chap函数的单调性与曲线的凹凸性PPT课件

1、一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共20页证证),(,21baxx ,21xx 且且)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内

2、，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共20页例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数

3、在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:D又又机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共20页问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数的符号数的符号然

4、后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共20页例例2 2解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在1 ,( 时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调增区间为

5、单调增区间为，1 ,(，2 , 1)., 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间单调减区间第5页/共20页例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,( )., 0 32xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共20页例例4 4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设

6、设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共20页单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立

7、结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共20页1x 123xx1( )23f xxx211( )fxxx21(1)x xx1,)( )f x1230 xx例例5 证明：当证明：当时，时，证证 令令，则，则( )f x1,)在在上连续，在上连续，在(1,)( )0fx 内内因此在因此在上上单调增加，从而当单调增加，从而当1x ( )(1)f xf(1)0f时，时，由于由于( )(1)0f xf故故，即，即123xx亦即亦即 机动 目录 上页 下页 返回 结

8、束 第9页/共20页问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共20页定义定义;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是凹的内的图形是凹的在在那末称那末称恒有恒有两点两点内任意内任意如果对如果对内连续内连续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2

9、(,),(212121内的图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共20页xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理2 2.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图

10、形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共20页例例6 6.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共20页于是，曲线的凹区间为于是，曲线的凹区间为 (, 0，凸区间为，凸区间为0, +

11、) 。 定义定义注意：拐点是曲线上的点注意：拐点是曲线上的点)(,(00 xfx当当x 0, 所以曲线在所以曲线在(, 0上是凹弧；上是凹弧；当当x 0时，时，y 0, 所以曲线在所以曲线在0, + )上是凸弧。上是凸弧。解解. )0(,92,313232 xxxyxy例例7 求曲线求曲线的凹凸区间。的凹凸区间。3xy连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。第14页/共20页符号相同，则点符号相同，则点(x0 , f (x0)不是拐点。不是拐点。 例例6中，点（中，点（0，0）是曲线）是曲线y = x3上凹弧与凸弧的分界点，上凹弧与凸弧的分界点，

12、因此是曲线的拐点，在该点处，因此是曲线的拐点，在该点处，y =0；例例7中，（中，（0，0）点是曲线的拐点，在该点处）点是曲线的拐点，在该点处y 不存在。不存在。 因此，曲线因此，曲线y = f (x)的拐点的横坐标只能是使的拐点的横坐标只能是使f (x) = 0的的点或点或f (x)不存在的点。不存在的点。求连续曲线的拐点的方法如下：求连续曲线的拐点的方法如下：（i）求出所有使函数）求出所有使函数f (x) 的二阶导数的二阶导数f (x) = 0的点的点和和f (x)不存不存 在的点；在的点；（ii）对于（）对于（i）中所求出）中所求出x0，若，若f (x)在在x0两侧符号相反，两侧符号相反，则点则点(x0 , f (x0)是曲线的拐点；若是曲线的拐点；若f (x)在在x0的两侧的两侧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共20页例例8 8.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第