2020年高考复习数学-双曲线及几何性质

1、第十一章圆锥曲线11.2 双曲线抓基础自主学习丨1、双曲线定义平面内与两个定点 Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|FiF2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合 P=M|MFi|MF2|= 2a , |FiF2|= 2c,其中 a、c 为常数且 a0, c0.(1)当2a|FiF21时,P点不存在.2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程与h2= 1(a0，b0)a b号p 1 (a0，b0)图形岸;这性质范围x a 或 x a, y Rx R, ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1( a,0), A2(a,0)A1 (0,

2、 a), A2(0, a)渐近线y= x ay=Jx离心率e= c, e (1 ,+s )，其中 c=pa2+ b2a实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 |A1A2|= 2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴， 它的长IB1B2I 2b; a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2 = a2 + b2 (ca0, cb0)3、巧设双曲线方程(1) 与双曲线 军一岸=1 (a0, b0)有共同渐近线的方程可表示为 字一岸=t (X 0).(2) 统一方程：过已知两个点的双曲线方程可设为mf+ ny2 = 1 (mn0).第2页(共8页)222(3)与双曲线笃a1共轭的

3、双曲线为-y2b22x2a1.(5)2yx2x与双曲线raa2的渐近线方程为y，离心率为e . 2 .(6)2 与椭圆笃 a2yb21有相同焦点的双曲线方程x2a2 -k2yb2 k(b2k a2).2爲 1（a b 0）有相同焦点的双曲线方程b22xa2 - k2yb2-k1 (b2 ka2).4、其他性质：（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为b.（2）经过双曲线的焦点F1或F2的弦AB，称为焦点弦。当ABx轴时,AB最短，此时把焦点弦称为通径，且|ABm.2b2a第4页（共8页）b2xo-2 a yo2 2x y（3）双曲线 2 1的弦为AB, A（X1，yJ,弦中点M （x。，y。），则弦

4、AB的斜率ka b明考趾题型契破I析姗探求规律方法突破点一双曲线的定义和标准方程例11、双曲线x3y2=1的焦距为（c ）A . 5B. ,5C. 2 5D. 1x2 y22、设P是双曲线16 2。= 1上一点，F1, F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|= 9,则|PF2|等于（B ）B. 17C. 1 或 17D .以上均不对52 2x y 彳=11693、设椭圆C1的离心率为13，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离4、已知双曲线x2 24= 1的两个焦点为F1 ,F2,4P为双曲线右支上一点.若 |PF1| =刁PF2|，则 F1PF2的面积为

5、（B ）A. 48B. 24C. 12D .6的差的绝对值等于 8,则曲线C2的标准方程为x25、已知双曲线C与双曲线162=1有公共焦点，且过点（43 . 2 , 2）.求双曲线C的方程.2解：法一：设双曲线方程为 笃a2耸=i由题意易求c=2岳.又双曲线过点(3压,2) , / (3叵) b又 a2+b2= (2 . 5 ) 2,二 a2=i2,X2b2=8.故所求双曲线的方程为一I22y-=i.82y = I,将点(3 2 , 2)代入得k=4,故双曲线方程为4 k2法二：设双曲线方程为i6 k6、经过点P( 3,2 .7)和Q( 6,2 7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 x!2

6、5752 ab22 x2y =I28：=i1.4=1.7、已知双曲线 C的离心率为2,焦点为Fi, F2,点A在C上.若|FiA|= 2|F2A|,贝U cos/ AF2Fi = ( A ) D.普A.4解析：由ce= - = 2得c= 2a,如图，由双曲线的定义得 |FiA|F2A|= 2a.a又|FiA|= 2|F2A|,故 |FiA|= 4a, |F2A|= 2a,. cos/ AF2Fi= + 4a 2 i2X 4ax 2a 4.8、已知圆 Ci： (x+ 3)2+ y2= 1 和圆 C2： (x 3)2+ y2= 9,动圆的轨迹方程为.M同时与圆Ci及圆C2相外切，则动圆圆心 M解析

7、：如图所示，设动圆 M与圆Ci及圆C2分别外切于A和B根据两圆外切的条件,得 |MCi| |ACi|= |MA|, |MC2| |BC2|= |MB|,因为 |MA|= |MB|,所以 |MCi| |ACi|= |MC2| |BC2|,即卩 |MC2| |MCi|= |BC2| |ACi|= 2,所以点M到两定点Ci、C2的距离的差是常数且小于|CiC2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与 Ci2的距离小)，其中a= i, c= 3，则b2= 8故点M的轨迹方程为x2半=i(x0, b0)的离心率为,3，则其渐近线方程为(第6页(共8页)D. y=A .

