2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角的概念与蝗制任意角的三角函数课件新人教B版

1、第四章三角函数、解三角形第一节任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数内容索引内容索引必备知识自主学习核心考点精准研析核心素养微专题核心素养测评【教材教材知识梳理知识梳理】1.1.任意角的概念任意角的概念(1)(1)角的概念：角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的角可以看成平面内一条射线绕着它的_从一个位置旋转到另从一个位置旋转到另一个位置所成的图形一个位置所成的图形. .(2)(2)角的分类：按旋转方向分为角的分类：按旋转方向分为_角、角、_角、角、_角；按终边位置分为角；按终边位置分为_角、角、_角角. .(3)(3)终边相同的角：与角终边相同的角：与角终边相同的角的集合：终边相同的角的

2、集合：s=|=_.s=|=_.端点端点正正负负零零象限象限轴线轴线+k360+k360，kzkz2.2.弧度制弧度制(1)(1)长度等于长度等于_的圆弧所对的圆心角叫做的圆弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角；弧度的角；1 1弧度弧度=_.=_.(2)(2)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为，圆心角大小为(rad)(rad)，半径，半径为为r r，则，则l= =_，扇形的面积为，扇形的面积为s=_=_.s=_=_.180()半径长半径长rr1r2l21r23.3.任意角的三角函数任意角的三角函数(1)(1)定义定义设点设点p(xp(x，y)y)

3、是角是角终边上任意一点且不与原点重合，终边上任意一点且不与原点重合，r=|op|r=|op|，则，则sin = sin = ，cos = cos = ，tan = .(x0).tan = .(x0).yrxryx(2)(2)三角函数线三角函数线【常用结论常用结论】1.1.明晰角的概念明晰角的概念(1)(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角. .(2)(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等. .2.2.两个关注点两个关注点(1)(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单

4、位必须是弧度利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. .(2)(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用. .3.3.一个口诀一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. .4.4.三角函数定义的推广三角函数定义的推广设点设点p(xp(x，y)y)是角是角终边上任意一点且不与原点重合，终边上任意一点且不与原点重合，r=|op|r=|op|，则，则sin = sin = ，cos = cos = ，tan = .tan = .yrxryx【知识点

5、辨析知识点辨析】 ( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)小于小于9090的角是锐角的角是锐角. .( () )(2)(2)锐角是第一象限角，反之亦然锐角是第一象限角，反之亦然. .( () )(3)(3)将表的分针拨快将表的分针拨快5 5分钟，则分针转过的角度是分钟，则分针转过的角度是3030. .( () )(4)(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等. . ( () )提示：提示：(1)(1). .锐角的取值范围是锐角的取值范围是 . .(2)(2). .第一象限角不一定是锐角第一象限角不一定是锐角.

6、 .(3)(3). .顺时针旋转得到的角是负角顺时针旋转得到的角是负角. .(4)(4). .终边相同的角不一定相等终边相同的角不一定相等. .(0)2，【易错点索引易错点索引】序号序号易错警示易错警示典题索引典题索引1 1结果要表示成集合形式结果要表示成集合形式考点一、考点一、t2t22 2在弧长公式中，注意角的大小用弧在弧长公式中，注意角的大小用弧度制，不是角度制度制，不是角度制考点二、考点二、t1t13 3用定义求三角函数值，注意判断符用定义求三角函数值，注意判断符号号考点三、考点三、角度角度3t23t2【教材教材基础自测基础自测】1.(1.(必修必修4p54p5例例2 2改编改编) )

7、角角-870-870的终边所在的象限是的终边所在的象限是( () )a.a.第一象限第一象限b.b.第二象限第二象限c.c.第三象限第三象限d.d.第四象限第四象限【解析解析】选选c.-870c.-870=-2=-2360360-150-150，-870-870和和-150-150的终边相同，所以的终边相同，所以- -870870的终边在第三象限的终边在第三象限. .2.(2.(必修必修4p124p12练习练习bt5bt5改编改编) )下列与下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是的终边相同的角的表达式中正确的是( () )a.2k+45a.2k+45(kz)(kz)b.k360b.k360+

8、 (kz)+ (kz)c.k360c.k360-315-315(kz)(kz)d.k+ (kz)d.k+ (kz)【解析解析】选选c.c.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度, ,应为应为 +2k+2k或或k360k360+45+45(kz).(kz).94945443.(3.(必修必修4p174p17练习练习at1at1改编改编) )已知角已知角的终边过点的终边过点p(8m,3),p(8m,3),且且cos =- ,cos =- ,则则m m的值为的值为( () )a.- a.- b. b. c.- c.- d. d. 【解

