浓度的计算与换算.

1、一次函数单元补习目标认知知识网络：学习目标：1. 以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；2. 结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；3理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题；4通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方

2、程（组）及不等式等内容的再认识，构建和发展相互联系的知识体系重点：理解一次函数和正比例函数的概念，了解作函数图象的一般步骤，熟练作出一次函数的图象；掌握一次函数的图象及性质，能由两个已知条件求出一次函数的表达式.难点：根据题设寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的 表达式.知识要点梳理知识点一：一次函数的相关概念1、 定义：一次函数的一般形式为 y= kx + b,其中k、b是常数，k丰0,特别地，当b= 0时，一次函数y = kx （kz 0）叫正比例函数。（1） 一次函数的解析式的结构特征：kx + b是关于自变量x的一次整式，其中k、b是常数

3、，且kz 0。（2）当b= 0时，y= kx + b （kz 0）仍是一次函数，也就是说正比例函数是一次函数特殊形式，但一次 函数不一定是正比例函数。2、用待定系数法求解一次函数解析式先设出式子中的未知系数，再根据已知条件列出方程（组）求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。待定系数法是一种很重要的数学方法，是求函数解析式常用的方法。待定系数法的基本思想是方程 思想，就是把具有某种确定关系的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目中含有 几个待定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：（1）利用一次函数的定义x的指数为1

4、、系数不等于0构造方程（组）。（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由 b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。（3）禾9用函数图象上的点 的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。（4）利用题目已知条件直接构造方程。知识点二：一次函数的图象及性质 1、函数的图象对于一个函数，如果把它的自变量的取值x与对应的因变量的取值 y分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图象。2、一次函数的图象及其画法（1）所有一次函数的图象都是一条直线。正比例函数y= kx （kz0）的图象是经过（0, 0）

5、和（1, k） 两点的一条直线，在坐标平面内经过原点的直线（与x轴、y轴不重合）是正比例函数的图象；一次函数y = kx+ b的图象，也称作直线 y = kx + b。例如，y = 2x 1和y = 2x的图象分别称作直线 y = 2x 1和直线y= 2x。7:L: :JlA31 1 1 1rK7咖宀吟*1曲*I忤1（2） 次函数y = kx+ b的图象是经过点（0, b）的一条直线；正比例函数 y= kx的图象是经过点（0, 0）的一条直线；一次函数 y= kx + b与x轴交点坐标为；一 ，与x轴交点坐标为（0 , b）。（3）根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画一条直线。即两

6、点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。3、一次函数性质及图象特征一次函数的性质表达了函数的变化规律及图象的变化趋势，当k 0时，一次函数y= kx + b的图象从左到右上升，当kv 0时，一次函数y= kx + b的图象从左到右下降，函数的性质是由自变量的系数 k的正负来确定的。(1)y随x的增大而增大; y随x的增大而减小。k 0,b0 时,直线k 0,kv 0,kv 0,一次函数bv 0 时，b0 时，bv 0 时，直线直线直线y= kx + b经过第一、 y= kx + b经过第一、 y= kx + b经过第一、 y= kx + b经过第二、三象限;三、

7、四象限;二、四象限;三、四象限;一次函数y = kx + b(心0)k、b的符k 0k v 0号b 0bv 0b= 0-b 0bv 0b= 0I 1J丨II II 9 I图象m nF不市rti卞增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减少y = kx+ b的图象、性质与 k、b的符号的关系如下表:知识点三：一次函数与一元一次不等式（或方程）一次函数y= kx + b（k丰0）的图象是直线，当kx + b0时，表示图象在 x轴上方的部分；当kx + b= 0时，表 示直线与x轴的交点；当kx + bv0时，表示图象在x轴下方的部分。事实上，既可以运用函数图象解不等式和方程，也可以运用解不等式帮助研

