(新教材)数学必修二课件：6.1.3向量的减法

1、6. 1.3向量的减法新版课程标准理解向虽的减法法则与应用浜赞提示如果您在现石木年件叫过芳中出 字他泉折吴同并宥幻灯片可正.恋学业水平要求水平一1 能通过向量的加法运算抽象卅向量减法运算（数学抽象）2 理解相反向量的概念,了解向蜀加法与减法的关系（逻辑推理）3 .掌握向虽的减法运算，并理解其几何意义.（直观想象）水平二掌握向量的加减运算法则及其儿何意义，并能运用它们解决相应的向量问题.（直观想象）必备知识素养奠基二1 相反向量定义:如果两个向量大小相等.方向相反那么称这两个 向量 是相反向量.性质：对于相反向量有:a+ (-a) =0. 若a, b互为相反向量，贝fj a=b, a+b=0-零

2、向量的相反向量仍是零向量.【思考】有人说:相反向量即方向相反的向量,定义中“大小相 等”是多余的,对吗？提示:不对,相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理 解，不是仅方向相反，还必须大小相等.2 .向量的减法定义:平面上任意两个向量a, b,如果向量x满足b+x=a，则称x为向量a, b的差，记作x二ab(2)作法:在平面内任取一点。/用 如图所示.UUUMBAa-buuu二a一二b,则向量ab二A OBa-b可以表示为从向量b的终点指向向量忍的终点的向量. 向量减法的三角形法则:当向量a, b不共线时，向量a, b, a-b 正好能构成一个三角形,因此求两向量差的作图方法也常称 为向量作差

3、的三角形法则.(4) a-b=a+ (k b)【思考】由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的?差向量的方向如何？提示:求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点, 方向指向被减向量.(2)由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何 联 系？提示:向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法.-AB=BA【素养小测】1-思维辨析（对的打“ Q ”，错的打“X”）（1）两向量首尾相连，和向蠢由第一个向量的始点指向第 二个向量的终点.（）向量a-b &它们起点董合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量.（）、 相反向量不一定是平行向量 量.()(

4、4)向量与向量是相反向量()UUIH UUIBAB BA，平行向量一定是相反向【提示】(1)V.由向量加法的三角形法则知正确.(2)7.由 向量减法法则知正确.(3)x由平行向量与相反向量的定义可知相反向量必为平 行向量冲行向量不一定是箱皮向量.(4)7向量与向量长度相等方向相反.BAAB2.在AABC中，若=% s=b,则3等于（A aB.a+bBA【解析】选口,Bb-a CA D. a-b =a-b.UU3I UU3IM UIUUUCA=BA-BC确的有【解析】因为0的相反向量是0,故说法不正确其他 均正确.答案:=关键能力素养形成=类型一向量日勺减法【典例】1.（2019 汕头高一检测）

5、在ZkABC中,D,E,F分 别为AB,BC,CA的中点，则等于（）UUU ULUUAF-DBUIMUXMULUIMUXA-FD B.FC C_FE D.BE2.如图，己知向量 b,c,求作 世纪金榜导学号a-b-c.【思维引】1 结合图形,利用向量减法的三角形法则求解.2 先作a b,再作(ab)即可.【解析】1 选D 如图所示，MUU MVUH MUMU VIUUH UUAUAIADB=DE-DB=BE.D2加图，以A为起点分别作向量s二也=b.连接CB,得向量，再以点C为起解我量4 =AC连按DB, 得向量则商量即为所求作的向量abcuuu【内化悟】作向量减法时若所给向量不共起点,应如何

6、解决？提示:uuumma C DCDCB uwuiimuuuDBDBBId出 a-b_c平移向量使它们共起点.一在本例2中能否先作向量b+G再作a- (b+c)呢？提示:可 以.【类题通】1 作两向量的差的步骤2 ,求两个向量的减法的注意点可以转化为向量的加法来进行，如ab,可以先作.b,然后 用加法a+(-b)即可.向量减法的三角形法则对共线向量也适用【习练破】下列计算正确的是ULMJt LU4U1 ULUUAOA-OB 二 AB uuir uum UUDTB. OA-OB = BA UUITUUffUUIHC. OA - BA 二 ABumi uum uuorD. OA AB 二 BA【解

