二次函数经典例题

1、二次函数经典例题例当-2xl时，二次函数y=-(x-m)2+m2+l有最大 值4，则实数m的值为:分析：二次函数开口向下,其增减性与对称轴x二m有关.对于-与直线x二m有以下三种位置关系:-2WxW1在对称轴的左侧：在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，时，最大值二纭可解得m二2-2WxW1在对称轴的两狈叽x时，y最大值=纭 可角军得m二3. -2WxW1在对称轴的右侧：在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，贝ijx二时，y最大值二4，可解得综上所述：当y=- (x-m)2+1有最大值4时，m=例2：已知二次函数y=ax2+bx+c(a0),如图所示, 当-5x0,2a+b=0,当时,a+bam2

2、+bm, a-b+c0,:axi2+bxi=ax22+bx2,且 XiHX2,x 计 X2 二 2,其中正 确的有()A.解：丁抛物线开口向T, AcKo, :抛物线对称轴为性质x=-A0,即2a+b=0,.所以正确；丁抛物线与yc0, .om2+bm+c,即所以正确;抛物线与*轴的一个交点在3, 0）的左侧，而对称轴为性质=1,抛物线与x轴的另一个交点在（-1, 0）的右侧当尸-1时，y0, .c7-b+c0,所以错误;axi+bxaxbxi,。疔+曲_ axi - bxz=O,a (xi+xz) (xi-怒)+b (xiX2)=0,(xi-xz) a (xi+xz) +b=0,而 x#X2

3、, :口 (xi+xz) +b|=0?即 xi+x2=-a例5：“如果二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与X轴有两个交点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”, 请根据你对这句话的理解，解决下面的问题：若gn (mn) 是关于X的方程(x-a) (x-b)=O的两个根，且ab, IJJiJa, b, m, n 的大小关系是()A.B crCmV门C crCn D解：依题意，画出函数尸Cx- o) J b的圉象，如圉所示.函数图象为拋物线，幵口向上，与次轴两个交点的横坐标分别为C，b (cVb* 右程:丄-(、X O ) ( X b) =O转化为(X C7)X-七)

4、=1,方程的两根是拋物线y= J-C)(x - b)勻貢线=：!的两个交点.由mn,可知对称铀左侧交点横坐标沟m,右侧沟n.由抛物线幵口向上，则在对称轴左侧，F随菽増犬而减少，则有mVm 在对称 车由右侧，y隨*增大而増大，则有b.n.综上所述，可知EVcrbG故选A.例6：如图，抛物线y=x2-2x-3与X轴交于A,B两点(人在咄勺 左侧)，直线L交抛物线于A,C两点，其中C点的横坐标为2.(1) 求A,B两点的坐标和直线L的解析式。(2) P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交 抛物线于点E,求线段PE长度的最大值。(3) 点G是抛物线上的一个动点，在X轴上是否存在点F ,使以A,C,F,G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在, 求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由。 解:(1)令y=0,解得或X2=3,/.A(-1, 0),B(3, 0) 将点C的横坐标2代入y=x2-2x-3得y=-3,.C (2, -3)直线L的解析式为y=-x-3设P点的横坐标为m (-1m4X4) =5： 4.化闾得la? - 2a - 31=5.ar - 2a - 3=5,得a二4或狂-2.AP (4, 5