2021届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节第4课时利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题学案理含解析

1、第四课时第四课时利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题考点一不等式恒成立问题【例 1】(2020 届四川五校联考)已知函数 f(x)aln xx2(a2)x.(1)当 a4 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)当 a0 时，对于任意的 x1，)，不等式 f(x)1a2恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)当 a4 时，f(x)4ln xx26x，f(x)4x2x6（2x4） （x1）x.令 f(x)（2x4） （x1）x0，解得 x2 或 0 x1.f(x)的单调递增区间为(0，1，2，)(2)令 g(x)f(x)a21(x1)，则 g(x)f(x)

2、ax2x(a2)（2xa） （x1）x(x1)当 0a21，即 0a2 时，g(x)0(当且仅当 x1 时取等号)g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)a2a2(a2)(a1)1，即 a2 时，g(x)在1，a2 上单调递减，在a2，上单调递增g(x)minga2 alna23a24a1，令 h(x)xlnx23x24x1(x2)，则 h(x)lnx232x.当 x2 时，h(x)0，h(x)在(2，)上单调递增，h(x)h(2)0.g(x)ga2 0 恒成立，满足题意综上所述，实数 a 的取值范围为(2，)名师点津(1)利用分离参数法来确定不等式 f(x，)0(xd，为实参数)恒

3、成立问题中参数取值范围的基本步骤：将参数与变量分离，化为 f1()f2(x)或 f1()f2(x)的形式；求 f2(x)在 xd 时的最大值或最小值；解不等式 f1()f2(x)max或 f1()f2(x)min，得到的取值范围(2)不等式恒成立问题的基本类型类型 1：任意 x，使得 f(x)0，只需 f(x)min0；类型 2：任意 x，使得 f(x)0，只需 f(x)maxk，只需 f(x)mink；类型 4：任意 x，使得 f(x)k，只需 f(x)maxg(x)，只需 h(x)minf(x)g(x)min0；类型 6：任意 x，使得 f(x)g(x)，只需 h(x)maxf(x)g(x

4、)max0.|跟踪训练|1已知函数 f(x)axxln x(ar)(1)若函数 f(x)在区间e，)上为增函数，求 a 的取值范围；(2)当 a1 且 kz 时，不等式 k(x1)f(x)在 x(1，)上恒成立，求 k 的最大值解：(1)f(x)定义域为(0，)，f(x)aln x1，由题意，知 f(x)0 在e，)上恒成立，即 ln xa10 在e，)上恒成立，即 a(ln x1)在e，)上恒成立，而(ln x1)max(ln e1)2，a2，即 a 的取值范围为2，)(2)当 a1 时，f(x)xxln x，x(1，)，原不等式可化为 kf（x）x1，即 k1 恒成立令 g(x)xxln

5、xx1，则 g(x)xln x2（x1）2.令 h(x)xln x2(x1)，则 h(x)11xx1x0，h(x)在(1，)上单调递增h(3)1ln 30，存在 x0(3，4)使 h(x0)0，即 g(x0)0.即当 1xx0时，h(x)0，即 g(x)x0时，h(x)0，即 g(x)0.g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增由 h(x0)x0ln x020，得 ln x0 x02，g(x)ming(x0)x0（1ln x0）x01x0（1x02）x01x0(3，4)，k0)(1)若函数 f(x)在(1，)上是减函数，求实数 a 的最小值；(2)若x1，x2e，e2，使 f(

6、x1)f(x2)a 成立，求实数 a 的取值范围解(1)因为 f(x)在(1，)上为减函数，所以 f(x)ln x1（ln x）2a0 在(1，)上恒成立所以当 x(1，)时，f(x)max0.又 f(x)ln x1（ln x）2a1ln x12214a，故当1ln x12，即 xe2时，f(x)max14a，所以14a0，故 a14，所以 a 的最小值为14.(2)“若x1，x2e，e2，使 f(x1)f(x2)a 成立”等价于当 xe，e2时，有 f(x)minf(x)maxa，当 xe，e2时，有 f(x)max14a，即 f(x)maxa14，问题等价于：“当 xe，e2时，有 f(x

7、)min14” 当 a14时，f(x)在e，e2上为减函数，则 f(x)minf(e2)e22ae214，故 a1214e2.当 0a14时，由于 f(x)1ln x12214a 在e，e2上为增函数，故 f(x)的值域为f(e)，f(e2)，即a，14a.由 f(x)的单调性和值域知，存在唯一 x0(e，e2)，使 f(x0)0，且满足：当 x(e，x0)时，f(x)0，f(x)为增函数所以 f(x)minf(x0)x0ln x0ax014，x0(e，e2)所以 a1ln x014x01ln e214e121414，与 0a14矛盾，舍去综上，实数 a 的取值范围为 a1214e2.名师点津

8、存在型不等式成立主要是转化为最值问题， 如存在 x1， x2a， b使 f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)max，转化为最值问题求解|跟踪训练|2(2019 届贵州适应性考试)已知函数 f(x)axex(ar)，g(x)ln xx.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)x0(0，)，使不等式 f(x)g(x)ex成立，求 a 的取值范围解：(1)因为 f(x)aex，xr.当 a0 时，f(x)0 时，令 f(x)0 得 xln a.由 f(x)0，得 f(x)的单调递增区间为(，ln a)；由 f(x)0，得 f(x)的单调递减区间为(ln a，)(2)因为x0(0，)，使不等式 f(x)g(x)ex，则 axln xx，即 aln xx2.令 h(x)ln xx2，则问题转化为 ah(x)max，因为 h(x)12ln