高等数学第二章——导数与微分4PPT学习教案

1、会计学1高等数学第二章高等数学第二章导数与微分导数与微分4一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定函数的导数二、由参数方程所确定函数的导数第1页/共20页定义定义: :. )(0),(,0),(xfyyxFyxyxF 函数函数该区间内确定了一个隐该区间内确定了一个隐在在那么就说方程那么就说方程值存在值存在的的唯一唯一的的相应地总有满足这方程相应地总有满足这方程间内的任一值时间内的任一值时取某区取某区当当中中设在方程设在方程.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如

2、何求导?第2页/共20页隐函数求导法则隐函数求导法则: :应用复合函数求导法则直接对方程应用复合函数求导法则直接对方程 两边关于两边关于x求导求导,在求导过程中视在求导过程中视y为为x的函数，的函数，即把即把y视为中间变量视为中间变量.( , )0F x y 第3页/共20页例例1 100,.xyxxyeedydyydxdx 求由方程所确定的隐函数求由方程所确定的隐函数的导数的导数解解要特别注意在求导的过程中，视要特别注意在求导的过程中，视 y = f (x)是是x的函的函数数.:求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx

3、由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第4页/共20页例例2 2.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy第5页/共20页解解例例3 321(arcsin ).1xx 用隐函数求导法验证：第6页/共20页例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23xxxexxxyx等式两

4、边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设第7页/共20页例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 xxxxyy1sinlncos)sinln(cossinxxxxxx 第8页/共20页一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv( )( ) ( )( ) ln ( )( )( )fxv x u xv xu xf

5、 xu x)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 第9页/共20页方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :总结例总结例4 4、例、例5 5如下如下: :()( ).v xu x多多个个函函数数相相乘乘、除除及及幂幂指指函函数数的的情情形形第10页/共20页1. 设设tan3ln22(sin ),(2)xxxxyxxx 求求.y 1y2y提示提示: 分别用对数求导法求分别用对数求导法求12,.yy答案答案12y

6、yytan2(sin )(seclnsin1)xxxx 212ln3(2)3(2)xxxxx练习练习3ln212(2)xxxx 第11页/共20页2. 2. 设设( )yy x 由方程由方程yexye确定确定, , (0),y 解解 求求(0).y 第12页/共20页二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参

7、困难或无法消参如何求导?t第13页/共20页),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 第14页/共20页,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdx

8、yd 即即( )( )dtdxt( )1( )dtdxdttdt第15页/共20页例例6 6解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 ()ddydtdt dxdx第16页/共20页.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射

9、射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt例例7 7解解第17页/共20页)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 第18页/共20页小结小结隐