A牛顿功和动量xpPPT教学课件

1、2021-10-221时刻时刻 t，系统动量为系统动量为d2d2xlxplgxtddddddddppxpFl gTvtxtx22222lxgl gTgxgxgx根据牛顿定理：根据牛顿定理：322lTgx gmgT2xllABxx解：解：例例第1页/共48页2021-10-222hAv00ttFtppmvmv 题意：题意：02tvvivgh j 02tFtmvmvm vigh j xy02tmvmvmFvigh jtt 煤粉受力矢量煤粉受力矢量传送带受力矢量传送带受力矢量240 2.09.880125.2mFvigh jijijt 2280125.2142.4 NF 125.2arctan237

2、.480F2-T9第2页/共48页2021-10-223n 应用动量定理处理应用动量定理处理质量流动问题质量流动问题 vmtp ddddp ttmmvvmu u为为- -dm 对对 主体的速度主体的速度d(d )( )0mm ttm t研究对象：火箭主体和喷出气体研究对象：火箭主体和喷出气体t时刻时刻系统的动量：系统的动量：t+dt 时刻时刻系统的动量：系统的动量： dddmumvv dddmvvmvv dddp ttmvvmu 主体动量：主体动量：气体动量：气体动量：t+dt 时刻系统的动量：时刻系统的动量：vmt时刻时刻dmmdmudvvdtt时刻时刻(d )uuvv 设设u为为- -dm

3、 对地的速度对地的速度 主体动量主体动量 气体动量气体动量第3页/共48页2021-10-224 vmtpd0d0mm质量流入质量流入质量流出质量流出ddddvmFmuttddF tp u为为-dm 相对火箭的速度相对火箭的速度 dp ttp t有质量进出的有质量进出的 变质量系统的运动方程变质量系统的运动方程 dddp ttmvvmu ddmvmu d(d )( )0mm ttm tvmt时刻时刻dmmdmudvvdtt时刻时刻n 应用动量定理处理应用动量定理处理质量流动问题质量流动问题第4页/共48页2021-10-22dd0ddvmmutt考虑外太空， 系统的合外力为零ddddvmmut

4、t火箭主体对地的速度 00lnmv tvum火箭主体对地的加速度 ddddv tumatmtddddvmFmutt注意矢量符号火箭主体受推力 ddmf tmaut火箭主体所受推力与u相反n 应用动量定理处理应用动量定理处理质量流动问题质量流动问题vmt时刻时刻dmmdmudvvdtt时刻时刻5d0d0mm质量流入质量流入质量流出质量流出第5页/共48页2021-10-226例例 喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，但距离保持定值。喷沙速率为但距离保持定值。喷沙速率为 dm/ /dt，沙对货车的速度为沙对货车的速度为 u，货车初始质

5、量为货车初始质量为 m0 0，初速度为零，地面光滑，求，初速度为零，地面光滑，求 t 时刻后时刻后货货 车的速度。车的速度。根据变质量系统方程根据变质量系统方程: :0tmutvmdddd00ddtmvmmvum0lntmvum0FtmutvmFdddd解：解：设时刻设时刻 t，货车与所装沙子的总质量为货车与所装沙子的总质量为0ddtmmmttvu系统系统: : 沙、货车沙、货车00ddlnmmttum同向与 vud第6页/共48页2021-10-227例例 喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，喷沙机车将沙沿水平方向喷进货车，机车与货车无联系，但距离保持定值。喷沙速率为但距离保持

6、定值。喷沙速率为 dm/ /dt，沙对货车的速度为沙对货车的速度为 u，货车初始质量为货车初始质量为 m0 0，初速度为零，地面光滑，求，初速度为零，地面光滑，求 t 时刻后时刻后货货 车的速度。车的速度。根据变质量系统方程根据变质量系统方程: :0tmutvmdddd0lnmvum0FtmutvmFdddd解：解：货车受力：货车受力：0ddmmmttvu系统系统: : 沙、货车沙、货车ddvfmt0dlndmfmutmddddummmumtt第7页/共48页2021-10-228ddddvmFmutt变质量系统运动方程变质量系统运动方程有质量进出的有质量进出的ddF tppppI12力的时间

