chapter多元函数的极值及应用PPT课件

1、教学要求：1. 理解多元函数极值和条件极值的概念; 3. 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值; 2. 掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件; 4. 会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题.第1页/共30页 .多元函数的极值多元函数的极值一一 .小值小值多元函数的最大值和最多元函数的最大值和最二二 .数法数法条件极值与拉格朗日乘条件极值与拉格朗日乘三三第2页/共30页 .多元函数的极值多元函数的极值一一1.二元函数极值的定义若都适合不等式若都适合不等式的点的点异于异于对于一切对于一切内有定义内有定义在在设设),( ,),(),(

2、0000yxPPyxPUyxfz ),(),(00yxfyxf 有极大值有极大值在在则称则称),(),(000yxPyxfz ),(),(00yxfyxf 或或 ).,(00yxf或极小值或极小值极大值与极小值统称为极值. .),(000为极值点为极值点yxP若引进点函数, 则 ;)(,)()(00为极大值为极大值时时当当PfPfPf .)(,)()(00为极小值为极小值时时当当PfPfPf 第3页/共30页(1)(2)(3)处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz

3、第4页/共30页2.极值存在的必要条件和充分条件 定理1（极值存在的必要条件）. 0),(, 0),(, ),(,),(),(00000000 yxfyxfyxyxyxfzyx则则极值极值取得取得且在且在具有偏导数具有偏导数在在设设Proof.,),(),(00取取得得极极小小值值在在设设yxyxfz ),(),(,00000yxfyxfyyxx 仍有仍有取取,),(00取取得得极极小小值值在在表表明明一一元元函函数数yyyxf . 0),(00 yxfy.0),(00 yxfx同同理理可可证证),(),(00yxfyxf 则则第5页/共30页注意: .),( ),(, 0),(, 0),()

4、1(000000的驻点的驻点为为则称则称若若yxfzyxyxfyxfyx . , ),( )2(0面面平行于平行于在极值点处的切平面为在极值点处的切平面为xoyzzyxfz (3) 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有具有偏导数，则它在偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条件为有极值的必要条件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. (4)驻点极值点（可偏导函数）第6页/共30页定理2（极值存在的充分条件）, ,),(),(0偏导数偏导数且有一阶及二阶连续且有一阶及二阶连续内连续内连续在在设设

5、PUyxfz , 0),(, 0),( 0000 yxfyxfyx又又 ),(),(),( 000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 令令,0)1( 2有极值有极值时时当当则则 BAC;0,0时有极小值时有极小值时有极大值时有极大值 AA;,0)2(2没有极值没有极值时时当当 BAC.,0)3(2需另作讨论需另作讨论为可能极值为可能极值时时当当 BAC第7页/共30页求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点. ).,(),(),( yxfyxfyxfyyxyxx求

6、求第二步第二步第第三三步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx， 求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第四步第四步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值. 第8页/共30页.1323),(. 12233的极值的极值求求 xyyxyxfexSolution.1, 02, 0 yyxx)1, 2(),0 , 2(),1, 0(),0 , 0( 驻点有驻点有, 0 xyfB36 yfCyy, 3, 0, 06)0 , 0()3( CBA处处在在, 3, 0, 06)1, 0( CBA处处在在得得由由 033063)1(22yyfxxfyx, 66

7、)2( xfAxx;, 0182有极大值有极大值 BAC;, 0182无极值无极值 BAC第9页/共30页, 3, 0, 06)0 , 2( CBA处处在在,23)1, 0( f极大值为极大值为. 3)0 , 2( f极小值为极小值为, 3, 0, 06)1, 2( CBA处处在在;, 0182有极小值有极小值 BAC.0182无极值无极值 BAC第10页/共30页.),(010422. 2222的极值的极值所确定的函数所确定的函数求由方程求由方程yxzzzyxzyxex Solution.求偏导得求偏导得方程两边对方程两边对yx,)2( 04222 yyzzzy,21 zxzx21 zyzy

8、, 1, 10, 0 yxzzyx得得令令. 2, 621 zz从而从而的邻域内取值情况的邻域内取值情况及及在在下面考虑函数下面考虑函数)2, 1, 1()6 , 1, 1(),( yxzz)1( 04222 xxzzzx第11页/共30页10422),(222 zyxzyxzyxF令令42 zFz则则, 08)2, 1, 1(, 08)6 , 1, 1( zzFF由于由于),(),(21yxfzyxfz 从而确定了从而确定了)1( 04222 xxzzzx由于由于)2( 04222 yyzzzy021)1(2 xxxxxzzzzx求偏导得求偏导得对对02)1( xyxyxyzzzzzy求求偏

9、偏导导得得对对021)2(2 yyyyyzzzzy求偏导得求偏导得对对第12页/共30页,41, 0, 041,)6 , 1, 1( CBA处处在在,41, 0, 041,)2, 1, 1( CBA处处在在. 2)1, 1(, 6)1, 1( zz极极小小值值为为极极大大值值为为;, 02有有极极大大值值 BAC., 02有有极极小小值值 BAC第13页/共30页 .小值小值多元函数的最大值和最多元函数的最大值和最二二(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.(2)

10、 实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点. 第14页/共30页. 0, 0, 11. 32222的最大值的最大值内内在在求求 yxyxyxxyzexSolution. 令令,12122222 yxyx即即.31 yx得得,1)31,31(22内内在在且且 yx0112222 yxyxyyxxzy0112222 yxxxyyxyzx331)31,31( z而而第15页/共30页,对于边界上的点对于边界上的点, 0),(1, 0, 022 yxzyxyx代代入入函函数数得得以以 .)31,31(为最大值点为最大值点ex4. 把一个正数