9、析解析】选选a.a.由已知得由已知得m0m0且且 , ,解得解得m=- .m=- .4512123232228m458m3124.(4.(必修必修4p64p6例例4 4改编改编) )在在-720-7200 0范围内范围内, ,所有与角所有与角=45=45终边相同的终边相同的角角构成的集合为构成的集合为_._.【解析解析】所有与角所有与角终边相同的角可表示为终边相同的角可表示为:=45:=45+k+k360360(kz),(kz),则令则令-720-7204545+k+k36036000(kz),(kz),得得-765-765kk360360-45-45(kz).(kz).解得解得k=-2k=-

10、2或或k=-1,k=-1,所以所以=-675=-675或或=-315=-315. .答案答案: :-675-675,-315,-315 考点一象限角与终边相同的角考点一象限角与终边相同的角【题组练透题组练透】 1.1.若角若角是第二象限角是第二象限角, ,则则 是是( () )a.a.第一象限角第一象限角b.b.第二象限角第二象限角c.c.第一或第三象限角第一或第三象限角d.d.第二或第四象限角第二或第四象限角22.(20192.(2019长春一模长春一模) )若角若角的顶点为坐标原点的顶点为坐标原点, ,始边在始边在x x轴的非负半轴上轴的非负半轴上, ,终边在终边在直线直线y=- xy=-

11、 x上上, ,则角则角的取值集合是的取值集合是( () ) 3.3.下列各角中下列各角中, ,与角与角330330的终边相同的是的终边相同的是( () )a.150a.150b.-390b.-390c.510c.510d.-150d.-1504.4.与与-2 010-2 010终边相同的最小正角是终边相同的最小正角是_._. 世纪金榜导学号世纪金榜导学号2a. |2kkz b. |2kkz332c. |kkz d. |kkz33 ， ，3【解析解析】1.1.选选c.c.因为因为是第二象限角是第二象限角, ,所以所以 +2k+2k +2k+2k,kz,kz,所以所以 +k+k +k +k,kz.

12、,kz.当当k k为偶数时为偶数时, , 是第一象限角是第一象限角; ;当当k k为奇数时为奇数时, , 是第三是第三象限角象限角. .综上综上, , 是第一或第三象限角是第一或第三象限角. .2.2.选选d.d.因为直线因为直线y=- xy=- x的倾斜角是的倾斜角是 , ,所以终边落在直线所以终边落在直线y=- xy=- x上的角的取上的角的取值集合为值集合为 3.3.选选b.b.与角与角330330的终边相同的角为的终边相同的角为=k360=k360+330+330(kz),(kz),令令k=-2,k=-2,可得可得=-390=-390. .24222223233 |kkz.3 ，4.4

13、.因为因为-2 010-2 010=(-6)=(-6)360360+150+150, ,所以所以150150与与-2 010-2 010终边相同终边相同, ,又终边相同的两个角相差又终边相同的两个角相差360360的整数倍的整数倍, ,所以所以在在0 0360360中只有中只有150150与与-2 010-2 010终边相同终边相同, ,故与故与-2 010-2 010终边相同的最小终边相同的最小正角是正角是150150. .答案答案: :150150【规律方法规律方法】 1.1.表示区间角的三个步骤表示区间角的三个步骤(1)(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界先按逆时针方向找到区域的

14、起始和终止边界. .(2)(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360-360360360范围内的角范围内的角和和,写出最简区间写出最简区间. .(3)(3)起始、终止边界对应角起始、终止边界对应角,再加上再加上360360的整数倍的整数倍, ,即得区间角集合即得区间角集合. .2.2.象限角的两种判断方法象限角的两种判断方法(1)(1)图象法图象法: :在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角知角是第几象限角. .(2)(2)转化法转化法: :先将已知角

15、化为先将已知角化为k360k360+(0+(0360360,kz),kz)的形式的形式, ,即找出即找出与已知角终边相同的角与已知角终边相同的角,再由角再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角终边所在的象限判断已知角是第几象限角. .3.3.求求 或或n(nnn(nn* *) )所在象限的方法所在象限的方法(1)(1)将将的范围用不等式的范围用不等式( (含有含有k)k)表示表示. .(2)(2)两边同除以两边同除以n n或乘以或乘以n.n.(3)(3)对对k k进行讨论进行讨论, ,得到得到 或或n(nnn(nn* *) )所在的象限所在的象限. .提醒提醒: :注意注意“顺转减顺转减,

