第二章2.4能量守恒

1、2.4 能量守恒能量守恒机械能守恒定律。机械能守恒定律。 功的计算是否依赖参考系？功的计算是否依赖参考系？ 势能是否与参考系的选择有关？势能是否与参考系的选择有关？ 机械能守恒是否与惯性系的选择有关？机械能守恒是否与惯性系的选择有关？本节讨论力本节讨论力对空间的积累效应对空间的积累效应 功、功、 动能、动能、势能、势能、 动能定理、动能定理、要求：要求：1.深入理解以上概念，深入理解以上概念，搞清它们是属于质点、搞清它们是属于质点、还是属于系统？还是属于系统？与参考系的选择有无关系？与参考系的选择有无关系？2.搞清规律的内容、搞清规律的内容、来源、来源、 对象、对象、 适用条件、适用条件、与参

2、考系的关系等。与参考系的关系等。如：如：与机械运动有关的能量与机械运动有关的能量动能和势能动能和势能(总称机械能总称机械能)机械运动之间转化的方式机械运动之间转化的方式做功做功机械运动转化时所遵从的规律机械运动转化时所遵从的规律动能定理和机械能守恒定律动能定理和机械能守恒定律力的空间积累效应力的空间积累效应力所做的功力所做的功1 恒力的功恒力的功Fs力力F做功为做功为A,其大小为其大小为:cosFsA矢量表示矢量表示SFA说明说明:A是标量是标量,有正负之分有正负之分2002A=00A0A2.4.1 功功 和功率和功率一、功一、功2 变力的功变力的功若质点在运动过程中受变力作用若质点在运动过程

3、中受变力作用,处理方法是处理方法是: 将质点的曲线轨道分为许多微小元段，并近似把将质点的曲线轨道分为许多微小元段，并近似把每小段看成直线段且把每小段土作用的力也视为每小段看成直线段且把每小段土作用的力也视为恒力恒力.设设)iA任一元段任一元段isiriF(对应元位移为对应元位移为力力所做元功所做元功A质点从质点从a点运动到点运动到b点点,变力做的总功变力做的总功iiirFAiiiiirFAA无限细分轨道无限细分轨道NiiNAAlimiNiiNrFlimblairdF)(dsrd dscos)(blaFAiFir(功的定义功的定义) 上式说明功的大小与做功的路径有关，因此功是一个过程量上式说明功

4、的大小与做功的路径有关，因此功是一个过程量.3 合力的功：等于各分力所做的代数和合力的功：等于各分力所做的代数和若质点同时受几个力的作用若质点同时受几个力的作用1F2FnFrdFFFrdFAnbaba)(21bababanrdFrdFrdF21nAAA21在直角坐标系中在直角坐标系中:rdFdAkFjFiFFzyxkdzjdyidxrdA=dzFdyFdxFdAzyxbabaxxbayybazz 示功图示功图ScosFOaSbSis4 功率功率:力在单位时间内所做的功，表示作功的快慢。力在单位时间内所做的功，表示作功的快慢。ttttAp设设A力所作的功为力所作的功为平均功率平均功率t时刻的瞬时

5、功率时刻的瞬时功率:tAPPttlimlim00dtdAvFdtrdFPr dFdA即即: 瞬时功率等于力矢量与力作用点的速度瞬时功率等于力矢量与力作用点的速度矢量的标积矢量的标积.cosFv、一辆水平运动的装煤车，以速率、一辆水平运动的装煤车，以速率v v0 0从煤斗下面通过，每单位时从煤斗下面通过，每单位时间内有质量为间内有质量为m m0 0的煤卸入煤车，如果煤车的速率保持不变，煤车的煤卸入煤车，如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求：与钢轨间摩擦忽略不计，试求：（1 1）牵引煤车的力的大小；）牵引煤车的力的大小；（2 2）牵引煤车所需功率的大小；）牵引煤车所需功率的大小；

6、（3 3）牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？）牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？v0000)(MvvtmMtF00vmF 2000vmFvP20021vmEkE=P%50EEk abFvFrd如图如图所做功为所做功为:质点位移质点位移rd时时,外力外力FdsFrdFdAcosdtdvmFFcosdvdtdsmdsdtdvmdA)21(2mvdmvdv2222121)21(abvvmvmvmvdAba1 质点动能定理质点动能定理讨论讨论:功是动能改变的量度？功是动能改变的量度？力对质点作的功等于质点在同一力对质点作的功等于质点在同一路程中始未状态动能的增量路程中始未状态动能的