7、累积效应动量定理动量定理动量守恒定律动量守恒定律 0 iF 1 122iinnmvmvm vm vC第8页/共48页2021-10-229所谓质点所谓质点的角动量就是用角量描述质点的动量的角动量就是用角量描述质点的动量。质点的动量：质点的动量：vmp质点的角动量定义为：质点的角动量定义为：vmrprL角动量的单位是：角动量的单位是：kg m2/s 质点运动按描述量的不同，有不同的表述方法。质点运动按描述量的不同，有不同的表述方法。线量：线量：vmavr 角量：角量： 4.4.角动量角动量 角动量定理角动量定理第9页/共48页2021-10-2210sinrmvL 方向：垂直于方向：垂直于 共同

8、决定的平面共同决定的平面pr ,vmrprL力矩力矩FrM动量矩动量矩prL角动量的时间变化率：角动量的时间变化率：ddddrpLttddddrpprttdd0,ddrppFttddLMt角动量定理角动量定理动量矩动量矩第10页/共48页2021-10-2211ddM tL221121ddtptpF tpppddF tp与动量定理类比有与动量定理类比有: :221121ddtLtLMtLLLddLMt角动量定理角动量定理5.5.角动量守恒定律角动量守恒定律21LLC0M 质点所受的合外力对某固定点的力矩质点所受的合外力对某固定点的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。为零时，质点对该点的角动量守

9、恒。其中：其中：0MrFFr质点对力心的角动量永远守恒！质点对力心的角动量永远守恒！力心力心Fr tt r tF第11页/共48页2021-10-2212 质点作圆周运动时对圆心的角动量大小：质点作圆周运动时对圆心的角动量大小：2Lrmvrm rm r注意注意: :Lrprmv 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。 同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。匀速匀速圆周运动时对圆心的角动量守恒圆周运动时对圆心的角动量守恒 质点对某点的角动量守恒，动量不一定守恒。质点对某点的角动量守恒，动量不一定守恒。第1

10、2页/共48页2021-10-2213例例 用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：行星对用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积. .设在时间设在时间 t t 内，行星的矢径扫过扇形面积内，行星的矢径扫过扇形面积 s ssin21rrS r r 太太阳阳行星行星rr21面积时间变化率：面积时间变化率：0dlimdtSStt vmrL恒矢量恒矢量d1d2Srvt命题得证。命题得证。S 解解：trrt21lim01d12d2rrrvt恒量恒量第13页/共48页2021-10-22142121 LLL

11、L2211mvrmvr显然显然21vv1212vrrv 对于轨道上的人造卫星：对于轨道上的人造卫星：012102RlvvRl近地点近地点远地点远地点轨道上的人造卫星受到有心力，角动量守恒：轨道上的人造卫星受到有心力，角动量守恒：0121026.30 km sRlvvRl1A2A解解：2-11 我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心 为该为该椭圆的一个焦点，如图所示椭圆的一个焦点，如图所示。已知地球的平均半径已知地球的平均半径R=6378km ，人造卫星人造卫星距地面最近距离距地面最近距离 ，最远距离最远距离 ，若人造卫星，若

12、人造卫星在近地点在近地点A1 1 的速度的速度 ，求人造卫星在远地点求人造卫星在远地点 A2 2 的速度的速度。1439 kml 22384 kml 18.10 km sv 第14页/共48页2021-10-2215作业（作业（P.5-6P.5-6）2T72T92T102T11第15页/共48页2021-10-2216 功的定义：cosFsAFrFrFr 6.6.动能定理动能定理(1) 变力的功 dddcosFAF trF trt力在一个微分段ds上的功：轨迹是由无数个微分段ds组成，一段有限的轨迹上力F的功是各段的微功的代数和。FFXrxyzttro trrdF第16页/共48页2021-1

13、0-2217 dddcosFAF trF trt各段的微功的代数和是总功各段的微功的代数和是总功 dBArFrAF tr dcosdBBAArrFrrAF trF tts4321FFFFF 1234ddBBAArrFrrAF trFFFFr 1234dBArFrAF trAAAA对于合力对于合力功是力对空间的积累效应。功是力对空间的积累效应。xyzttro trdrF第17页/共48页2021-10-2218mmXAXBABX(2) 求变力功的实例弹簧弹力的功弹簧弹力的功 Fkxf x m 在合力的作用下，由在合力的作用下，由A到到B点运动。点运动。222111d222BBAAXXFBAXXA

