arc曲线的凹凸性与拐点PPT教学课件

1、上的图形是在则称恒有上任意两点若对上连续在区间设IxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(,)(212121,2)()()2(2121xfxfxxf恒有;）（向上）凹的（或凹弧上的图形是在则称Ixf)(）（向上）凸的（或凸弧上的图形是在则称的或凸内的图形是凹且在上连续在若,)(,)(),(,)(baxfbabaxf.)(的或凸凹 注意：凹上凹；凸下凹第1页/共16页xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)() 1 (),(,),(,)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在

2、一阶和二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf 二、曲线凹凸性的判别第2页/共16页例1.3的凹凸性判断曲线xy 解,32xy ,6xy 时，当0 x, 0 y为凸的；在曲线0 ,(时，当0 x, 0 y为凹的；在曲线), 0 .)0 , 0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到注意到: :第3页/共16页注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.三、曲线的拐点及其求法 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 0)()(,(),()(00000 xfxfxxxxf是拐点的必要条件是点内存在二阶导数，则在若定理定理2第4页/共16页求法求法: :, 0)(,)(00 x

3、fxxf且的邻域内二阶可导在设函数;)(,(,)() 1 (000即为拐点点变号两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx 例2.14334的拐点及凹、凸的区间求曲线xxy解),( :D,121223xxy).32(36 xxy, 0 y令.32, 021xx得第5页/共16页).,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凸的凹的拐点拐点) 1 , 0()2711,32(第6页/共16页.)()(,(,)(000的拐点也可能是连续曲线点不存在若xfyxfxxf 注意注意: :例4.3的拐点

4、求曲线xy 解,0时当 x,3132xy,9435 xy.,0均不存在是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内但在;0 ,(上是凹的曲线在 , 0,), 0( y内在.), 0上是凸的曲线在.)0 , 0(3的拐点是曲线点xy 第7页/共16页四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性; ;改变弯曲方向的点拐点;凹凸性的判定.拐点的求法.第8页/共16页思考题思考题设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.第9页/共16页思考题解答思考

5、题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐点不一定是拐点.例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲线并不是曲线)(xf的拐点的拐点.第10页/共16页一、一、 填空题：填空题：1 1、 若函数若函数)(xfy 在在 （ba,） 可导， 则曲线） 可导， 则曲线)(xf在在( (ba,) )内取凹的充要条件是内取凹的充要条件是_._.2 2、 曲线上曲线上_的点，称作曲线的拐点的点，称作曲线的拐点 . .3 3、 曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、 曲线曲线)1l

6、n(xy 拐点为拐点为_._.二、二、 求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间 . .三、三、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点 . .练练 习习 题题第11页/共16页三、三、 证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、 当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ；2 2、 当当4 x时，时，22xx ；3 3、 若若0 x，则，则361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根. .五、五、 设

7、设)(xf在在 ba, 上连续，在上连续，在( (ba,) )内内)(xf , ,试证试证 明：对于明：对于 ba, 上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 第12页/共16页五、五、 试证明曲线试证明曲线112 xxy有三个拐点位于同一直线有三个拐点位于同一直线上上 . .六、六、 问问a及及b为何值时，点为何值时，点(1,3)(1,3)为曲线为曲线23bxaxy 的拐点？的拐点？七、七、 试决定试决定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲线的拐点处使曲线的拐点处的法线通过原点的法线通过原点 . .第13页/共16页一、一、1 1、),()(baxf在在 内递增或内递增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界点；、凹凸部分的分界点；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4、)2ln, 1(),2ln, 1( . .二、拐点二、拐点),21(21arctane, ,在在21,(内是凹的内是凹的, ,在在),21内是凸的内是凸的. .四、拐点四、拐点)23,332(aa及及)23,332(aa . .五、五、).)32