差分方程、滞后运算

1、金融计量学金融计量学张成思张成思2 第二讲第二讲 差分方程、滞后运算与差分方程、滞后运算与 动态模型动态模型2.1 2.1 一阶差分方程一阶差分方程2.2 2.2 动态乘数与脉冲响应函数动态乘数与脉冲响应函数2.3 2.3 高阶差分方程高阶差分方程2.4 2.4 滞后算子与滞后运算法滞后算子与滞后运算法 2.1 2.1 一阶差分方程一阶差分方程 2.1.1 2.1.1 差分方程的定义差分方程的定义 (2.1) 一个差分方程差分方程就是指将一个变量的当期值定义为它的前一期和一个当期的随机扰动因素的函数。模型（2.1）等式的右侧只有因变量的一次滞后期出现，这样的差分方程称为一阶差分方程。31ttt

2、yy图图2.1 2.1 美国美国CPICPI环比通胀率环比通胀率 1948年1季度-2010年3季度原始数据来源：Fred Data, Federal Reserve Bank of St. Louis，经作者计算。-404812161950196019701980199020002010U.S. CPI Inflation%511(1)ttttyyy1tttyyy2112()() ()ttttttyyyyyy一些差分运算常用的表达式:62.1.2 2.1.2 一阶差分方程的求解一阶差分方程的求解( (反复迭代反复迭代法法):):01012212012012323230123121012100

3、0()tttttttttit iittyyyyyyyyyyyyyyyy 如果 是给定的，则因此若给定初始值 ， 就可以由 的序列来表示。7001021022101010110()mmjmjjt mt mitmt iiyyyyyyyyy 如果 没有给定，则 可以观察到，（1）如果 ,那么 的取值随着m的不断增大而减小，最终减为0，此时 称为收敛序列。（2）如果 ，那么 的取值随着m的不断增大将不会逐渐减小为0，而是趋近于无穷大。此时 称为非收敛序列。111tmty11tmty （3）如果 ，差分方程描绘的变量序列仍然是非收敛序列，但这种特殊情况下的差分方程对应一个专门的名称，叫做随机游走过程（r

4、andom Walk process)。1图图2.22.2（a a） 经过以上分析，可以得出结论：一阶差分方程中的一阶滞后项的系数的大小关键性地决定了差分方程的求解结果。实际上，这个系数的取值也关键性地决定了时间序列变量的动态走势特征。 后面的图即描绘了一阶差分方程中不同 系数的所对应的 序列的动态路径。 ty-0.8-0.40.00.40.81.251015202530tttyy13 . 011图图2.22.2（b b）-1.0-0.50.00.51.05101520253010.8tttyy12图图2.22.2（c c）-3-2-101510152025301tttyy13图图2.22.2

5、（d d）-200-150-100-5005101520253011.2tttyy14图图2.22.2（e e）-2-10125101520253010.8tttyy 15图图2.22.2（f f）-40-20020405101520253011.2tttyy 我们可以看出，一阶差分方程的滞后项系数大小可以判断出时间序列变量的收敛与发散特征。在金融计量分析中，我们还可以通过观察时间序列变量的走势来初步判断该时间序列的收敛与发散特征，以及如何构建时间序列模型。 2.2 2.2 动态乘数与脉冲响应函数动态乘数与脉冲响应函数 2.2.1 2.2.1 动态乘数动态乘数（dynamic multipli

6、erdynamic multiplier） 2.2.2 2.2.2 脉冲响应函数脉冲响应函数（impulse impulse response function, IRF response function, IRF）2.2.1 2.2.1 动态乘数动态乘数1, =,0, 1, 2ttttjtyyyj对于而言 动态乘数可以定义为动态乘数 j=0, =tty在这种特殊情况下 动态乘数也经常被称为影响乘数（impact multiplier）,影响乘数111111 tttjjjt jtttt jt iyyyy 另外，也可以写成 t jjty一阶差分方程的动态乘数的表达式可以写成 2.2.2 2.2

7、.2 脉冲响应函数脉冲响应函数 从动态乘数的定义可知，对应每一个时期跨度j，有一个对应的动态乘数，那么如果将不同时期跨度j的动态乘数按j从小到大的顺序摆放在一起，形成一个路径，就成为了脉冲响应函数。 累积脉冲响应函数： 累积脉冲响应函数用来衡量随机扰动因素出现永久性变化后，即 都 变化一个单位，对 造成的影响和冲击情况。 12121t jt jt jt jjjjtttt jyyyy 1,ttt j tjy 从模型可知，如果 条件满足，在极限情况下，累积脉冲响应函数就等于 。 无论是脉冲响应函数还是累积脉冲响应函数，其根本特性都由一阶滞后项系数 决定。 111图图2.3(a)2.3(a) -0.

8、8-0.40.00.40.8051015200.3(a)(a) (b)(b)-0.8-0.40.00.40.8051015200.8图图2.3(b)2.3(b)-0.8-0.40.00.40.81.2051015201.0(c)(c)图图2.3(c)2.3(c) (d)-10010203040051015201.2图图2.3(d)2.3(d)图图2.3(e)2.3(e) (e)(e)-1.2-0.8-0.40.00.40.81.2051015200.8 (f)(f)-40-30-20-10010203040051015201.2图图2.3(f)2.3(f) 图2-3非常清晰地显示出，不同的 取

9、值，对应的脉冲响应函数图表现非常不同。归纳来说： 在 的情况下，如(a)和(b)情形，体现在脉冲响应函数中的动态乘数随时间跨度j的增加而呈现几何式递减并最终趋近于0的趋势。01 当 时，如(e)情形，动态乘数的取值正负号交替变化，但是这些动态乘数的绝对值是呈现逐渐递减至0的，这种情形经常被形象地称作“震荡式衰减”。 这样，对于 的情况，从脉冲响应函数图来看，随机扰动因素对序列 的冲击将最终消失，而对应的一阶差分方程在这种情况下就是一个稳定的系统。1ty01 再来考察其它可能的情况： 首先，如果 ，如(c)，动态乘数始终等于1，而不管时间跨度j如何变化。这样， 一个单位的变化将导致序列 永久性地变化一个单位。 1ty 其次，对于 的情况，(d)描绘了对应例子的脉冲响应函数图