微积分研讨课——通过双曲函数求积分

1、通过双曲函数求积分通过双曲函数求积分电科四班杜新川例:(2008-2009第一学期-填空第四题)0000 xsec212secisinxcosixix-isinix-cosdxeedxixdixidxixx双曲函数双曲函数双曲正弦：双曲余弦：双曲正切：双曲余切：双曲正割：双曲余割：2sinhxxeex2coshxxeexxxxxeeeexxxcoshsinhtanhxxeexhx2sinh1csc1sinhcosh22xxxxxxeeeexxtanh1cothxxeexhx2cosh1sec等轴双曲线双曲函数和三角函数的转化关系双曲函数和三角函数的转化关系ixhxixxixixixihxixi

2、xixixsecseccoscoshsinsinhcsccsccotcothtantanh四则运算四则运算xxxxxxxxxxxxxxyxyxyxyxyxyxyxyxyx332222sinh4sinh33sinhcosh3cosh43coshcoshsinh22sinh1sinh21cosh2sinhcosh2coshtanhtanh1tanhtanh)tanh(sinhcoshcoshsinh)sinh(sinhsinhcoshcosh)cosh(求导法则求导法则（sinh x)=cosh xsinh x)=cosh x（cosh x)=sinh xcosh x)=sinh x（tanh x

3、)=sechtanh x)=sech2 2x=1-tanhx=1-tanh2 2 x x（coth x)=-cschcoth x)=-csch2 2x x（sech x)=-sech xsech x)=-sech x* *tanh xtanh x（csch x)=-cschxcsch x)=-cschx* *coth xcoth x积分变换积分变换CxxdxCxxdxCxxdxCxxdxCxhxdxCxhxdx)ln(sinhcoth)ln(coshtanhcoshsinhsinhcosh2tanhlncscharctansinsec玩一点高端的玩一点高端的 悬链线悬链线 与达芬奇的时代时隔与

4、达芬奇的时代时隔170170年，久负盛名的雅各布年，久负盛名的雅各布伯努利在一篇论伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。 但遗憾的是，面对这个苦恼的难题，他没有丝毫进展。一年后，但遗憾的是，面对这个苦恼的难题，他没有丝毫进展。一年后，雅各布

5、的努力还是没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰雅各布的努力还是没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰伯努利发伯努利发表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却几乎不表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却几乎不 可能算是一可能算是一个谦和的胜利者，因为他后来回忆说：个谦和的胜利者，因为他后来回忆说： 我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）没错，为研究这道题，我整整一晚没有休息没错，为研究这道题，

6、我整整一晚没有休息不过第二天早晨，我就满不过第二天早晨，我就满怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样，怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再折磨自己始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。 可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了“整整一晚整整一晚”的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一的休息时间，而雅

7、各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一种种“奇耻大辱奇耻大辱”。)cosh(axay 函数表达式：函数表达式：这只是刚刚开始我们试着从悬链线的下定点我们试着从悬链线的下定点做渐开线会得到什么呢？做渐开线会得到什么呢？经过一堆巴拉巴拉的微分几何的运算经过一堆巴拉巴拉的微分几何的运算sin)42lntan(cosaayax这个又是什么鬼？这个又是什么鬼？曳物线曳物线(tractrix)(tractrix) 是指被是指被曳拉物体受垂直于初始静曳拉物体受垂直于初始静止状态时绳线方向的牵引止状态时绳线方向的牵引力作用下的运动轨迹。力作用下的运动轨迹。好吧，说人话好吧，说人话 悬链线的顶点的渐开线是曳物线（tractrix).这条曳物线的渐进线称为悬链线的准线好，继续最速降曲线最速降曲线正交场离子运动轮摆线形成过程类比到悬链线呢？类比到悬链线呢？悬链线是直线上滚动的抛物线悬链线是直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹的焦点的运动轨迹试着旋转一下两种曲面呢试着旋转一下两种曲面呢伪球面伪球面悬链面悬链面回到这个题：回到这个题： 不难发现其实所要求的被积函数就是不难发现其实所要求的被积函数就是1/2sechx1/2sechx，通过双曲函数的积分变换可求，通过双曲函数的积分变换可求得原函数得原函数40)nharctan(silim21)nharctan(si21sec210