7、增量令令221bkbmvE221akamvE 表达式又可写为表达式又可写为:kkakbEEEA2.4.2 动能定理动能定理2、倔强系数为、倔强系数为k的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为上的质量为m的小球的小球B相连。推动小球，将弹簧压缩一相连。推动小球，将弹簧压缩一段距离段距离L后放开。假定小球所受的滑动摩擦力大小为后放开。假定小球所受的滑动摩擦力大小为F且且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等。试求恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等。试求L必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运

8、动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态。而且一旦停止下来就一直保持静止状态。OLX解：设初始压缩量为解：设初始压缩量为L，则，则FkL kFL 从放手开始到运动至最远处，由动能定理从放手开始到运动至最远处，由动能定理222121)(kLkxxLFkFL3Fkx kFLkF32质点系动能定理质点系动能定理设有设有n个质点组成的质点系个质点组成的质点系,考虑其中笫考虑其中笫i个质点个质点,应用质点的动能定理应用质点的动能定理.222121ioiiiivmvmA222121ioiiiiiiivmvmAAAAA外外内内222121iiiiiivmvmkokEE注注:A外外外力的功外力的功讨论讨论:内力

9、做功是否为零内力做功是否为零?ijFjiFirdjrdjrdird)(jirrdjjiiijrdFrdFdAjiijFF)(jiijrdrdFdA)(jiijrrdFijijrdF一般一般0)(jirrd内力的功内力的功A内内内内A0也不排斥内力做功为零的情况也不排斥内力做功为零的情况如如:刚体内任一对内力总与相对位移垂直刚体内任一对内力总与相对位移垂直.所以刚体中内力的功为零所以刚体中内力的功为零动能定理适用于任何惯性系动能定理适用于任何惯性系W外外 + W内内 = Ek2 - Ek1 注意：注意：1. 内力是成对出现的，内力是成对出现的， 但内力功之和不一定为零。但内力功之和不一定为零。例

10、如，两个异号点电荷相吸引；例如，两个异号点电荷相吸引； 2. 内力不能改变系统的总动量，内力不能改变系统的总动量， 但能改变系统的总动能。但能改变系统的总动能。地雷爆炸。地雷爆炸。所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。之和等于质点系总动能的增量。 -质点系的动能定理质点系的动能定理oXYZmabmgazbz2.4.3 保守力的功保守力的功本节分析这些力做功特点，引入保守力与非保守力的概念本节分析这些力做功特点，引入保守力与非保守力的概念1.重力的功重力的功kmgFbardFAbababaxxyyzzzyxdzFdyFdx

11、Fbazzmgdz)(abzzmg讨论讨论:重力作功只与始未位置有关，与路径无关重力作功只与始未位置有关，与路径无关质点沿任意闭合路径运动一圈，重力做功为零质点沿任意闭合路径运动一圈，重力做功为零0rdFAb沿实线沿实线a沿虚线沿虚线aoabarbrFrd2 . 万有引力的功万有引力的功质点质点M固定在固定在o点点,质点质点m在在M对它的万有引力作对它的万有引力作用下从用下从a点移动到点移动到b点点,现计算万有引力所作功现计算万有引力所作功02rrMmGFbardFArdrrMmGba02orrdrrddr0rcos1rdrdrodrrMmGAbarr2)11(abrrGMm注注: 万有引力作

12、功也只与始未位置有关万有引力作功也只与始未位置有关,与路径无关与路径无关mabxoXaxbx3. 弹性力的功弹性力的功ikxFbardFAbaxxbakxdxidxikx)(2122abxxk讨论讨论:(1)弹性力作功只与始弹性力作功只与始.未位置有关未位置有关 ,与路径有关与路径有关质点沿任一路径运动一周时质点沿任一路径运动一周时 弹性力作功为零弹性力作功为零.0rdFA(2)当弹簧振子振幅软大时当弹簧振子振幅软大时,超出弹性范围，则超出弹性范围，则3axkxF4204121axkxFdxAx4.保守力和非保守力保守力和非保守力保守力定义：保守力定义：如果如果一个力的功与相对移动的路径无一个

