2021高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练3平面向量含解析

1、热点专练热点专练 3 3 平面向量平面向量 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2020 泰安检测)已知向量oa(3，4)，ob(6，3)，oc(2m，m1).若aboc，则实数 m 的值为( ) a.15 b.35 c.3 d.17 解析 易知ab(3，1)，且oc(2m，m1)，由aboc，得 2m3(m1)，m3. 答案 c 2.(2020 全国卷)已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，a b6，则 cos a，ab( ) a.3135 b.1935 c.1735 d.1935 解析 |ab|2(

2、ab)2a22a bb225123649，|ab|7， cosa，aba （ab）|a|ab|a2a b|a|ab|256571935.故选 d. 答案 d 3.(2020 全国卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 60 ，则在下列向量中，与 b 垂直的是( ) a.a2b b.2ab c.a2b d.2ab 解析 由题意得|a|b|1，a，b 的夹角 60 ，故 a b|a|b|cos 12. 对于 a，(a2b) ba b2b2122520； 对于 b，(2ab) b2a bb2212120； 对于 c，(a2b)ba b2b2122320； 对于 d，(2ab) b2a bb221210.

3、故选 d. 答案 d 4.(2020 石家庄调研)已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ，|a|2，|b|5，则 2ab 在 a 方向上的投影为( ) a.32 b.32 c.2 d.52 解析 因为(2ab) a2a2a b2|a|2|a| |b|cos 60 3，所以 2ab 在 a 方向上的投影为（2ab） a|a|32. 答案 b 5.(2020 海南新高考诊断)在abc 中，ab3，ac2，bac120 ，点 d 为 bc 边上一点，且bd2dc，则ab ad( ) a.13 b.23 c.1 d.2 解析 法一 bd2dc，adab2(acad)， ad23ac13ab， 则ab

4、adab23ac13ab 23ab ac13ab22332121332 1， 故选 c. 法二 以 a 为坐标原点，ab 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.则 a(0，0)，b(3，0)，c(1， 3)， bd2dc， bd23bc23(4， 3)83，2 33， 则 d13，2 33， ab(3，0)，ad13，2 33，则ab ad31301，故选 c. 答案 c 6.(2020 济南检测)已知abc 是边长为 1 的等边三角形，点 d，e 分别是边 ab，bc 的中点，连接 de 并延长到点 f，使得 de2ef，则af bc的值为( ) a.58 b.118 c.14

5、d.18 解析 因为点 d， e 分别是边 ab， bc 的中点， 且 de2ef， 所以 ad12， df34， 所以af bc(addf) bcad bcdf bc|ad| |bc|cos 120 |df| |bc|cos 60 18. 答案 d 7.已知abc 是边长为 2 的等边三角形，p 为平面 abc 内一点，则pa (pbpc)的最小值是( ) a.2 b.32 c.43 d.1 解析 如图，以等边三角形 abc 的底边 bc 所在直线为 x 轴，以 bc 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 a(0， 3)，b(1，0)，c(1，0).设 p(x，y)，则pa(x， 3

6、y)，pb(1x，y)，pc(1x，y). 所以pa (pbpc)(x， 3y) (2x，2y)2x22y32232. 当 x0，y32时，pa (pbpc)取得最小值32. 答案 b 8.(2020 青岛调研)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac) (bc)0，则|c|的最大值是( ) a.1 b.2 c. 2 d.22 解析 因为(ac) (bc)0，所以(ac)(bc).如图所示， 设occ，oaa，obb， 则caac，cbbc， 所以acbc. 又因为oaob，所以 o，a，c，b 四点共圆， 当且仅当 oc 为圆的直径时，|c|最大，且最大值为 2.