16、,逆转加逆转加”的应用的应用, ,如角如角的终边逆时针旋转的终边逆时针旋转180180可得角可得角+180+180的终边的终边, ,类推可知类推可知+k180+k180(kz)(kz)表示终边落在角表示终边落在角的终边所在的终边所在直线上的角直线上的角. .nn 【秒杀绝招秒杀绝招】结论法解结论法解t1,t1,若角若角是第一是第一( (或二或二) )象限角象限角, ,则则 是第一或第三象限角是第一或第三象限角; ;若角若角是第三是第三( (或四或四) )象限角象限角, ,则则 是第二或第四象限角是第二或第四象限角. .排除法解排除法解t2,t2,终边在直线上终边在直线上, ,是是k,k,终边在

17、射线上是终边在射线上是2k,2k,排除排除a,b;a,b;直线直线y=- xy=- x的倾斜角是钝角的倾斜角是钝角, ,加钝角或减锐角加钝角或减锐角, ,排除排除c,c,所以选所以选d.d.223 考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式 【典例典例】1.1.若扇形的圆心角若扇形的圆心角=120=120, ,弦长弦长ab=12 cm,ab=12 cm,则弧长则弧长l=_cm.=_cm.2.2.已知扇形的周长为已知扇形的周长为20 cm,20 cm,当它的面积最大时当它的面积最大时, ,它的圆心角的弧度数为它的圆心角的弧度数为_._.【解题导思解题导思】序号序号联想解

18、题联想解题1 1由扇形的圆心角想到弧长公式由扇形的圆心角想到弧长公式l=|r=|r2 2由扇形的周长想到扇形面积公式由扇形的周长想到扇形面积公式s= s= lr,r,周周长长= =l+2r,+2r,转化为函数求最值转化为函数求最值12【解析解析】1.1.设扇形的半径为设扇形的半径为r cm,r cm,如图如图. . 由由sin 60sin 60= = 得得r=4 cm,r=4 cm,所以所以l=|=|r= |r= (cm).(cm).答案答案: : 6r328 34 3338 332.2.因为扇形的周长为因为扇形的周长为20,20,所以所以l+2r=20,+2r=20,即即l l=20-2r,

19、=20-2r,所以扇形的面积所以扇形的面积s= s= lr= (20r= (20-2r)r=-r-2r)r=-r2 2+10r=-(r-5)+10r=-(r-5)2 2+25,+25,所以当半径所以当半径r=5r=5时时, ,扇形的面积最大为扇形的面积最大为25,25,此时此时= =2(rad).2(rad).答案答案: :2 21212 【规律方法规律方法】 有关弧长及扇形面积问题的注意点有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时利用扇形的弧长和面积公式解题时, ,要注意角的单位必须是弧度要注意角的单位必须是弧度. .(2)(2)求扇形面积最大值的问题时求扇形面

20、积最大值的问题时, ,常转化为二次函数的最值问题常转化为二次函数的最值问题, ,利用配方法使利用配方法使问题得到解决问题得到解决. .(3)(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时在解决弧长问题和扇形面积问题时, ,要合理地利用圆心角所在的三角形要合理地利用圆心角所在的三角形. .【变式训练变式训练】 1.1.已知扇形周长为已知扇形周长为10,10,面积是面积是4,4,求扇形的圆心角求扇形的圆心角. .【解析解析】设圆心角是设圆心角是, ,半径是半径是r,r,则则 所以扇形的圆心角为所以扇形的圆心角为 rad.rad.22rr10r4r 1(118r422 ， ， ，解得舍去）或， ，122.2.

21、已知扇形周长为已知扇形周长为40,40,当它的半径和圆心角分别取何值时当它的半径和圆心角分别取何值时, ,扇形的面积最大扇形的面积最大? ?【解析解析】设圆心角是设圆心角是,半径是半径是r,r,则则2r+r=40.2r+r=40.又又s= s= r r2 2= r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)= r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2 2+100100,+100100,当且仅当当且仅当r=10r=10时时, ,s smaxmax=100,=100,此时此时2 210+1010+10=40,=40,=2,=2,所以当所以当r=10,r=10,=2=2时时, ,扇形的面

22、积最大扇形的面积最大. .1212 考点三任意角三角函数的定义及应用考点三任意角三角函数的定义及应用 命命题题精精解解读读考什么考什么:(1):(1)三角函数符号判断三角函数符号判断, ,比较大小、解不等式比较大小、解不等式, ,运用定义求值等等运用定义求值等等. .(2)(2)考查数学抽象考查数学抽象, ,逻辑推理逻辑推理, ,数学运算等核心素养数学运算等核心素养, ,以及数形结合的思想以及数形结合的思想. .怎么考怎么考: :与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函数值等等数值等等. .学学霸霸好好方方法法1.1.