8、究函数问题，函数、方程、不等 式三者之间相互渗透、相互作用。函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，其中函数模型用来刻画运动变化的 规律，不等式模型用来刻画变化过程中同类量之间的大小，方程模型是刻画运动变化过程中的某一瞬间，所以三 者是相互联系，但又各有侧重，所以，在应用过程中要细加体会，根据实际问题的特点， 建立恰当的模型来解决。知识点四、一次函数与二元一次方程（组）1二元一次方程 ax+ by = 0的解有无数个，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与把这个二元 一次方程化成y= ax + b（a丰0）的形式的一次函数的图象相同。2二元一次方程的所有解与相应

9、的一次函数图象的点的坐标是一一对应关系，也就是说一次函数图象上的任一 点的坐标（x , y）都是二元一次方程的一个解；二元一次方程的任意一个解x, y,对应的点都在一次函数的图象上。=占兀 +3.两条直线L仁y= kix+ bi（ki丰0）, L2： y = k?x+ b2（k 2工0）的交点坐标就是关于 x, y的方程组（才=乜汽+ 6的=占兀一玄解。例如：求直线y= 2x 5与y= 3x + 5的交点坐标，将这两条直线的解析式组成方程组，解得仁一所以交点坐标是（2 , 1）。规律方法指导1、培养数形结合的思想方法，提高数形结合的能力。数形结合的思想方法就是把数量关系与图形结合起来进行思考分

10、析的方法，它可以使抽象、复杂的问题变得 直观、简单、明了。2、转化的思想方法。把求函数值的问题转化为求代数式的值的问题，把求函数关系的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转 化为函数模型问题，从而利用函数的概念及性质解决实际问题。经典例题透析类型一：一次函数的概念1已知函数1： - 上-是一次函数，求其解析式.解：由题意得（1）一 1 且: - . 0 ;当孟U -；时 y 0,因此图象经过第一、三象限。【答案】A【变式2】一次函数y= mx+ n的图象如图所示，则下列结论正确的是()Amv 0, n 0,且y随x的增大而增大Bmv 0, nv 0,且y随x的增大而减小C、 m 0, n0,且

11、y随x的增大而减小 D m 0, n v 0,且y随x的增大而增大答案D【变式3】已知一次函数y= (3 k)x 2k + 18(1)k为何值时，函数图象过原点？(2)k为何值时，函数图象过点(0， 2) ? (3)k为何值时，y随x的增大而减小？分析：(1) 一次函数过原点，说明该函数为正比例函数，即一2k2+ 18= 0,且3 k工0o(2)把点(0， 2)代入函数解析式可求出 k的值。(3)利用一次函数的性质可得结论。汨+ 1呂丸卩=孑【答案】(1)由题意得I孑一七,足工弓, k= 3。即卩k = 3时，函数图象过原点。(2)由题意得一2k2+ 18= 2,二k=：当k =时，函数图象过

12、点(0， 2)。(3) 当3 k v 0时，即k 3时，y随x的增大而减小。【变式4】已知一次函数图象经过点 (3 , 3)，并且与直线y = 4x 3相交于x轴上一点，求此函数的关系式。分析：一次函数解析式的一般形式y = kx + b中含有两个待定系数，因此需要知道图象上两个点的坐标，才能确定k和b，已知一个点(3 , 3)，关键是求出图象上另一个点的坐标。此题是待定系数法与图象的综合运用。【答案】直线y = 4x 3与x轴交点坐标是，一次函数与y = 4x 3交于x轴上一点，.此一次函数图象与y= 4x 3图象的交点是 - J设此一次函数关系式为y = kx + b,将（3， 3）和分别