13、力的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，这这样的力称为样的力称为保守力。保守力。不具备这种特点的力称为非保守力。不具备这种特点的力称为非保守力。(2)(1)L2L1r f m2d rL=L1+L2 m1 )2()1()2()1(ddrfrfL1L2 )2()1()1()2(ddrfrfL1L20d Lrf若若 为保守力，为保守力，f则：则：2.4.4 势势 能能一、保守力场一、保守力场: 质点在某一空间中任何位置都受到一个大小质点在某一空间中任何位置都受到一个大小和方向完全确定的保守力的佧用和方向完全确定的保守力的佧用,称这部

14、分空间存在保守力称这部分空间存在保守力场场二、二、 势能势能:质点在保守力场中某质点在保守力场中某a点的势能点的势能,在量值上等于质点从在量值上等于质点从a点移点移至零势能点的过程中保守力所作的功至零势能点的过程中保守力所作的功0aaprdFE注注:0a零势能点的位置零势能点的位置讨论讨论:势能应是属于相互作用着的物体所组成势能应是属于相互作用着的物体所组成的系统的系统,它不属于某个物体它不属于某个物体物体间只存在相互作用的保守力物体间只存在相互作用的保守力,系统才具有势能系统才具有势能势能是一个相对值势能是一个相对值,与零势能点的选取有关与零势能点的选取有关,但但势能差却是一个绝对值势能差却

15、是一个绝对值.00aaabpapbrdFrdFEEabrdF 三种势能三种势能(1) 重力势能重力势能zpEo0aaprdFEmgzkmgF0)(zdzmgpE质点由质点由),(aaazyx沿任何曲线至沿任何曲线至),(bbbzyx重力作功为重力作功为:)(abmgzmgzA)(papbEEpE(2) 万有引力势能万有引力势能rpEo0aaprdFEdrrMmGErp2rMmG质点由质点由arbr点移至点移至点点万有引力做功为万有引力做功为:() ()baMmMmAGGrr pE)(papbEE (3) 弹性势能弹性势能xopE0aaprdFEikxF0 xpkxdxE221kx质点由质点由a

16、xbx点移至点移至点点,弹性力做功弹性力做功:)2121(22abkxkxA)(papbEE pE总结总结:保守力的功等于势能增量的负值保守力的功等于势能增量的负值保守力与势能的微分关系保守力与势能的微分关系:),(zyxdEr dFpdzzzdyyEdxxEdEppdzFdyFdxFrdFzyx比较两式比较两式xEFpxyEFpyzEFpzkzzjyEixEFppEzkyjxi)(pE两个质点的质量分别为两个质点的质量分别为1m2m它们之间的相互作用符合万有引力定律它们之间的相互作用符合万有引力定律开始时开始时,两质点相距为两质点相距为L,都处于静止状态都处于静止状态,求当它们相距为求当它们

17、相距为L/2时时,两质两质点速度如何点速度如何?分析分析 把两个质点看作一个系统把两个质点看作一个系统,则其动量守恒则其动量守恒ox1m2m1v2v02211vmvm(1)0kkEEA)(0ppEEA)(00ppkkEEEE221LmmGEpLmmGEp2102222112121vmvmEk00kE)(22111mmLGmv)(22122mmLGmv2222112121vmvm221LmmGLmmG21=-（）-（）(2)(1) (2)两式联解两式联解AAA外外内内kokEE 一一 机械能守恒定律机械能守恒定律孤立系统孤立系统: 外外A =0内内AAA保内保内非保内非保内AA kokEE保内保

18、内非保内非保内)(0ppEEA保内保内pkEEE)()(pokopkEEEEA非保内非保内非保内非保内0EEA讨论讨论:上式表明上式表明: 一个孤立系统的机械能的增量等于该系统的非保守内力一个孤立系统的机械能的增量等于该系统的非保守内力所做的功所做的功若非保守内力不作功若非保守内力不作功非保内非保内A = 00EE 0pkopkEEEE这个结沦称为这个结沦称为机械能守恒机械能守恒条件条件:AA 外外非保内非保内=0只适用于同一惯性系只适用于同一惯性系2.4.5 机械能守恒定律机械能守恒定律 能量守恒能量守恒二二 功能原理功能原理(适用于非孤立系统适用于非孤立系统)AA 外外非保内非保内0EE上

