ARCH和GARCH估计PPT教学课件

1、1 Supplementary 自自回归条件异方差模型回归条件异方差模型 自 回 归 条 件 异 方 差自 回 归 条 件 异 方 差 ( A u t o r e g r e s s i v e C o n d i t i o n a l Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。并对其进行预测的。 ARCH模型是模型是1982年由恩格尔年由恩格尔(Engle, R.)提出，并由博勒斯莱文提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为发展成为GARCH (Generali

2、zed ARCH)广义广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。在金融时间序列分析中。 第1页/共35页2 为了说得更具体，让我们回到为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：变量回归模型：(10.5.1) 如果如果 ut 的均值为零，对的均值为零，对 yt 取基于取基于(t-1)时刻的信息的期望，即时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的有如下的关系：关系： (10.5.2)由于由于 yt 的均值近似等于式（的均值近似等于式（10.5.1）的估计值，所以式（）的估计值，所以式

3、（10.5.1）也称为）也称为。ttkkttuxxy110ktkttttxxxy221101)(E第2页/共35页3 由于由于(10.5.7)中中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为们称它为ARCH(1)过程：过程：然而，容易加以推广。然而，容易加以推广。 例如，一个例如，一个ARCH ( (p) )过程可以写为：过程可以写为：（10.5.8）21102)var(tttuu222221102)var(ptpttttuuuu第3页/共35页4 如果扰动项方差中没有自相关，就会有如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：这时这时 从而得到扰动项方差的同

4、方差性情形。从而得到扰动项方差的同方差性情形。 恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：假设：其中，其中，t 表示从原始回归模型（表示从原始回归模型（10.5.1）估计得到的）估计得到的OLS残差。残差。 222221102ptptttuuuu021p02)var(tu第4页/共35页5 我们常常有理由认为我们常常有理由认为 ut 的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，

5、我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程到方程(10.5.8)不过是不过是 t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个 t2的滞的滞后值代替许多后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为，简记为GARCH模型模型)。在。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件

6、均值，另一模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。个是条件方差。 第5页/共35页6 在标准化的在标准化的GARCH(1,1)模型中：模型中： (10.5.11) (10.5.12)其中：其中：xt 是是1(k+1)维外生变量向量维外生变量向量， 是是(k+1)1维系数向量维系数向量。 (10.5.11)中中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于 t2是以前面信息为基础是以前面信息为基础的一期向前预测方差的一期向前预测方差 ，所以它被称作条件方差，所以它被称作条件方差，式式( (10.5.12) )也被称作也

7、被称作 。tttuyx21212tttu第6页/共35页7 (10.5.12)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项（均值）：常数项（均值）： 2用均值方程用均值方程(10.5.11)的扰动项平方的滞后来度量的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。项）。 3上一期的预测方差：上一期的预测方差： t2-1 （GARCH项）。项）。 GARCH(1,1)模型中的模型中的(1,1)是指阶数为是指阶数为1的的GARCH项项（括号中的第一项）和阶数为（括号中的第一项）和阶数为1的的ARCH项（

8、括号中的第项（括号中的第二项）。一个普通的二项）。一个普通的ARCH模型是模型是GARCH模型的一个特模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差 t2-1的说明。的说明。 第7页/共35页8 方程方程(10.5.12)可以扩展成包含外生的或前定回归因子可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程：的方差方程： （10.5.17） 注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。些形式的回归算子，

9、它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：例如，我们可以要求：ttttzu21212ttxz 第8页/共35页9 高阶高阶GARCH模型可以通过选择大于模型可以通过选择大于1的的 p 或或 q 得到估计，记作得到估计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为：其方差表示为：（10.5.18） 这里这里，p是是GARCH项的阶数，项的阶数，q是是ARCH项的阶数。项的阶数。 2.1212jtpjjitqiitu第9页/共35页10 下面介绍检验一个模型的残差是否含有下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的两种方法：效应的两种方法：ARCH LM检验和残差平方