13、代入，得乜 土+A 3|兰上+3=0L44此函数关系式为y= _ x +1.5、如图，一个蓄水桶，60分钟可将一满桶水放干.解析：由于水桶的上半部比下半部粗，盛的水较多，因而水位在前类型五：一次函数图象的应用其中，水位h（ cm随着放水时间t （分）的变化而变化.h60cm20cm时下降的速度较慢；水位在 20cm0cm时，水桶里的水就很少了，下降得就很明显，即下降的速度较快；反映在解析式y=kx+b上，水位60cm20cm在时，| k I较小，水位在 20cm0cm时，| k |较大；反映在图象上，开始阶段 较“陡”，后来较“缓” 因而选C.总结升华：一次函数y=kx+b，当I k I越大，

14、其图象与 x轴的夹角越大，看起来就越“陡”；当I k I越小,其图象与x轴的夹角越小，看起来就越“缓”.举一反三：【变式】如图，圆柱形开口杯底部固定在长方体水池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中【答案】整个注水过程，可以分为三个阶段：第一阶段，开始向杯外的水池内匀速注入水时，由于杯子占空 间的缘故，此时间段内，水池中的水上升的较快一些；第二阶段，当水池中的水位与杯子高持平时，再注水，水 将要流向水杯，因而水池的水位不再上升；第三阶段，当水杯流满后，由于杯子不再占空间，所以该阶段水位上 升的速度要小于第一阶段反映在解析式y=kx+b上，第一阶段的I k I大于第三阶段I k I,第二阶段I

15、 k I =0；反映在图象上，开始阶段较“陡”，后来较“缓”，中间平行与x轴，只有选项B符合.类型六：一次函数与不等式的关系6、画出一次函数 y= 2x + 1的图象，利用图象求：方程2x+ 1 = 0的解；（2）不等式2x + 1 0的解集；（3）当y 3时，求x的取值范围；（4）当一3y 0。1 1射线BA上点的横坐标满足 x 一 ,不等式2x + 1 0的解集是x。 过点(0 , 3)作平行于x轴的直线CC，交直线 AB于C(1 , 3),直线CC上点的纵坐标 y均等于3，直线下方的点的纵坐标y均小于3,射线CB上点的横坐标满足 x 1。 y w 3时x的取值范围为x 1。(4) 过(0

16、， 3)点作平行于x轴的直线DD，交直线 AB于D( 2, 3)。从图象中可见：线段 DC上的点的纵坐标满足一 3wyw 3,而横坐标满足一2wxw 1。当一3w yw 3时，x的取值范围为一2w xw 1。总结升华：仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：(1) 一元一次方程 kx + b= yo(y 0是已知数)的解就是直线y = kx + b上y = yo这点的横坐标；(2) 一元一次不等式 y1 w kx + bw y2(y 1, y是已知数，且y1yo)(y 0是已知数)的解集就是直线 y = kx + b上满足yw yo (或y yo)那条射线所对应的自变量的

17、取值范围。利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集，这是利用函数图象解一元一次不等式的“三步曲”。同时，利用图象法求解时，要注意观察所画出的函数的图象，采用数形结合的方法求解，要提高自己对于图 象的阅读理解能力。举一反三：【变式】已知函数y1 = 2x 5，y2= 3 2x，当x取何值时,(1)y 1 y2； (2)y 1= y2；(3)y 1 y2，即2x 53 2x，解得x2；(2) y 1= y2，g卩 2x 5= 3 2x，解得 x = 2；(3) y 1 y2，g卩 2x 5 3 2x，解得 x2 时，y1 y2； (2)当

18、x= 2 时，y1 = y2； (3)当 x 2 时，屮 2 时，yi y2； (2)当 x= 2 时，yi = y2； (3)当 x v 2 时，y v y2。类型七：选择方案7、市政公司为绿化，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株 50元，乙种树苗每株 80元.有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%.(1) 若购买树苗共用了 28000元，求甲、乙两种树苗各多少株？(2) 若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗？(3) 若希望这批树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？解：(1)设购甲种树苗x株，则乙种树苗为(500 x)株.依题意得：50x+80(500 x)=28000 解之得：x=400 / 500-x=500-4