14、kxxk xkXkX 0 AXXBA弹力作正功。弹力作正功。0 AXXBA弹力作负功。弹力作负功。从弹力功的数值大小能否得到质点通过平衡点的次数？从弹力功的数值大小能否得到质点通过平衡点的次数？质点运动的快慢和均匀与否是否会影响功的数值？质点运动的快慢和均匀与否是否会影响功的数值？第18页/共48页2021-10-2219重力的功重力的功不规则的光滑斜面，有一物体不规则的光滑斜面，有一物体m，由平衡态下滑，由平衡态下滑，求物体下滑过程中合力的功。求物体下滑过程中合力的功。 0dtrFrAF trjmgNgmNF 由于支持力的功数值是零，所谓合力的功，在本例的由于支持力的功数值是零，所谓合力的功

15、，在本例的情况下，就是重力的功。情况下，就是重力的功。ABmghmghAddBAhhANrmgjrBAhhmgyNHgmAhBhvmgHdBAANmgjrddBAhhmgjxiyj 第19页/共48页2021-10-2220计算两质点间的万有引力的功。计算两质点间的万有引力的功。ArBrrdrrdrdfAfrrrmGmf221122 dfGm mArrr引力的功引力的功1 dcosdr drrr 12122dBBAArrfrrGm mGm mArrr ABrmGmrmGm2121第20页/共48页2021-10-2221d?BB ddd2dBBBBBBBB2dd2dBBBBBddBBBB 任意

16、矢量 与其增量 的标积等于该矢量的模 B 与其模的增量 dB的乘积。BdBddBBBBBddBBB第21页/共48页2021-10-2222kkFBAAEE对单个质点：ddddBBAArrFrrvAFrmrt2d1dddd2BBBAAArvvrvvrmvm vvmvt2201122FtAmvmvddvvvv合外力对质点所做的功合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。等于质点动能的增量。221mvEk质点的动能质点的动能质点的动能定理质点的动能定理(3)动能定理第22页/共48页2021-10-2223力矩力矩FrM动量矩动量矩prLMdtLd角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律21

17、LLC0M 0MrF dcosdBBAArrrrAF trF tts变力做功变力做功质点的动能定理质点的动能定理上次课上次课kkFBAAEE第23页/共48页2021-10-2224质点系的动能定理 质点系质点系动能定理动能定理 1m2mimiFif系统的内力不改变质点系的总动量，系统的内力不改变质点系的总动量， 但是但是内力改变质点系的总动能内力改变质点系的总动能。注意注意 对整个质点系，有对整个质点系，有kkiiFfi Bi AAAEE 对第对第 i 个质点，有个质点，有diFiiAFrdifiiAfrkkiiFfi Bi AiiiiAAEEkkFfBAAAEE内力成对出现，内力成对出现，

18、成对内成对内力作功一般不为零。力作功一般不为零。第24页/共48页2021-10-2225 保守力保守力 势能势能 在讨论力的功时，有些力的功与物体运动的具体过程无在讨论力的功时，有些力的功与物体运动的具体过程无关。关。如果如果力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，而只与相互作用的质点的，而只与相互作用的质点的始、末位置有关，则该对力称为始、末位置有关，则该对力称为保守力保守力。7.7.机械能守恒定律机械能守恒定律 保守力的功与质点运动的路程无关，使得复杂的积分运保守力的功与质点运动的路程无关，使得复杂的积分运算转化为代数运算。算转化为代数运算。万有引力的功：万有引力的功：1212BAGm

19、 mGm mArr 重力的功：重力的功： BAAmghmgh 弹力的功：弹力的功：221122BAAkxkx 第25页/共48页2021-10-2226dfAfr0rdfAfAB保守力的功可统一表述为：保守力的功可统一表述为： rEEEAPPAPB 每一保守力对应一个空间位置函数，称为势能函数。每一保守力对应一个空间位置函数，称为势能函数。l1l20 12ddBBA lA lfrfr保守力对空间的环路积分为零。保守力对空间的环路积分为零。保守力保守力 f 的特征的特征(数学语言描述数学语言描述)：第26页/共48页2021-10-2227消去时间参数，得到轨道方程：消去时间参数，得到轨道方程：