11、a表为三个正数之和，使其乘积最大，求这三个数.Solution. .0 ,0,ayaxyxayx 且且可可设设三三个个数数为为 .331最大值为最大值为第16页/共30页)( yxaxyz 则则 )1()()1()(xyyxaxzxyyxayzyx 0)2(0)2(yxaxzyxayzyx令令3ayx 得得,)3,3(为唯一驻点为唯一驻点从而从而aa.3,3时其乘积取得最大值时其乘积取得最大值即三个数为即三个数为时时故在故在aayx ,值值根据实际问题存在最大根据实际问题存在最大第17页/共30页 .数法数法条件极值与拉格朗日乘条件极值与拉格朗日乘三三1. 条件极值自变量除了受其定义域限制外还

12、有别的条件限制，这种情况下的极值称为条件极值.相应地，前面讨论的极值称为无条件极值.条件极值与无条件极值的区别和联系，例如的极值的极值求求22)1(yxz 条条件件下下的的极极值值在在求求1)2(22 yxyxz第18页/共30页Solution.(1) 显然函数在（0，0）点处取得极小值.1000.)0 , 0)(2( 点不可能是极值点点不可能是极值点得得代入代入把把221yxzxy 1222 xxz.21,21,21取得极小值取得极小值此时此时时时当当zyx 可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件极值来求，称为“降元法”；并非所有条件极值都能用“降元法”解，为此必须介绍新的方法.第1

13、9页/共30页2. 拉格朗日乘数法 .0),(),(条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在考虑考虑 yxyxfz , ),(),(),(,求其可能极值点求其可能极值点作函数作函数一方面一方面yxyxfyxF 0 xxxfF令令 0),(0yxffxyyx 即即说明F(x, y,)的可能极值点为上述方程组确定的(x, y).),(0),(,xyyx 确定了确定了另一方面另一方面0 yyyfF0),( yxF ),(),(yxyxdxdyyx 且且第20页/共30页的的可可能能极极值值点点为为满满足足而而)(,(xxfz 0),(,0 yxdxdz 同时同时的点的点,dxdyffdxdzyx 又

14、又.0),(0 yxffxyyx 即即注意: (1) 拉格朗日乘数法: ,0),(),( 条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在要找要找 yxyxfz ),(),(),( yxyxfyxF 先构造拉格朗日函数先构造拉格朗日函数 0),(00yxFfFfFyyyxxx 令令解出(x,y)即为可能极值点.判断是否为极值点通常由实际问题来定.第21页/共30页 :0),(),( )2(条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在求求 zyxzyxfu ),(),(),( zyxzyxfzyxF 构造函数构造函数 0),(000zyxFfFfFfFzzzyyyxxx 令令解出(x,y,z)即为可能极值点

15、. :0),(, 0),( ),( )3(条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在求求 yxyxyxfu ).,(),(),(),( yxyxyxfyxF 构造函数构造函数第22页/共30页ex5. 三个正数的倒数和为1，求使三个正数和为最小 的三个正数.Solution.0, 0, 0, zyxzyx则则设三个正数为设三个正数为1111 zyx且且条条件件下下的的最最小小值值在在问问题题即即为为求求1111 zyxzyxu)1111(),( zyxzyxzyxF 设设第23页/共30页)1111(),( zyxzyxzyxF 设设 令令 1222 zyx .3为所求为所求由题意由题意 zyx

16、222zyx zyx 3 zyx012 xFx 012 yFy 012 zFz 01111 zyxF ,)3 , 3 , 3(为唯一驻点为唯一驻点,又实际问题存在最小值又实际问题存在最小值第24页/共30页.,1. 622与最短距离与最短距离求原点到这椭圆的最长求原点到这椭圆的最长截成椭圆截成椭圆被平面被平面旋转抛物面旋转抛物面 zyxyxzexSolution.,),(为为椭椭圆圆上上的的点点设设zyx, 1,22 zyxyxz且且, 2222zyxd 则则)1()( ),(22222 zyxzyxzyxzyxF 设设 )5( 01)4( 0)3( 02)2( 022)1( 02222zyx

17、FzyxFzFyyFxxFzyx 令令第25页/共30页0)1)()2()1( yx得得)(21)3(, 0)1(1舍去舍去得得再代入再代入得得时代入时代入当当 z ,2122 xzxzyx时有时有当当32),31(21 zx解得解得)32 ,231,231()32 ,231,231( 与与可能驻点为可能驻点为,3591 d3592 d,359,1 d最长距离为最长距离为由此可知由此可知.3592 d最短距离为最短距离为,由实际问题存在最值由实际问题存在最值第26页/共30页ex7. 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面 1222222 czbyax的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四

18、的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标面体体积最小，求切点坐标. Solution.设设),(zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点, 令令1),(222222 czbyaxzyxF, 则则22|axFPx ， 22|byFPy ， 22|czFPz 过过),(zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(2xXax )(2yYby0)(2 zZcz, 第27页/共30页化简为化简为 1222 ZczYbyXax, 该该切切平平面面在在三三个个轴轴上上的的截截距距各各为为 xaX2 ，ybY2 ，zcZ2 , 所围四面体的体积所围四面体的体积 xyzcbaXYZV66122