2021届高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式学案理含解析

1、第三节第三节基本不等式基本不等式最新考纲考情分析核心素养1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.本节是高考的热点， 主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题， 解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.1.数学运算2.逻辑推理3.数学建模知识梳理1基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：1a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当2ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b232ab(a，br)(2)baab42(a，b 同号)(3)ab5ab22(a，br)(4)a2b226ab22(a，br)以上不等式等号

2、成立的条件均为 ab.3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为7ab2，几何平均数为8ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数常用结论基本不等式的变形公式：ab2 ab，abab22(当且仅当 ab 时，等号成立)(a0，b0)a1a2(a0)(当且仅当 a1 时，等号成立)；a1a2(a0，b0，当且仅当 ab 时，等号成立)abab22a2b22(a，br，当且仅当 ab 时，等号成立)基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 yx1x的最小值是 2.()(2)abab22成立的条件是 ab0.(

3、)(3)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要条件. ()(4)若 a0，则 a31a2的最小值是 2 a.()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 5p99例 1(2)改编)设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为()a80b77c81d82答案：c3(必修 5p100a 组 t2改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.答案：25三、易错自纠4(2019 届阜阳模拟)下列结论正确的是()a若 a，br，则baab2b若 x0，则 x4x2x4x4c若 ab0，则b2aa2babd若 x2解析：选 d对于 a，当 ab0 时不

4、成立，因此 a 选项不成立；对于 b，若 x0，则 x4xx4x 2（x）4x4，当且仅当 x2 时，等号成立，因此 b 选项不成立；对于 c，取 a1，b2，b2aa2b92ab3，因此 c 选项不成立；对于 d，若x0，2x0，2x2x2 2x2x2 成立故选 d5已知 a0，b0，且1a1b1，则 a2b 的最小值是()a32 2b32 2c2 2d4解析： 选 ba0， b0， 且1a1b1， 则 a2b(a2b)1a1b 32baab322baab32 2，当且仅当 a 21，b122时取等号故选 b6(2019 届沈阳模拟)已知实数 x，y 满足 x2y2xy1，则 xy 的最大值

5、为_解析：因为 x2y2xy1，所以 x2y21xy.所以(xy)213xy13xy22，当且仅当 xy 时等号成立，即(xy)24，解得2xy2.所以 xy 的最大值为 2.答案：2考点一利用基本不等式求最值多维探究利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容常见的命题角度有：(1)通过配凑法利用基本不等式求最值；(2)通过常数代换法利用基本不等式求最值；(3)通过消元法利用基本不等式求最值；(4)利用两次基本不等式求最值命题角度一通过配凑法利用基本不等式求最值【例 1】(1)(2020 届惠州

6、调研)已知 x54，则函数 y4x14x5的最小值为_(2)函数 yx22x1(x1)的最小值为_解析(1)当 x54时，y4x14x54x514x552（4x5）14x557，当且仅当 4x514x5，即 x32时取等号，即 y4x14x5的最小值为 7.(2)yx22x1（x22x1）（2x2）3x1（x1）22（x1）3x1(x1)3x122 32.当且仅当(x1)3（x1），即 x 31 时，等号成立答案(1)7(2)2 32名师点津通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解

7、最值的方法配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键命题角度二通过常数代换法利用基本不等式求最值【例 2】(1)已知 x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则1x13y的最小值是()a2b2 2c4d2 3(2)已知 a0，b0，a2b3，则2a1b的最小值为_解析(1)因为 lg 2xlg 8ylg 2，所以 lg(2x8y)lg 2，所以 2x3y2，所以 x3y1.因为 x0，y0，所以1x13y(x3y)1x13y 23yxx3y223yxx3y4，当且仅当 x3y，即 x12，y16时取等号所以1x13y的最小值为 4.故选 c(2)由 a2b3 得13a23b1，所以

8、2a1b13a23b2a1b 43a3b4b3a432a3b4b3a83.当且仅当 a2b，即 a32，b34时取等号答案(1)c(2)83名师点津通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)(2)把确定的定值(常数)变形为 1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式(4)利用基本不等式求解最值命题角度三通过消元法利用基本不等式求最值【例 3】已知正数 x，y，z 满足 x2y2z21，则 s1z2xyz的最小值为_解析由条件得，x2y21z2(1z)(1z)，0z1，01z0，y0，x2y5，则（x1） （2

9、y1）xy的最小值为_解析（x1） （2y1）xy2xy2yx1xy2xy6xy2xy6xy.由 x2y5 得52 2xy，即 xy5 24，即 xy258，当且仅当 x2y52时等号成立所以 2 xy6xy22 xy6xy4 3，当且仅当 2 xy6xy，即 xy3 时取等号，结合 xy258可知，xy 可以取到 3，故（x1） （2y1）xy的最小值为 4 3.答案4 3名师点津利用两次基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性|跟踪训练|1(2019 届常州调研)若实数 x 满足 x4，则函数 f(x)x9x4的最

10、小值为_解析：x4，x40，f(x)x9x4x49x442（x4）9x442，当且仅当 x49x4，即x1 时取等号故函数 f(x)x9x4的最小值为 2.答案：22若正数 x，y 满足 x26xy10，则 x2y 的最小值是_解析：因为正数 x，y 满足 x26xy10，所以 y1x26x.由x0，y0，即x0，1x26x0，解得 0 x1.所以 x2yx1x23x2x313x22x313x2 23，当且仅当2x313x，即 x22，y212时取等号故 x2y 的最小值为2 23.答案：2 23考点二基本不等式的实际应用【例 5】(2019 届孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每

11、小时耗油量 y(l)与速度 x(km/h)(50 x120)的关系可近似表示为 y175（x2130 x4 900） ，x50，80） ，12x60，x80，120.(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知 a，b 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 a 地驶向 b 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当 x50，80)时，y175(x2130 x4 900)175(x65)2675，当 x65 时，y 有最小值，为1756759；当 x80，120时，函数 y12x60单调递减，故当 x120 时，y 有最小值，为 10.因为 910，所以该型号汽

12、车的速度为 65 km/h 时，每小时耗油量最低(2)设总耗油量为 l，由题意可知 ly120 x，当 x50，80)时，ly120 x85x4 900 x130852x4 900 x13016，当且仅当 x4 900 x，即 x70 时，l 取得最小值，最小值为 16；当 x80，120时，ly120 x1 440 x2 为减函数，故当 x120 时，l 取得最小值，最小值为10，因为 100，0)，则41的最小值为()a16b8c4d2解析由题意可知，apab4ad，又 b，p，d 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得41， 又因为0， 0， 所以4141 (4)816821616，当且仅当16，即12，18时等号成立，故41的最小值为 16.故选 a答案a名师点津利用基本不等式求最值常与向量、三角、直线与圆、数列等知识交汇考查，求解时注意交汇知识运用及等号成立条件的确定|跟踪训练|(2019 届广东