10、相关图检验。检验和残差平方相关图检验。 Engle在在1982年提出检验残差序列中是否存在年提出检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘效应的拉格朗日乘数检验（数检验（Lagrange multiplier test），即），即ARCH LM检验。自回归条件异方检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽估计无效，但是，忽略略ARCH影响可能导致有效性降低。影响可能导致有效性

11、降低。 第10页/共35页11 ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验，运行如下回归：运行如下回归： 式中式中 t 是残差。这是一个对常数和直到是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残差所作的回归。这阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量：个检验回归有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验；检验； （2）T R2 统计量是统计量是Engles LM检验统计量，它是观测值个数检验统计量，它是观测值个数 T 乘以回归

12、乘以回归检验的检验的 R2 ； tqtqttuuu221102第11页/共35页12 显示直到所定义的滞后阶数的平方残差显示直到所定义的滞后阶数的平方残差t2的自相关性和偏自相关性，计的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。平方残差相关图可以用来检查残差自回统计量。平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（归条件异方差性（ARCH）。）。可适用于使用可适用于使用LS，TSLS，非线性，非线性LS估计估计方 程 。 显 示 平 方 残 差 相 关 图 和方 程 。 显 示 平 方 残 差 相 关 图 和 Q - 统 计 量 ， 选 择统 计

13、 量 ， 选 择 V i e w / R e s i d u a l Tests/Correlogram Squared Residual，在打开的滞后定义对话框，定义计算，在打开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。相关图的滞后数。 第12页/共35页13 为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析高，对于各种

14、冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列我们选择的样本序列sp是是1998年年1月月3日至日至2001年年12月月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对少舍入误差，在估计时，对sp进行自然对数处理，即进行自然对数处理，即将序列将序列log(sp)作为因变量进行估计。作为因变量进行估计。第13页/共35页14 由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程程随机游

15、动（随机游动（Random Walk）模型描述，所以本例进）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：行估计的基本形式为： (10.5.25) 首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：果如下：(10.5.26) （15517） R2= 0.994 对数似然值对数似然值 = 2871 AIC = -5.51 SC = -5.51 tttuspsp)ln()ln(1)ln(000028. 1)ln(1ttspps第14页/共35页15 可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟和可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟和的程度也很好。

16、但是需要检验这个方程的误差项是否存的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存在条件异方差性，。在条件异方差性，。第15页/共35页16 观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成成群群”现象：波动在一些较长的时间内非常小（例如现象：波动在一些较长的时间内非常小（例如2000年），在年），在其他一些较长的时间内非常大（例如其他一些较长的时间内非常大（例如1999年），这说明残差序列年），这说明残差序列存在高阶存在高阶ARCH效应。效应。第16页/共35页17 因此，对式因此，对式(10.5.26)进行条件异方差的进行条件异方差的AR

17、CH LM检验，检验，得到了在滞后阶数得到了在滞后阶数p = 3时的时的ARCH LM检验结果：检验结果： 此处的此处的P值为值为0，拒绝原假设，说明式（，拒绝原假设，说明式（10.5.26）的残差）的残差序列存在序列存在ARCH效应。还可以计算式（效应。还可以计算式（10.5.26）的残差平方）的残差平方的自相关（的自相关（AC）和偏自相关（）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：）系数，结果如下：第17页/共35页18 金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其

18、风险成正比，风险越大，预期的原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型均值模型(ARCH-in-mean)或或ARCH-M回归模型。在回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均中我们把条件方差引进到均值方程中值方程中: （10.5.29） ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：或取对数或取对数 ttttuy2xttttuyxttttuy)ln(2x第18页/共35页19 A

19、RCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的票面收益数的票面收益（returet）依赖于一个常数项，通货膨胀率依赖于一个常数项，通货膨胀率 t 以以及条件方差及条件方差(风险风险)： 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。模型。 ttttureture2212