20、12222byax解出质点速度：解出质点速度：dsincosdrvat ibt jt 解出质点速率：解出质点速率：22cossintbtav 质点位于质点位于A 位置的时间：位置的时间：0 , a0t 质点位于质点位于B 位置的时间：位置的时间：b, 02t解：解：xy例例第27页/共48页2021-10-2228bv av 22021mbEtk22221maEtk0t2t ,0A a点点解：解：22cossintbtav(1)(1)质点在点质点在点A、B的动能的动能0,Bb点点(2)(2)质点所受的力质点所受的力F 及及F 所做的功所做的功amF222cossinaat ibt jr cos

21、sinrat ibt jab222cossinFmramt ibmt j 2Fmxiyj 第28页/共48页2021-10-22290 , aAbB , 0byaxyFxFrFA00ddd(2)(2)质点所受的力质点所受的力F 及及F 所做的功所做的功cossinrat ibt jab22Fmrmxiyj 020ddbamx xy y 2221122mab 22221122mamb(3) (3) F 是保守力吗？是保守力吗？结果中没有路径参数做功与路径无关结果中没有路径参数做功与路径无关F是保守力是保守力第29页/共48页2021-10-2230(2)(2)质点所受的力质点所受的力F 及及F

22、所做的功所做的功22021mbEtk22221maEtk0dktkAFrEE22221122mamb第30页/共48页2021-10-22311v俯视图俯视图研究对象：滑块研究对象：滑块坐标：沿轨迹的切向合法向建坐标坐标：沿轨迹的切向合法向建坐标分析：变力作功，用动能定理必须先找出分析：变力作功，用动能定理必须先找出末态的末态的v2受力分析：受力分析：Nf ,vfNtene运动方程：运动方程：法向法向切向切向RvmmaNn2tfmaNtvmddtvmRvmdd2Rvtv2dd例例 如图半圆形屏障固定在光滑的水平桌面上，质量为如图半圆形屏障固定在光滑的水平桌面上，质量为 m m 的滑的滑块以初速

23、块以初速v1沿屏障一端的切线方向进入屏障内。滑块与屏障间的沿屏障一端的切线方向进入屏障内。滑块与屏障间的摩擦系数为摩擦系数为 。求：当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所求：当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功作的功解：解：第31页/共48页2021-10-2232ddddddvRvtvvfN设滑块进入屏障后，速度为v时，已沿屏障转动了 角，引入变量 ：tvRvdd 2vvdd 即d d021vvvv12lnvvevv12因合外力的功只有摩擦力的功,N不作功.根据动能定理)1(21221emv21222121mvmvA第32页/共48页2021-10-2233 势能属于系统，在上述差值

24、为定值时，函数势能属于系统，在上述差值为定值时，函数EP可取任意值。则：可取任意值。则：令终点的势能为零，有：令终点的势能为零，有：PAPAPBEEEAdBArPArEAfr势能零点确定后，空间任意势能零点确定后，空间任意A点的势能可以唯一确定。点的势能可以唯一确定。rB是势能函数为零的位置是势能函数为零的位置质点在保守力场质点在保守力场中某点的势能中某点的势能把质点由该点移到势能零点把质点由该点移到势能零点过程中保守力所做的功过程中保守力所做的功 rEEEAPPAPB第33页/共48页2021-10-22341212dBArPBArGm mGm mAfrErr Br无穷远定义为势能函数为零的

25、位置。无穷远定义为势能函数为零的位置。 在势能函数零点确定后，空间任意在势能函数零点确定后，空间任意A A点的引力势能函数点的引力势能函数可以唯一确定。可以唯一确定。APAPBPArmGmEEE21万有引力势能万有引力势能0 PAAErPAAEr 0rmGmEP21第34页/共48页2021-10-2235空间任意空间任意A点的引力势点的引力势能函数可以唯一确定。能函数可以唯一确定。dBArfBArGmMGmMAfrrr fPAGmMGmMAERRh 11PAhEGmMGmMRRhR RhAhR2 RhRRhR2PAhEmGMR229.8 msGMgRmghEPA以地球表面为零势能点以地球表面

26、为零势能点dBArPArEAfr势能零点势能零点ppdRfBAh RAEEfr 第35页/共48页2021-10-2236例例 质量为质量为m的人造地球卫星，角动量为的人造地球卫星，角动量为L，在半径为，在半径为r的圆轨道上运行。试求其动能、势能和机械能。的圆轨道上运行。试求其动能、势能和机械能。ArRprLrmvLL222221mrLmvEk卫星动能：卫星动能：卫星势能：卫星势能：rMmGEprvmrMmG22222mrLmvrMmGEp卫星机械能：卫星机械能：222221mrLmvEEEkp解：解：第36页/共48页2021-10-2237弹性势能弹性势能2211d22BAXBAXAkxx