23、三角函数值符号的判断方法三角函数值符号的判断方法(1)(1)先分别判断每个三角函数值的符号先分别判断每个三角函数值的符号. .(2)(2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号按照题中要求判断所求三角函数值的符号. .2.2.利用单位圆解三角不等式利用单位圆解三角不等式( (组组) )的一般步骤的一般步骤(1)(1)用边界值定出角的终边位置用边界值定出角的终边位置. .(2)(2)根据不等式组定出角的范围根据不等式组定出角的范围. .(3)(3)求交集求交集, ,找单位圆中公共的部分找单位圆中公共的部分. .(4)(4)写出角所满足的范围写出角所满足的范围. .命题角度命题角度1 1三角函数符号

24、判断三角函数符号判断【典例典例】(2019(2019衡水模拟衡水模拟) )若若sin cos 0,sin cos 0,则角则角() )a.a.第一象限角第一象限角b.b.第二象限角第二象限角c.c.第三象限角第三象限角d.d.第四象限角第四象限角【解析解析】选选d.d.由由 0,0,所以所以cos 0.cos 0.又又sin cos 0,sin cos 0,所以所以sin 0,sin baa.cbab.bcab.bcac.abcc.abcd.cabd.cab2.(20202.(2020长春模拟长春模拟) )已知已知,是第一象限角是第一象限角, ,且且sin sin ,sin sin ,则则(

25、() )a.a.b.b.cos c.cos cos d.tan tan d.tan tan 【解析解析】1.1.选选a.b=cos 55a.b=cos 55=sin 35=sin 35sin 33sin 33=a,c=tan 35=a,c=tan 35sin 35sin 35=b,=b,所以所以cba.cba.2.2.选选d.d.因为因为, ,是第一象限角是第一象限角, ,所以所以sin sin 0,sin 0,sin 0,0,又又sin sin sin sin , ,所以所以sinsin2 2sinsin2 20,0,所以所以1-cos1-cos2 21-cos1-cos2 2, ,所以所以

26、coscos2 2cos0,0,所以所以tantan2 2tantan2 2, ,因为因为tan tan 0,tan 0,tan 0,0,所以所以tan tan tan tan . .2211coscos【解后反思解后反思】三角函数式如何比较大小三角函数式如何比较大小? ?提示提示: :对于较为简单的三角不等式对于较为简单的三角不等式, ,在单位圆中在单位圆中, ,利用三角函数线先作出使其相利用三角函数线先作出使其相等的角等的角( (称为临界状态称为临界状态, ,注意实线与虚线注意实线与虚线),),再通过大小找到其所满足的角的区域再通过大小找到其所满足的角的区域, ,由此写出不等式的解集由此写

27、出不等式的解集. .命题角度命题角度3 3运用定义求值运用定义求值【典例典例】1.(20191.(2019南昌模拟南昌模拟) )已知角已知角的终边在直线的终边在直线y=-xy=-x上上, ,且且cos 0,cos 0,则则tan =_.tan =_.2.(20192.(2019许昌模拟许昌模拟) )设设是第二象限角是第二象限角,p(x,4),p(x,4)为其终边上的一点为其终边上的一点, ,且且cos =cos = x, x,则则tan =_.tan =_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号15【解析解析】1.1.如图如图, ,由已知由已知, ,角角的终边在第二象限的终边在第二象限, ,在其终边上任

28、取一点在其终边上任取一点p(x,y),p(x,y),则则y=-x,y=-x,由三角函数的定义得由三角函数的定义得tan = =-1.tan = =-1. 答案答案: :-1-1yxxx2.2.因为因为是第二象限角是第二象限角, ,所以所以cos cos = x0,= x0,即即x0.x0,tan 0,则则( () )a.sin 20a.sin 20b.cos 0b.cos 0c.sin 0c.sin 0d.cos 20d.cos 20【解析解析】选选a.a.因为因为tan 0,tan 0,所以所以 (kz) (kz)是第一、三象限角是第一、三象限角. .所所以以sin ,cos sin ,co

29、s 都可正、可负都可正、可负, ,排除排除b,c.b,c.而而2(2k,2k+)(kz),2(2k,2k+)(kz),结合结合正、余弦函数图象可知正、余弦函数图象可知,a,a正确正确. .取取= ,= ,则则tan =10,tan =10,而而cos 2=0,cos 2=0,所以所以d d不不正确正确. .(kk)2，42.2.若角若角的终边经过点的终边经过点p(- ,m)(m0)p(- ,m)(m0)且且sin = m,sin = m,则则cos cos 的值为的值为_._.【解析解析】由已知由已知r= ,r= ,所以所以sin = ,sin = ,因为因为m0,m0,所以所以m=m= , ,所以所