20、21122112qtqtptpttuu第19页/共35页20 估计估计GARCH和和ARCH模型，首先模型，首先选择选择Quick/Estimate Equation或或Object/ New Object/ Equation，然后在，然后在Method的下拉菜单的下拉菜单中选择中选择ARCH，得，得到如下的对话框。到如下的对话框。第20页/共35页21 在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C

21、。如。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。 如果解释变量的表达式中含有如果解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需要点击对话框右上方项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。对应的按钮。EViews5.0中的中的ARCH-M的下拉框中的下拉框中，有有4个选项：个选项： 1.选项选项None表示方程中不含有表示方程中不含有ARCHM项；项； 2.选项选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差表示在方程中加入条件标准差 ； 3.选项选项Variance则表示在方程中含有条件方差则表示在方程中含有条件方差 2。 4.选

22、项选项Log(Var)，表示在均值方程中加入条件方差的对数，表示在均值方程中加入条件方差的对数ln( 2)作为解作为解释变量。释变量。 第21页/共35页22 EViews5的选择模型类型列表的选择模型类型列表 (1) 在下拉列表中选择所要估计的在下拉列表中选择所要估计的ARCH模型的类型。模型的类型。 (2) 在在Variance栏中，可以列出包含在方差方程中的外生变量。栏中，可以列出包含在方差方程中的外生变量。 (3) 可以选择可以选择ARCH项和项和GARCH项的阶数。项的阶数。 (4) 在在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模编辑栏中输入非对称项的

23、数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为型，即该选项的个数为0。 (5) Error组合框是设定误差的分布形式，缺省的形式为组合框是设定误差的分布形式，缺省的形式为Normal（Gaussian）。）。第22页/共35页23 EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击Options按钮按钮并按要求填写对话即可。并按要求填写对话即可。 第23页/共35页24 利用利用GARCH(1, 1)模型重新估计例模型重新估计例10.5的式的式（10.5.25），结果如下：结果如下： 第24页/共35页25 ARCH估计的结果可

24、以分为两部分：上半部分提供了估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，标准误差，标准误差，z-统计量和方差方程系数的统计量和方差方程系数的P值。在方程值。在方程(10.5.12)中中ARCH的参数对应于的参数对应于 ，GARCH的参数对应于的参数对应于 。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。自于均值方程。 注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，例如例如R2也就没有意义了。

25、也就没有意义了。 第25页/共35页26 一旦模型被估计出来，一旦模型被估计出来，EViews会提供各种视图和过程进行推理和诊断检验。会提供各种视图和过程进行推理和诊断检验。 窗口列示了各种残差形式。窗口列示了各种残差形式。 显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差 t 。t 时期的观察时期的观察值是由值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。期可得到的信息得出的预测值。 第26页/共35页27 将残差以序列的名义保存在工作文件中，可以选择保存普通残差将残差以序列的名义保存在工作文件中，可以选择保存普通残差 ut 或或标准残差标准残差 ut

26、 / t 。残差将被命名为。残差将被命名为RESID1，RESID2等等。可以点击序列窗口等等。可以点击序列窗口中的中的name按钮来重新命名序列残差。按钮来重新命名序列残差。 将条件方差将条件方差 t2以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命名为名为GARCH1，GARCH2等等。取平方根得到如等等。取平方根得到如View/Conditional SD Gragh所示的条件标准偏差。所示的条件标准偏差。 第27页/共35页28 假设我们估计出了如下的假设我们估计出了如下的ARCH(1) (采用采用Marquardt方法方法)模型：模型：(ARCH_CPI方程中加入方程中加入CPI做解释变量做解释变量 ，留下，留下2001年年10月月2001年年12月的月的3个月做检验性数据个月做检验性数据) 第28页/共35页29 使用估计的使用估计的ARCH模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应的对话栏中输入名字。如果选择了的对话栏中输入名字。如果选择了Do grag