像

15、；(2)点(4 , 6)在映射f下的原象.6. 设集合 A = 1,2,3,k,B =4,7,a4,a2+ 3a,其中 a,k N,映射 f:At b，使 B 中元素 y = 3x + 1 与A中元素x对应，求a及k的值.【综合练习】一、选择题：1. 下列对应是从集合 A到集合B的映射的是()A . A=R, B=x|x 0 且 x R , x A, f: xt |x|B. A=N , B=N +, x A, f: xt|x 1|C. A= x|x0 且 x R , B=R, x A, f: xtx21D. A=Q , B=Q , f: xtx2. 已知映射f:A B，其中集合A = 3, 2

16、, 1, 1, 2, 3, 4，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a A，在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的兀素的个数是()A . 4B . 5C. 6D . 73 .设集合A和B都是自然数集合N，映射f: AtB把集合A中的兀素n映射到集合B中的兀素2n + n,则在映射f下，象20的原象是()A . 2B . 3C. 4D. 5关系式是c aA . y= xc ba cC. y= xb c2x 35.函数y=的值域是2x 34.在x克a%的盐水中，加入 y克b%的盐水，浓度变成 c%(a,bO,az b),贝U x与y的函数c aB. y=xb cb cD. y

17、=xc aA .( m, 1 ) U ( 1 ,+8 )B .(m, 1) U (1 ,+m )C .(m, 0 ) U (0 ,+m )D .(m, 0) U (1 ,+m )6.下列各组中，函数f(x)和g(x)的图象相同的是()A .f(x)=x, g(x)=( . x )2B .f(x)=1 , g(x)=x0/ 2x,x (0,)C .f(x)=|x|, g(x)= xD .f(x)=|x|, g(x)=x,x (,0)7.函数y= .1 x2x2 1的定义域为()A .x| 1 w x 1C .x|0w x 1)C . f(x)=x2 2x(x 1)12 .已知函数fx + 1)=

18、x+ 1,则函数f(x)的解析式为A . f(x)=x2D . f(x)=x2 2x+ 2(x 1)二、填空题：13 .己知集合 A =1 , 2, 3, k , B = 4 , 7, a4, a2+ 3a，且 a N* , x A , y B,使 B中元素y=3x+ 1和A中的元素x对应，则a=_, k =_.14. 若集合 M= 1 , 0, 1 , N= 2, - 1 , 0, 1 ,2，从M到N的映射满足：对每个x M ,恒使x+ f(x)是偶数，则映射f有 个.15. 设 f(x 1)=3x 1，贝U f(x)=_.16. 已知函数f(x)=x2 2x+ 2,那么f(1), f( 1), f( . 3 )之间的大小关系为 .三、解答题：17. (1)若函数y= f(2x+ 1)