2021届高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算教师文档教案文北师大版

1、第一节第一节平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第 75 页基础梳理1向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量，常用 a 或ab表示(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的长度叫作向量的模，记作|a|或|ab|.(3)几个特殊向量：特点名称长度(模)方向零向量0任意单位向量1任意相等向量相等相同相反向量相等相反平行向量相同或相反2.向量的加法、减法与数乘定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法向量 a 加上向量 b的相反向量叫作 a与

2、b 的差三角形法则aba(b)数乘实数与向量 a 的积的运算(1)|a|a|；(2)当0 时，a 与 a 的方向相同；当0 时，a 与 a 的方向相反；当0 时，a0(1)(a)()a；(2)()aa a；(3)(ab)ab3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba4平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2(2)基底：不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底5平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的

3、两个单位向量 i，j 作为基底，该平面内的任一向量 a 可表示成 axiyj，由于 a 与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫作向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，其中 a 在 x 轴上的坐标是 x，a 在 y 轴上的坐标是 y.6平面向量的坐标运算向量的加法、减法设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)向量的数乘设 a(x，y)，r r，则a(x，y)向量坐标的求法设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x2x1，y2y1)7.向量共线的坐标表示若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10

4、.1与向量 a 共线的单位向量为a|a|.2两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则3a，b，c 三点共线，o 为 a，b，c 所在直线外任一点，则oaoboc且1.4若abac，则 a，b，c 三点共线5p 为线段 ab 的中点op12(oaob)6g 为abc 的重心gagbgc0og13(oaoboc)(o 是平面内任意一点)7p 为abc 的外心|pa|pb|pc|.8|a|b|ab|a|b|.9若 a 与 b 不共线，ab0，则0.四基自测1(基础点：向量共线与三点共线)已知ab(m，5n)，bc(2m，8n)，cd(3m，3n)，则()aa，b，d 三点共线

5、ba，b，c 三点共线cb，c，d 三点共线da，c，d 三点不共线答案：a2(基础点：向量减法的坐标运算)已知向量 a(2，3)，b(3，2)，则|ab|()a. 2b2c5 2d50答案：a3(基础点：平面向量基本定理)已知abc，设 d 是 bc 边的中点，用ab与ac表示向量ad，则ad_.答案：12ab12ac4(易错点：向量加减法的几何意义)在平行四边形 abcd 中，若|abad|abad|，则四边形 abcd 的形状为_答案：矩形授课提示：对应学生用书第 76 页考点一向量的基本概念挖掘判断向量有关概念的正确性/自主练透例(1)给出下列五个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，

6、终点相同；若|a|b|，则 ab；在abcd 中，一定有abdc；若 mn，np，则 mp；若 ab，bc，则 ac.其中不正确的个数是()a2b3c4d5解析两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故不正确；|a|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等，故不正确；、正确；零向量与任一非零向量都平行，当 b0 时，a 与 c 不一定平行，故不正确答案b(2)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小a0(为实数)，则必为零，为实数，若ab，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为

7、()a1b2c3d4解析错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当 a0 时，不论为何值，a0.错误当0 时，ab0，此时，a 与 b 可以是任意向量答案c破题技法把握向量有关概念的关键点(1)定义，方向和长度，二者缺一不可(2)非零共线向量，方向相同或相反，长度没有限制，与直线平行不同；与起点无关；非零向量的平行也具有传递性(3)相等向量，方向相同且长度相等，与共线向量不同；相等向量具有传递性(4)单位向量，方向没有限制，但长度都是一个单位长度；a|a|是与 a 同方向的单位向量(5)零向量，方向没有限

8、制，长度是 0，规定零向量与任何向量共线(6)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量解题时，不要把它与函数图像的平移混淆考点二共线向量定理及其应用挖掘 1判定点或向量共线/ 自主练透例 1(1)已知平面内一点 p 及abc，若papbpcab，则点 p 与abc 的位置关系是()a点 p 在线段 ab 上b点 p 在线段 bc 上c点 p 在线段 ac 上d点 p 在abc 外部解析由papbpcab知：papbpcpbpa，即pc2pa，故点 p 在线段 ac上答案c(2)已知向量 e10，r，ae1e2，b2e1，若向量 a 与向量 b 共线，则()a0be20ce1e2de1e2

9、或0解析设 akb，e1e22ke1，2k1，0.当0 时，ae1，b2e1.a 与 b 共线，当 e1e2时，a 与 b 也共线答案d破题技法两向量共线有两种应用形式：(1)几何形式：ab.(2)代数形式：a(x1，y1)，b(x2，y2)abx1y2x2y10，其实质都是等式关系故 ab等价于存在不全为零的实数1，2，使1a2b0 成立挖掘 2应用向量共线求参数/ 互动探究例 2(1)已知点 m 是abc 所在平面内的一点，若点 m 满足|amabac|0 且 sabc3sabm，则实数_解析如图，设 d 为 bc 的中点，则abac2ad，因为|amabac|0，所以amabac0，所以

10、amabac2ad，于是 a，m，d 三点共线，且|am|ad|2|，又 sabc3sabm，所以sabmsabc13，又因为 sabd12sabc，且sabmsabd|am|ad|2|，所以13sabm2sabd122|，解得3.答案3(2)如图所示，在abc 中，点 o 是 bc 的中点，过点 o 的直线分别交直线 ab，ac 于不同的两点 m，n，若abmam，acnan，则 mn 的值为()a1b2c3d4解析由 o 是 bc 的中点，可得ao12ab12ac，由题意知ao12mam12nan，因为 o，m，n 三点共线，所以12m12n1，则 mn2.(3)(2018高考全国卷)已知

