微积分 微分方程

1、12021-10-2222021-10-22微分方程：微分方程：例如例如2dyxdx 2()0yx dyxdx23xyyye zxyx 含有未知函数含有未知函数导数或微分导数或微分等式叫等式叫都是微分方程都是微分方程.未未知知函函数数为为一一元元函函数数微微分分方方程程叫叫常常微微分分方方程程.未未知知函函数数为为多多元元函函数数的的微微分分方方程程叫叫偏偏微微分分方方程程最后一个是偏微分方程，将重点研究常微分方程。最后一个是偏微分方程，将重点研究常微分方程。32021-10-22微分方程的阶微分方程的阶: : 未知函数导数的最高阶数称为未知函数导数的最高阶数称为2()0yx dyxdx23x

2、yyye zxyx 2dyxdx 一阶和二阶微分方程一阶和二阶微分方程:未未知知函函数数及及未未知知函函数数导导数数或或微微分分微微的的分分方方程程的的次次数数最最高高次次数数. .线性与非线性微分方程：线性与非线性微分方程：52yy 2()20 x yyyx 42021-10-22微分方程的解：微分方程的解：能使方程左右两边相等能使方程左右两边相等函数函数212120.2,stC tCCC 例例如如，为为常常数数。220.4d sdt 是是解解；20.220stt 220.4d sdt 也也是是的的解解通解：通解：相互独立任意常数的个数与阶数相同相互独立任意常数的个数与阶数相同52021-1

3、0-22特解特解: : 通解中任意常数确定以后的解通解中任意常数确定以后的解2220.2200.4d ssttdt 是是的的特特解解。定解条件定解条件: : 用来确定通解中任意常数条件用来确定通解中任意常数条件62021-10-2272021-10-22( )( )g y dyf x dx 形形如如4252dyx ydx 例例4252ydyx dx 变变为为可可分分离离变变量量为为微微分分方方程程。( )( )g y dyf x dx 积积分分得通解得通解82021-10-221 2.dyxydx 例例求求通通解解解：分离变量解：分离变量12dyxdxy 两端积分两端积分2dyxdxy 2ln

4、lnyxc为为通通解解2xyce 92021-10-22 0,1.yxyxy 例例2 2 求求通通解解，并并求求的的特特解解dyxdxy 分分离离变变量量得得212122ycx 两两端端积积分分得得24yxC 通通解解为为244.yx 所所求求特特解解为为dyxydx 解解：原原方方程程为为0,1C=4xy 由由得得102021-10-22 y tt解解：设设人人口口数数量量为为，是是时时间间 函函数数由由题题设设得得方方程程00ty 时时，人人口口数数量量为为dydt人人口口增增长长率率 ()dykykdt 为为常常数数0302ty 时时，人人口口数数量量应应为为dykdty 分分离离变变量

5、量112021-10-22ln2300tyy e 特特解解为为3002kttyyyce 将将代代入入ln230k 得得30ln3tln2 得得时时，人人口口是是原原人人口口的的三三倍倍。00kttyyyce 将将代代入入0Cy 得得llnn yktc 两两边边积积分分得得ktyce 通通解解为为dykdty 分分离离变变量量122021-10-22)()(xQyxPdxdy 标准形式标准形式( ) 0Q x 称为称为齐次齐次方程方程称为称为非齐次方程非齐次方程( )0Q x 2dyyxdx 如如2sindxxttdt, 32 xyyy, 1cos yy是一阶线性非齐次微分方程是一阶线性非齐次微分方程不是不是. . ,P xQ x 连连续续21dxxydyy 132021-10-22故一阶线性非齐次微分方程通解为故一阶线性非齐次微分方程通解为()()( )P x dxP x dxyQ x edxC e 142021-10-221sin xyyxx 求求方方程程的的通通解解1( ),P xx 解解：,sin)(xxxQ (