27、kXkX 设弹簧原长处设弹簧原长处( (XB=0=0) )弹性势能是零。弹性势能是零。0210d2APAAXAEkxxkX 212PAAEkX 物体在弹簧势能的势阱中物体在弹簧势能的势阱中运动。物体被势阱限制在一定运动。物体被势阱限制在一定空间中运动。空间中运动。XPE第37页/共48页2021-10-2238机械能守恒定律机械能守恒定律: :FNkBkAAAEE系统的动能定理：系统的动能定理：NfnfAAAAfA保守内力保守内力AnfA非保守内力非保守内力FfnfkBkAAAAEEFPBPAnfkBkAAEEAEE FnfPBKBPAkAAAEEEE 当一个系统所受的外力的功和非保守内力的功

28、的代数当一个系统所受的外力的功和非保守内力的功的代数和为零时，系统机械能守恒。和为零时，系统机械能守恒。0FnfAAABEE kpEEE外力功内力功第38页/共48页2021-10-2239 2cos21210220mgrmvmv例例 将一质点沿一个半径为将一质点沿一个半径为r的光滑半球形碗的内面水平投射，的光滑半球形碗的内面水平投射，碗保持静止，设碗保持静止，设v0 0是质点恰好到达碗口所需要的初速率。求是质点恰好到达碗口所需要的初速率。求v0 0作为作为 0 0的函数表达式，的函数表达式， 0 0是用角度表示的质点的初位置是用角度表示的质点的初位置。osinrmgNgmrM外力矩方向在水平

29、面内，外力矩方向在水平面内， 角动量在竖直角动量在竖直( (OO)方向守恒。方向守恒。0LtLtLL00sin 1sin00mrvrmv仅重力作功，质点机械能守恒。仅重力作功，质点机械能守恒。00cos2grv Or解解：小球受力小球受力：、 mg0M0vvrNgm第39页/共48页2021-10-22400v0Rvtv03R 2300tmvRmvR 3321210202RMmGmvRMmGmvt 102020RvmRMmG 23tvv 1200vRGM代入（代入（3 3）v4-244-24 一飞船环绕某星球作圆周轨道运动，半径为一飞船环绕某星球作圆周轨道运动，半径为R0 0，速度为，速度为v

30、0 0。要使飞船从圆轨道变成近距离为。要使飞船从圆轨道变成近距离为R0 0，远距离为，远距离为3 3R0 0的椭圆轨的椭圆轨道。则飞船的速率道。则飞船的速率v 应变为多大？应变为多大？例例解：解：第40页/共48页2021-10-22414-234-23 一颗卫星环绕地球作圆轨道运动，半径为一颗卫星环绕地球作圆轨道运动，半径为r。速度为。速度为v1 1。点。点燃一火箭，其冲力使卫星附加一个向外的径向分速度燃一火箭，其冲力使卫星附加一个向外的径向分速度v2 2( (v2 2v1 1) )，使卫星的轨道变成椭圆形。求卫星与地球的最近与最远距离。使卫星的轨道变成椭圆形。求卫星与地球的最近与最远距离。

31、2v1vv 卫星所受引力、火箭反冲力均通过卫星所受引力、火箭反冲力均通过力心，故卫星在火箭点燃前或后对地心力心，故卫星在火箭点燃前或后对地心的的角动量角动量始终不变，是始终不变，是守恒守恒的。的。vmrvvmr)(21)2(21)(2122221rMmGvmrMmGvvmrvmrMmG212r解：解：vrvrvr / 21vvrr 21vvv1(1)rvr v 21(3)GMrv第41页/共48页2021-10-22421(1)rvr v 2221211()(2)22GMGMvvvrr21(3)GMrv02)(2212122221rvr rvrvv由由(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)可得关于可得关于 r 的二次方程的二次方程并由此解得并由此解得 r1 ， r22v1vvrvvrr解：解：第42页/共48页2021-10-2243例例 半径为半径为R R的光滑的水平圆槽内，放有质量分别为的光滑的水平圆槽