11、向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则_解析2ab(4，2)，因为 c(2ab)，所以 42，得12.答案12破题技法共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具解题过程中常用到结论：“p，a，b 三点共线”等价于“对直线 ab 外任意一点 o，总存在非零实数，使opoa(1)ob成立”即oa与ob的系数和为 1.拓展共线定比例(1)坐标成比例， 即若两向量共线， 则它们的坐标对应成比例(假设其中一向量两坐标均不为零)；(2)基底分解成比例，即已知 a，b 不共线，cpaqb，dmanb，若 cd，则pmqn(mn0)，即 pnmq0.已知 a1，a2，a3为平面上三个不

12、共线的定点，平面上点 m 满足a1m(a1a2a1a3)(是实数)，且ma1ma2ma3是单位向量，则这样的点 m 有()a0 个b1 个c2 个d无数个解析：法一：由题意得，ma1(a1a2a1a3)，ma2ma1a1a2，ma3ma1a1a3，ma1ma2ma3(13)(a1a2a1a3)，设 d 为 a2a3的中点，(13)(a1a2a1a3)是与a1d共起点且共线的一个向量，显然直线 a1d 与以 a1为圆心的单位圆有两个交点，故有两个值，即符合题意的点 m 有两个，故选 c.法二：以 a1为原点建立平面直角坐标系(图略)，设 a2(a，b)，a3(m，n)，则a1a2a1a3(am，

13、bn)，m(am)，(bn)，ma1(am)，(bn)，ma2(a(am)，b(bn)，ma3(m(am)，n(bn)，ma1ma2ma3(13)(am)，(13)(bn)ma1ma2ma3是单位向量，(13)2(am)2(bn)21，a1，a2，a3是平面上三个不共线的定点，(am)2(bn)20，所以关于的方程有两解，故满足条件的 m 有两个，故选 c.答案：c考点三平面向量的线性运算与基本定理挖掘 1数形结合法解决基本定理的应用/自主练透例 1(1)(2018高考全国卷)在abc 中，ad 为 bc 边上的中线，e 为 ad 的中点，则eb()a.34ab14acb14ab34acc.3

14、4ab14acd14ab34ac解析作出示意图如图所示ebeddb12ad12cb1212(abac)12(abac)34ab14ac.故选 a.答案a(2)(2020南昌模拟)如图所示，平面内有三个向量oa， ob， oc，其中oa与ob的夹角为 120，oa与oc的夹角为 30，且|oa|ob|1，|oc|2 3，若ocoaob(，r)，则的值为_解析如图所示，构造平行四边形，ocd90，|oc|2 3，cod30，|cd|2 3332|oe|，|od|2 3cos 30|4，6.答案6(3)给定两个长度为 1 的平面向量oa和ob，它们的夹角为 120，点 c 在以 o 为圆心的圆弧 a

15、b上运动，若ocxoayob，则 xy 的最大值是()a.12b1c.32d2解析以 o 为原点，oa 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 a(1，0)，b12，32 ，c(cos ，sin )023.ocxoayob，cos x12y，sin 32y，x13sin cos ，y23sin ，xy13sin cos23sin 3 sin cos 2sin6 .又知 023，sin6 12，1，当3时，xy 取最大值 2，故选 d.答案d破题技法数形结合法适用于已知平面几何图形或向量等式，利用向量的模的几何意义，求解模的最值或取值范围的问题破解此类题的关键点：(1)借形研究，即利

16、用条件并结合图形，将相关向量用基底表示，确定相关向量的几何意义，或将相关向量坐标化，在平面直角坐标系中表示出相关向量(2)用形解题，即利用图形的直观性，运用向量的运算法则、运算律等进行计算，即可求出向量模的最值或取值范围挖掘 2代数法(方程)求解向量/互动探究例 2(1)(2020河北武邑中学期中测试)已知在 rtabc 中，bac90，ab1，ac2，d 是abc 内一点，且dab60，设adabac(，r)，则()a.2 33b33c3d2 3解析如图，以 a 为原点，ab 所在直线为 x 轴，ac 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 b 点的坐标为(1， 0)， c 点的坐标为(0

17、， 2)， 因为dab60， 所以设 d 点的坐标为(m， 3m)(m0)ad(m， 3m)abac(1，0)(0，2)(，2)m，32m，则2 33.故选a.答案a(2)如图所示，在abo 中，oc14oa，od12ob，ad 与 bc 相交于点 m，设oaa，obb.试用 a 和 b 表示向量om.解析设ommanb，则amomoamanba(m1)anb.adodoa12oboaa12b.又a，m，d 三点共线，am与ad共线存在实数 t，使得amtad，即(m1)anbta12b.(m1)anbta12tb.m1t，nt2，消去 t 得，m12n，即 m2n1.又cmomocmanb1

18、4am14 anb，cbobocb14a14ab.又c，m，b 三点共线，cm与cb共线存在实数 t1，使得cmt1cb，m14 anbt114ab，m1414t1，nt1.消去 t1得，4mn1.由得 m17，n37，om17a37b.破题技法方程法是指利用平面向量共线或垂直的线性运算或坐标运算，建立关于参数的方程，从而求出参数值的方法破解此类题的关键点：(1)向量问题代数化，即利用平面向量平行或垂直的线性运算或坐标运算进行转化，得到含参数的方程；(2)解决直角三角形、等边三角形、矩形等特殊图形中的向量问题时，建立合适的平面直角坐标系可以快速打开思路挖掘 3直线的方向向量/互动探究例 3求过点 p0(x0，y0)与向量 a(a1，a2)平行的直线方程解析当 a10 时，则 aa1(1，a2a1)，则所求直线的斜率 ka2a1