n阶行列式的定义PPT课件

1、第二章第二章 行行 列列 式式第1页/共31页二阶行列式的定义二阶行列式的定义1三阶行列式的定义三阶行列式的定义 2排列及逆序数排列及逆序数3n 阶行列式的定义阶行列式的定义4第一节 行列式的定义第2页/共31页设二元线性方程组设二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa :122a 式式,2212221212211abxaaxaa :212a 式式,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x;212221121122211baabxaaaa ）（用消元法求解.(1)一、二阶行列式的定义一、二阶行列式的定义第3页/共31页，得，得

2、类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx .( )a bb axa aa a 1121212112212212由方程组的由方程组的四个系数四个系数确定确定. . .,22221211212111bxaxabxaxa第4页/共31页 由四个数排成两行两列（由四个数排成两行两列（横排称行、竖排称横排称行、竖排称列列）并定义为）并定义为记为记为.2112221122211211aaaaaaaaD .称为列标称为列标称为行标，第二个下标称为行标，

3、第二个下标下标下标ji21122211aaaa的式子的式子( )aaaa111221223叫做叫做二阶行列式二阶行列式.的第一个的第一个元素元素ija第5页/共31页主对角线副对角线2211aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算2112aa 11a12a22a21a第6页/共31页类似地，(2)式的分子也可写成二阶行列式：222121212221ababbaab221111211211babaabba那么(2)式可写成,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx，211222112122211aaaabaabx .( )a

4、bb axa aa a 112121211221221211122122aaaa12bb12bb12bb第7页/共31页111122133121122223323113223333,.a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 三元线性方程组的解问题(1,2,3)jjDxjD类似得到：当系数行列式D不等于0时，解是唯一的.第8页/共31页排成三行三列排成三行三列个元素个元素设有设有)3 , 2 , 1,(9 jiaij112233122331132132132231122133112332,a a aa a aa a aa a aa a aa a a3332312322211

5、31211aaaaaaaaa并称它为.记为：333231232221131211aaaaaaaaaD 行标 二、三阶行列式的定义的式子定义为的式子定义为列标第9页/共31页333231232221131211aaaaaaaaa132231122133112332.a a aa a aa a a322113312312332211aaaaaaaaa D三阶行列式的计算方法列的三个元素的乘积再冠以正负号.三阶行列式包括3!项,每一项均为位于不同行、不同第10页/共31页323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa ：3221133123123322

6、11aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号第11页/共31页1323-51 .214D 第12页/共31页11112211211222221122,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 一个n元线性方程组1、 D ？（n阶行列式如何求？）、D不等于0时，解是唯一的？(1,2, )jjDxjnD3、解的表达式为 ？第13页/共31页nPn )1( n)2( n123 !.n 由由组成的一个有序数组称为n, 2 , 1一个n阶排列.所有排列的种数，通常用nP由由

7、组成的n, 2 , 1表示.显然显然是其中的一个排列，n, 2 , 1自然顺序，就是按从小到大的顺序排起来的；其它这个排列具有的排列都或多或少地破坏了自然顺序. .列标列标三、排列及逆序数三、排列及逆序数第14页/共31页在一个排列中，如果一个大数排在一(),nj jj 1212nj jjn阶排列的逆序数 . 简记为列中，逆序的总数称为这个排列的.个小数之前，就称这两个数构成一个逆序.记为一个排: 分别计算出排列中每个元素后面比它小的（或前面比它大的）数码个数之和，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.第15页/共31页逆序数为奇数的n阶排列称为奇排列.逆序数为偶数的n阶排列称为偶排列

8、;在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，叫做对换将相邻两个元素对换，叫做相邻对换第16页/共31页对换改变排列的奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11abba当 时，ba ab的逆序数增加的逆序数增加1;1;经对换后经对换后 的逆序数的逆序数不变不变, ,经对换后 的逆序数减少1， 的逆序数不变.ab当当 时，时，ba mlbbaa11显然这些元素的逆序数经过对换并不改变，先证相邻对换的情形：先证相邻对换的情形：ba,两个元素的逆序数将改变为： 而第17页/共31页次相邻对换mnmlccabbb

9、aa111次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa总之，总之，次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaaabnmlccbbbaaa111abab再证一般对换的情形：设排列为设排列为.111nmlcbcbabaa因此对换相邻两个元素，排列的奇偶性相反.第18页/共31页奇排列调成标准排列的对换次数为奇数；奇排列调成标准排列的对换次数为奇数； 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.n 阶排列中，奇偶排列各占一半阶排列中，奇偶排列各占一半. .第19页/共31页nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 2n), 2 , 1,(njiaij 个数,

10、 称n为阶行列式，它表示数值为()nj jj 12nj jj12n, 2, 1其中的一个排列，为这个排列的逆序数.(3)(),nnjjnjj jja aa 121 2121det(),ija(3)式简记为式简记为四、四、n阶行列式的定义阶行列式的定义第20页/共31页 (1) (1) 行列式是一个算式行列式是一个算式；第21页/共31页1.（1）11212212300000nnnnnaaaaaaa.2211nnaaa 第22页/共31页112233441000940037501896Da a a a1 4 5 6120. D 10009400?37501896第23页/共31页（2）nnnna

11、aaaaa11121222000 ?8000650012404321 Dnna aa 1122.第24页/共31页nnnnaaaaaa 111,11212,11000（3） 17815220?63004000n nnnna aa (1)/212,11( 1).第25页/共31页(1)/212,11( 1)n nnnna aa 0001002503364324= ?= ?第26页/共31页2. 1122nnaaanna aa 1122.12,11nnnaaa n nnnna aa (1)/212,11( 1).第27页/共31页1. 已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x思考与练习第28页/共31页含含 的项有两项的项有两项, ,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 1243112234431a a a a (1234)112233441a a a