8、 y= .2xB . y= 3xC. y= 22x(C )a x2彳D. = i23233、已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y=3x，则该双曲线的标准方程是a釜=iB.y2-x2=i c . x2-i224、（2019全国卷1）双曲线C：笃a0,b 0）的一条渐近线的倾斜角为130，贝y C的离心率为A. 2sin40B. 2cos401C.-sin501D.cos50第8页（共8页）5、已知双曲线mx9A. y=4B. y=3xC. y =D. y=6、若a 1，则双曲线 y2= 1的离心率的取值范围是B. （；2 2）解析：由题得e=巳尹即e2=专=1 +昇a1,A. (.2,+ )

9、(1, ；2)D. (1,2) 0 占a2 1 1 + 2 2,.a21 v e 0）的一个焦点在直线 x+ y= 5上，则双曲线的渐近线方程为7、焦点为（20, 6）,且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是22八 xA.122仝124x22 2B.乞乞112242 2C. 乞 124122 2D.24128、已知双曲线-2 a器=1（a0, b0）的焦距为2 5，且双曲线的一条渐近线与直线2x+ y = 0垂直，则双曲x2线的方程为-y2=1xf y29、已知双曲线C:b2= 1（a0, b0）的离心率为.：2,则点（4,0）到C的渐近线的距离为C沁C. 2A. .2B. 210、已知

10、f为双曲线c: x9 y6= 1的左焦点，p, Q为c上的点.若PQ的长等于虚轴长的2 倍，点 A(5,0)在线段PQ上，则 PCF的周长为44,11、（2017全国卷I ）已知F是双曲线 C :x23 = 1的右焦点,P是C上一点，且 PF与x轴垂直，点 A的坐标是（1,3），则 APF的面积为（D ）1ATBEC.fD.f例31、（2018天津高考）已知双曲线琴1（a0, b0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A, B两点.设A, B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1 + d2= 6,则双曲线的方程为A/i/右4也匸=1A. 412解析由d1+ d2

11、= 6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b = 3因为双曲线X2 = 1（a0, b2+ b20）的离心率为2，所以a= 2,所以色戸 =4，所以aaa2 I 9x2 y2= 4，解得a2= 3,所以双曲线的方程为 弓一舟=1,a39第10页（共8页）故选C.2 22、已知双曲线X2 占=1（a0, b0）的一个焦点为a bF（2,0），且双曲线的渐近线与圆（x 2）2+ y2= 3相切，则双曲线的方程为（丘匚=1913x2C.3- y2= 13、2019全国III文10）已知F是双曲线1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若OP = OF ,3 A.29D.-24、（2018全国卷

12、川）设F1, F2是双曲线C:2 2 x_y_a2 b2=1(a 0,b 0）的左，右焦点,O是坐标原点.过 F2作C则厶OPF的面积为（5B.-2的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|= 6|OP|，则C的离心率为（C ）A. .5B. 2C. .3D. 21、双曲线y2= 1的焦点坐标是（B ）3A. ( 2, 0), ( .2, 0)B . ( 2,0), (2,0) C. (0, .2), (0, .2) D. (0, 2), (0,2)解：不妨设一条渐近线的方程为y= bx,贝V F2到y= bx的距离d=-亍b，在Rt F2P0中，|F20|= c,aa寸 a2+ b2所以|P

13、O|= a,所以|PFq= 6a又|F1O = c,所以在 F1PO与Rt F2PO中，根据余弦定理得cos/ POF1 =2ac壬 + = cos/ POF2=旦，即 3a2+ c2 (,6a)2= 0,得 3a2 = c2,所以 e=f= ,3.2、双曲线X25 20= 1的渐近线方程为（D ）C. y=gxD. y =223、若双曲线X2-= 1（a0, b0）的一条渐近线方程为y= 2x,则该双曲线的离心率是（C ）a bC.5D. 234、已知双曲线2 2a2-占=1（0* a1）的离心率为乙则a的值为（B ）1a0, b0）的左焦点为F，离心率为一2.若经过F和P（0,4）两点的直

14、线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（B ）B.x2-y2=1C.x2-=1y2= 1842 28、已知方程- 3m匕=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A ）A. (- 1,3)B. (- 1, .3)C. (0,3)(0, .3)解：若双曲线的焦点在x轴上，则m+n ，又 (m2+ n) + (3m2 n) = 4, a m2= 1,3m2 n 0.1 + n 0,3 n 0,y2x2n 3 m2 0,53.若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为nm21，即m2-n 0,即 n3m2且* m2，此时n不存在.故选A.929、过双曲线 拿一b2= 1

15、(a 0, b0)的右焦点F作圆x2 + y2= a2的切线FM (切点为M),交y轴于点P,若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为 (A )A. ,2B. 3C. 2D. 5C的右焦10、在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 C:羊一= 1(a 0, b 0)的离心率为 5，从双曲线点F引渐近线的垂线，垂足为AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(D )B. 4 y2=1c x2C. 16 = 1第7页(共8页)11、双曲线C:曲线上一点，若x2 v22 2= 1(a0, b 0)的一条渐近线与直线 x + 2y+ 1= 0垂直，F1, F2为C的焦点，A为双 a b |FjA|= 2|F2A|,则 cos/ AF2F1 等于(12、已知双曲线a2琴=1(a 0, b0)的离心率为32过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为 皿若厶FOM的面积为.5,其中0为坐标原点，则双曲线的方程为A