7、 答案 c 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.(2020 青岛质检)已知向量 ab(1，1)，ab(3，1)，c(1，1)，设 a，b 的夹角为 ，则( ) a.|a|b| b.ac c.bc d.135 解析 根据题意，得 ab(1，1)，ab(3，1)，则 a(1，1)，b(2，0).对于 a，|a| 2，|b|2，则|a|b|，错误；对于 b，a(1，1)，c(1，1)，则 a c0，即 ac，正确；对于 c，b(2，0)，c(1，1)，bc 不

8、成立，错误；对于 d，a(1，1)，b(2，0)，则 a b2，|a| 2，|b|2，则 cos 22 222，则 135 ，正确.故选 bd. 答案 bd 10.(2020 沈阳一监)已知向量oa(1，3)，ob(2，1)，oc(t3，t8).若点 a，b，c是一个三角形的顶点，则实数 t 可以为( ) a.2 b.12 c.1 d.1 解析 若点 a，b，c 是一个三角形的顶点，则 a，b，c 三点不共线，则向量ab，bc不共线.由于向量oa(1，3)，ob(2，1)，oc(t3，t8)，因此aboboa(3，4)，bcocob(t5，t9).若 a，b，c 三点不共线， 则3(t9)4(

9、t5)0，t1，故选 abd. 答案 abd 11.(2020 深圳统测)点 p 是abc 所在平面内一点，满足|pbpc|pbpc2pa|0，则abc 不可能是( ) a.钝角三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 d.等边三角形 解析 因为点 p 是abc 所在平面内一点，且|pbpc|pbpc2pa|0，所以|cb|(pbpa)(pcpa)|0，即|cb|abac|，所以|abac|acab|，等式两边平方并化简得ac ab0，所以acab，bac90 ，则abc 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形式.故选 ad. 答案 ad 12.(2020 聊

10、城质检)在平面直角坐标系中，o 为坐标原点，a(1，0)，b(0， 3)，c(3，0)，动点 d 满足|cd|1，则|oaobod|的取值可能是( ) a. 72 b. 71 c. 71 d. 72 解析 设 d(x，y)，由|cd|1，得(x3)2y21，向量oaobod(x1，y 3)，故|oaobod|（x1）2（y 3）2的最大值为圆(x3)2y21 上的动点到点(1，3)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21 的圆心(3，0)到点(1， 3)的距离加上圆的半径，即（31）2（0 3）211 7.最小值为（31）2（0 3）21 71，故取值范围为 71， 71.故选 bc. 答案

11、 bc 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.(2020 全国卷)设 a，b 为单位向量，且|ab|1，则|ab|_. 解析 将|ab|1 两边平方得 a22a bb21. a2b21，12a b11，即 2a b1. |ab|（ab）2a22a bb2 1（1）1 3. 答案 3 14.给定两个长度为 1 的平面向量oa和ob，它们的夹角为 90 ，如图所示，点 c 在以 o 为圆心的圆弧ab上运动，若ocxoayob，其中 x，yr，则 xy 的最大值是_. 解析 因为点 c 在以 o 为圆心的圆弧ab上， 所以|oc|2|xoayob|2x2y22xyoa

12、obx2y2， x2y21，则 2xyx2y21. 又(xy)2x2y22xy2， 故 xy 的最大值为 2. 答案 2 15.(2020 天津适应性测试)如图，在abc 中，ab3，ac2，bac60 ，d，e 分别是边ab，ac 上的点，ae1，且ad ae12，则|ad|_.若 p 是线段 de 上的一个动点，则bp cp的最小值为_.(本小题第一空 2 分，第二空 3 分) 解析 ae1，bac60 ， ad ae|ad|1cos 60 12，解得|ad|1. 设dpde(01)，则ep(1)ed. bpbddp2ad(aead) (2)adae， cpceepae(1)(adae) (2)ae(1)ad. bp cp(2)(1)ad2(2)ae2(1)(24)ad ae212. 当 14时，bp cp有最小值，为116. 答案 1 116 16.(2020 浙江卷)已知平面单位向量 e1， e2满足|2e1e2| 2.设 ae1e2， b3e1e2， 向量 a，b 的夹角为 ，则 cos2 的最小值是_. 解析 设 e1(1，0)，e2(x，y)， 则 a(x1，y)，b(x3，y). 由 2e1e2(2x，y)， 故|2e1e2|（