7、析】UUU UUU1OA-OB选B根据向量减法的三角形法则，显然有UULB= BA.【加练固】如图所示,0是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的 向量,确电,b,c, d的方向（用箭头表示），使a+b二尸d=，并 画出b-c和a+d-BAVU4UIcDC【解析】因为a+b=cd二遇 所以a二 fb= fC=BM= DC 如图所示，作平行驰形碘EC,音_|亍四溯ODE法则 可得bc X fa+d=.EOUUAUOF类型二向量的加减法运算【典例】L （2019 衡水高一检测）下列各式:其中结果为零向量的个数是（）A. uuuUUIU UUuO. UUU1 D 4 个 AB + BC + CA;

8、 ABAC + BD-CD;uuir uuu uuir uuir uuu uuun uuirOAOD + AD; NO + 0P + MN-MP.2- （2019 临沂高一检测）设点M是线段BC 的中点，点 A 在 UUD? UUDLUUKUUDI直线BC外，世纪金UUULAM榜需罗（A.83| 八 |4二16, AB +哼=匕84 ,1【思维弓I】利用三角形法则或平行四边形法则求解【解析】1选DQ也UU3IU V1LUABAC + CA = AC + CAAB-AC+=0 ; =0-uywkfjL UUUHI VtUHU VU3ULVIUUHIJAUUU UUlt UULB uuu嗣嗣CB+

9、BD-顾额 工D垂直，故OA-OD + AD二DA +ABC为直角三角形.I I即斜边BC的中线所以I IMMU.UUAU MVU4U UU4U.MUUU UtUUNO+OP+MNMP 二 NP+PNUUU1UUU1UUULUUUL/MM4/UVMMAB与MMULVU3MLAMAM【内化悟】1 用起止点表示的几个向量的和差化简问题的常见形式有 两种:首尾相连且求和，起点相同且求差.如果不满 足以上 形式时应怎样处理?提示：（1）使用交换律.结合律.（2）用相反向量进行转 化. （3）使用相等向量进行替换.2平行四边形ABCD中，什刍？提示：UUUX UUU I 与 I AD AB-ADI分别是

10、指AB +MMLB分别是指两条对角线的长.UUUXUUU UUUXUUU AB + AD 与 IAB-ADI【类题通】向量减法运算的常用方法常用方法可以通过相反向量，把向量减法的 运算转化为加法运算I运用向量减法的三角形法则，此时、要注意两个向量要有 共同的起点J弓I入点Q逆用向量减法的三角形法亦禽各向查蜜点统一 1X【发散拓】已知向量a,b,那么lallbl与la 土 bl及lai + Ibl三者 具有什么样的大小关系?【提示】它们之间的关系为Ila blblllabl lal + lbl- (1)当1)有一个为零向量时不等式显然成立.当a,b不 共第时，作二二8贝！ ja+b二如图所示，根

11、据三 角形的性质有Ila hlbllvla+blvlal + lbl 同 HWIIal- lbllla-bllal + Ibl.UiVMUOBMMJk U4VUUOAABo）当比b非零且共线时，当向量a与b同向时作法同上 如图g）所示此时la+bl = lai + IbL黑尝用馨b反向时不妨设同Ibl作法同上如图所贰此时 la+bl = lal-lbL图a+b&。% b BaOa+bBOA图图综上所述得不等式llal-lblllablla【延伸练】若 I 1=8, |I =5则MVWABUUIUACULUUBCI的取值范围是【解析】由BC=BA为 W13,即|e3,l4&鼬肓非C+ AC,UU

12、 UU0A = AeiuuuxBCUUIB UUUIBA + ACULVUBC【习练破】化简下列各式:uum uuu / uumUUULAB + MB)+ (-OB-MO) uum uuir uuur(2)AB_AD-DC【解析】方法一:原式二MUUH. MUMLMUUI VUJLXAB+MB + BO+OMIIIUUUL UUU UUli UUU1 UUU1=AB + B0 + OM+MB =A0 + OB=AB.UU3UX MLMUUMLAB+MB + BO+OMULUU UUU UUUL UUUL= AB+IMB + BOI + OMuum uuur uuur uum uum = AB

