旋转体的体积

1、授课课题定积分的应用（二）教学目标和要求掌握利用定积分来求解平面图形的面积和旋转体的体积教学重点和难点平面图形的面积旋转体的体积教学方法情景教学法教学手段板书PPT授课时间第18周课时累计53-54教学过程教学步骤及教学内容时间分配5一，复习引入(1) 前面学习了定积分的求解方法也与原函数有关(2) 并且掌握了定积分的直接积分法(3) 学会了定积分的换元积分法与分布积分法(4 )那么我们定积分在实际应用中主要起到什么样的作用呢？ 新课：15二、体积1、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立 体，该定直线称为旋转轴.计算由曲线y f(x)直线x a，x b及x轴

2、所围成的曲边梯形, 绕x轴旋转一周而生成的立体的体积.%$79.VIIrirb取x为积分变量，则x a,b，对于区间a,b上的任一区间x,x dx，教学步骤及教学内容时间分配15例1求由曲线y hx及直线x绕x轴旋转而生成的立体的体积0 ,x h(h 0)和x轴所围成的三角形解：取x为积分变量，则x 0,h2-x dx hh2x dxh0102、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算 如它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f(x)为底半径，dx为高

3、的圆柱体体积.即：体积元素为dV f(x) 2dx所求的旋转体的体积为b2V f(x) dxa取定轴为X轴，且设该立体在过点x a , x b且垂直于X轴的两教学步骤及教学内容时间分配15个平面之内，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积.取x为积分变量，它的变化区间为a,b.立体中相应于a,b上任一 小区间x,x dx的一薄片的体积近似于底面积为 A(x)，高为dx的扁圆 柱体的体积.即：体积微元为 dV A(x)dxb于是，该立体的体积为V A(x)dxa2 2例2计算椭圆 笃 笃 1所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积a b解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆 y b a2 x2及x轴

4、所围成的a图形绕x轴旋转所生成的立体在x处(a x a)，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为A(x)(-Va2 x2)2aaV A(x)dxab2 a( 2(ax2)dx - ab23三、定积分在经济学中的应用15定积分在经济学中的应用主要是已知边际函数，要求总函数的问题.已 知边际成本函数 MC,边际收入函数 MR,则总成本函数C(q),总收入函数R(q)可以表示为教学步骤及教学内容时间分配qC(q) 0(MC)dq C。A C0其中co为固定成本，一般有C(0) C,R(O) 0.15R(q) 0(MR)dq由总利润函数L(q) R(q) C(q)得qL(q) R(q) C(q)= 0(MR MC )dq Co例4某产品边际成本为MC=3+q (万兀/百台)，边际收入MR=12-q(万兀/百台)，固疋成本为5万兀，试求利润函数L (q ).q解：由利润函数 L(q) R(q) C(q)= 0 (MR MC)dq C。得qL(q) R(q) C(q)= 0(12 q) (3 q)dq 5=q2 9q 5五，课堂小结旋转体的体积与定积分在经济上的应用作业布置P105 T4、6、9课后反思：旋转体的体积也是定积