19、式表明上式表明: 一个非孤立系统的机械能的增量等于一个非孤立系统的机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功之和外力的功和非保守内力的功之和, 即功能原理即功能原理注注:它与质点系的动能定理的区别在于将保守内力的功用势能差来代替它与质点系的动能定理的区别在于将保守内力的功用势能差来代替.只适用于惯性系只适用于惯性系三三. 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 如果考虑各种物理现象，计及各种能量，如果考虑各种物理现象，计及各种能量，则则 一个孤立系统不管经历何种变化，一个孤立系统不管经历何种变化， 系统所有能量的总和保持不变。系统所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 机械

20、能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现。的体现。无数事实表明无数事实表明: 能量既不能消灭，也不能创生，它只能从一个物体能量既不能消灭，也不能创生，它只能从一个物体传给另一个物体，由一种形式转化为另一种形式传给另一个物体，由一种形式转化为另一种形式;在一个孤立的系在一个孤立的系统内统内,无论发生何种变化无论发生何种变化,各种形式的能量可以互相转换各种形式的能量可以互相转换,但它们的总但它们的总和保持不变和保持不变,这个结论称为这个结论称为能量守恒定律能量守恒定律. 守恒定律的意义守恒定律的意义 物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研

21、究，这是因为：物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，这是因为： 第一，从方法论上看：第一，从方法论上看：自然界中许多物理量自然界中许多物理量 如动量、如动量、 角动量、角动量、 机械能、机械能、电荷、电荷、质量等等，质量等等，都具有相应的守恒定律。都具有相应的守恒定律。利用守恒定律研究问题，利用守恒定律研究问题，低速均适用。低速均适用。而对系统始、末态下结论而对系统始、末态下结论可避开过程的细节，可避开过程的细节，（特点、优点）。（特点、优点）。第二，从适用性来看：第二，从适用性来看：守恒定律适用范围广，守恒定律适用范围广，宏观、宏观、微观、微观、 高速、高速、 第三，从认识世界来看：第三，

22、从认识世界来看： 守恒定律是认识世界的很有力的武器。守恒定律是认识世界的很有力的武器。 不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新台阶。不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新台阶。 第四，从本质上看：第四，从本质上看： 守恒定律揭示了自然界普遍的属性守恒定律揭示了自然界普遍的属性对称性。对称性。对称对称 在某种在某种“变换变换”下的不变性。下的不变性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性：每一个守恒定律都相应于一种对称性： 动量守恒动量守恒相应于相应于空间平移的对称性；空间平移的对称性； 能量守恒能量守恒相应于相应于时间平移的对称性；时间平移的对称性； 角动量守恒角动量守恒相应于相应于空间转动的对称

23、性；空间转动的对称性； 因此守恒定律的发现、因此守恒定律的发现、推广、推广、甚至否定，都能对人类认识自然起到巨大的推动作用。甚至否定，都能对人类认识自然起到巨大的推动作用。在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立，在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立， 则往往作以下考虑：则往往作以下考虑： （1）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立，如中微子的发现。）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立，如中微子的发现。 （2）引入新概念，使守恒定律更普遍化）引入新概念，使守恒定律更普遍化(补救补救)。 （3）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立，如弱相互作用）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立，如弱相互作

24、用宇称宇称（parity）不守恒。不守恒。例例 轻绳长为轻绳长为L,小球质量为小球质量为m.悬挂点下方悬挂点下方d处有一钉子处有一钉子.小球从水小球从水平位置无初速释放平位置无初速释放,欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈,则则d至少为多大至少为多大?解解 分析分析 要使小球能以半径要使小球能以半径r=L-d作圆周运动作圆周运动则小球在则小球在A点应具有点应具有某速度某速度,至少满足至少满足:dLmvrmvmg22)(2dLgv法一法一:B点点:01kEA点点:2221mvEk只有重力作功只有重力作功:)2()( 2LdmgdLLmgA12kkEEA221)2 (mvLdmgLd6 . 0法二法二:用机械能守恒用机械能守恒:B点点:01kEmgLEp1A点点:2221mvEk)(22dLmgEp2211pkpkEEEEdAB4.5 碰撞问题碰撞问题碰撞碰撞:两个或两个以上的物体发生相互作用，使它们的运动状态在两个或两个以上的物体发生相互作用，使它们的运动状态在极短的时间内发生了显著的