13、+ MO + OM=AB + 0=AB.(2)方法一:原式二 方法二：原式二L4UUH UtUUH MMUXDB-DOCB.UUUI / UUU UU11 UUUL UUU1 uuu AB - (AD + DC=AB - AOCB.【加练固】下列各式中不能化简为的是()ADVfVMU U4VMUViVWMA. (AB-DC) -CB lur /Uuu uni、B. AD- ( CD + DC )zuum uuir、zuuir urnr、C - ( CB + MC )-( DA + BMuuir w umr D-BM-DA + MBtc + CD=AD;UILU* UVUtUUU【解析】选D 选

14、项A中， UVUU MMH UiUUi UUMU ULU* ULMH .选项 B 中，(AB-DC)-CB=AB + CD + BCWUUU1 ULU UU11 =AD-0 = AD;/ UUU. UOUL UUU1 UU11 UUU UUUL + MC)-(DA + BM)= -CB-MC-DA-BMUUU1 UUUL UU11 uuu /UUll UUU UUU UU11 UU11 MB + BC + CM)+ =BC+CM+AD+ MB= ad = AD类婴三向量加减运算几何意义的应用角度1利用已知向量 表示未知向量【典例】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点，且

15、二b,二G试用向量c表示向量AB世弟坠榜导学号UUU UU1U UUIB CD,BQBD.E【思维弓I】由平行四边形的性质可知向量的减法可知：由向量的加I法诵U1U1U ULMU U1LMHBOAC-AB,UUIU UUU. UUIB BD -BC + CD.【解析】因为四边形ACDE是平行四边形.L4LUH UIVMUCD=AE=b-a+c.UU4IU MUUU MVUUBC=AC-ABVtUUM L4MU1 UUIBBD=BC + CD【素养探】本例主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向 量表示未知向量，突出考查直观想象的核心素养.本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点

16、B是该平行四边形内一点”，其他条件不变,其结论又如何呢？【解析】如图，因为四边形ACDE是平行四边形,所以 =Cf =b-af=b-a+cUUU. UUULUUU1CD=AEBC=AC-ABMVUH MUWU U4VUHBD=BC + CD角度2求解或证明几何问题【典例】（2019-临沂高一检测）已知非零向量a,b满足|a|二 +1, |b|= T,且 la-b| =4,则 |a+b| 的值为【思维弓I作出图形，利用向量加减法的几何意义求V?【解析】如圈令 _Abf5iyl I = Ubl-以O A与OB为邻边柞平行El边形0用迥则I I二la+bl -由于(+1)2+( 1尸=42.故所以O

17、AB是zAOB为90。的直角三角形从啖A OB所umr 2 uumi2 um 2以 平行四边形OACB是矩形 OA+0B 根BA据矩形的 对角线相等有包即 k+bl=4.OC = BA答案：4B0【内化悟】lai, Ibl, la-bl, la+bl表示什么几何图形中的哪些 几何量？提示:平行四边形的两条邻边及其两条对角线【类题通】1解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚图形 中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向 量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的 转化渠道.2 利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤: 由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量.(2)利用三角形法则

18、和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算.(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角 关系解题.【习练破】1 在菱形ABCD中， ZDAB=60。、BD1二2则 IV4VUUMUIU U4UUUABBC+DC【解析】因为ZDAB=6O : A便越思帚+是7E所以AABD为等边三角形.又因为I I二乙所以OB二：L.在RMAOB 中ABUU H2uumOB户斤以UUU1 答案也c=22 .如图，在 ABC中，D,E分别为边AC, BC上的任意一点， 头 jAE,BD 的交点，己知二a,二 b,二 C,二 e,用 a,b,c, e表不向量ABUUIUBD BE OEOD【解析】在八OBE中“有 =e-cfUUUX UUIU UUU在 MB0 中， =e-CWOE+EB在 MBD 电 =a+b,所以在OAM +BA =e-c-a+a+b=e-c+bUUU. UULU UUUIAD=AB+BDMMLB UtUUA UtUU*OD=OA+AD【加练固】如图所示，已知=a, _=f，试用 a, b, c, d, e,f 表杰:uuuOAOBOCMMAODuuuxOEuuuO