2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第六节简单的三角恒等变形教师文档教案文北师大版

1、第六节第六节简单的三角恒等变形简单的三角恒等变形授课提示：对应学生用书第 66 页基础梳理1升幂公式(1)1cos 22cos2(2)1cos 22sin2(说明：从左到右是升幂，从右到左为降幂)2辅助角公式asin bcos a2b2sin()其中 sin ba2b2，cos aa2b2.3半角公式(不要求记忆)(1)sin21cos 2.(2)cos21cos 2.(3)tan21cos 1cos 1cos sin sin 1cos 根号前面的正负号由角2所在象限确定.重要的运算变形公式sin()sin()2sin cos 变形sin sin 2sin2cos2.sin()sin()2co

2、s sin 变形sin sin 2cos2sin2.cos()cos()2cos cos变形cos cos 2cos2cos2.cos()cos()2sin sin 变形cos cos 2sin2sin2.tan2sin 1cos 1cos sin .四基自测1(基础点：辅助角公式)函数 f(x)sin 2xcos 2x 的最小正周期为()ab.2c2d4答案：a2(易错点：半角函数值符号)已知 cos 15，523，那么 sin2()a.105b105c.155d155答案：d3(基础点：辅助角公式)f(x)sin(x3)3cos x 的最小值为_答案： 104(易错点：公式的变形)已知(0

3、，2)，2sin cos 1，则 tan2_答案：12授课提示：对应学生用书第 66 页考点一利用变换的“主角”变角变例(1)若 02，20，cos4 13，sin42 33，则 cos2 ()a.33b33c.63d69解析因为 02，所以4434，又 cos4 13，所以 sin4 1cos241192 23.因为20，所以4422，又 sin42 33，所以 cos42 1sin24211363，所以 cos2 cos4 42cos4 cos42 sin4 sin42 13632 233363.故选 c.答案c(2)若(0，)，且3sin 2cos 2，则 tan2()a.32b34c.

4、2 33d4 33解析法一：由已知得 cos 132sin .代入 sin2cos21，得 sin2(132sin )21，整理得74sin2 3sin 0，解得 sin 0 或 sin 4 37.因为(0，)，所以 sin 4 37，故 cos 1324 3717.所以 tan2sin 1cos 4 3711732.故选 a.法二：因为 sin 2sin2cos2，cos 12sin22，所以3sin 2cos 2 可以化为 2 3sin2cos22(12sin22)2，化简可得 2 3sin2cos24sin22.因为(0，)，所以2(0，2)，所以 sin20.所以式可化为 2 3cos

5、24sin2，即 tan232.故选 a.答案a破题技法1.给值求值问题的主要思路是抓住“角”进行变形，即用已知角表示未知角有两种思路：(1)2()，即先求 tan()tan()(2)2先求 tan 2 tan(2)2从函数概念角度考虑：三角函数的自变量是角，角就成为分析变换的第一个要点对于一个角，我们要分析它的范围，对于不同的角，我们就要分析它们之间的关系用已知角表示所求角如 2()()，2(4)(42)，同时注意角的范围3注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”，构造适合公式的形式考点二利用式子的“结构”变形变挖掘 1化简与求值/

6、互动探究例 1(1)化简 2cos 2sin21的结果是()acos 1bcos 1c. 3cos 1d 3cos 1解析原式 1cos 21sin212cos21cos21 3cos21 3cos 1.答案c(2)2sin（）sin 2cos22_解析2sin（）sin 2cos222sin 2sin cos 12（1cos ）4sin （1cos ）1cos 4sin .答案4sin (3)若 f()2tan 2sin221sin2cos2，求 f(12)的值解析f()2tan cos 12sin 2sin cos 2cos sin 4sin 2，f12 4sin68.挖掘 2化简与证明/

7、 互动探究例 2(1)设(0，2)，(0，2)，且 tan 1sin cos ，则()a32b22c32d22解析法一：(化切为弦)因为 tan sin cos ，所以sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos cos sin ，整理得 sin()cos ，即 sin()sin(2)，因为(0，2)，(0，2)，所以(2，2)，2(0，2)，因为函数 ysin x 在(2，2)上单调递增，所以2，整理得22.故选 b.法二：(化弦为切)因为1sin cos 1cos（2）sin（2）2cos2（42）2sin（42）cos（42）1tan（42），所以 tan 1tan（4

8、2）tan2(42)tan(42)因为(0，2)，(0，2)，42(4，2)，又函数 ytan x 在(0，2)上单调递增，所以42，即22，故选 b.答案b(2)下列等式关系在使其有意义的条件下，恒成立的有_(sin2cos 2)21sin 4；tan21tan22tan ；1cos 22 sin22；1sin 2cos 21sin 2cos2tan2解析(sin 2cos 2)2sin22cos222sin 2cos 21sin 4(正确)tan21tan2tan221tan22（1tan22）2tan22tan (错)1cos 22sin22cos22sin22(正确)1sin 2cos

9、21sin2cos2sin 22sin2sin 22cos2sin cos tan (错)答案破题技法1.已知是“和”式，所求是“积”式，要经过“平方”为桥梁进行变形cos cos 12cos2cos22cos cos 14，sin sin 13sin2sin22sin sin 19.2三角函数式总是由一定结构呈现的，要学会观察三角函数式的结构特征，联想所学公式，根据要解决的问题选择变换的方向，类似几何直观，这是一种代数直观能力，看到一个函数解析式就能够联想到函数的性质(对称性、过定点，函数值正负区间，单调性等)这就是直观想象素养，根据结构和目标确定变换的方向和方法，常用的变换有：(1)对于含

10、有“sin2x”型，利用 sin2x1cos 2x2.(2)对于含有“cos2x”型，利用 cos2x1cos 2x2.(3)对于含有“sin xcos x”型，利用 sin xcos x12sin 2x.(4)对于含有“tan x”型，利用 tan xsin xcos x.逐步变为形如“yasin xbcos x”，利用辅助角公式变为 y a2b2sin(x)型考点三利用三角恒等变换，研究三角函数性质挖掘三角函数式化简与性质/互动探究例已知函数 f(x)2sin x(sin xcos x)a 的图像经过点(2，1)，ar r.(1)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调递增区间；(2)若当

11、x0，2时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围解析(1)f(x)2sin x(sin xcos x)a2sin2x2sin xcos xa1cos 2xsin 2xa2sin(2x4)1a.因为函数 f(x)的图像经过点(2，1)，所以2sin341a1，解得 a1.由22k2x422k，kz z，得8kx38k，kz z，所以 f(x)的单调递增区间为8k，38k(kz z)(2)由(1)知 f(x) 2sin(2x4)，因为 x0，2，所以 2x44，34当 2x44，即 x0 时，f(x)min1.因为 f(x)m 恒成立，所以 mf(x)min，即 m1.所以实数 m

12、的取值范围是(，1破题技法一般地先将 yf(x)化为 yasin xbcos x 的形式，再用辅助角公式化为 yasin(x)的形式，最后借助 yasin(x)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题(2020陕西西安一中月考)已知函数 f(x)2 3sin(x24)cos(x24)sin(x)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若将 f(x)的图像向右平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图像，求函数 g(x)在区间0，上的最大值和最小值解析：(1)f(x)2 3sin(x24)cos(x24)sin(x) 3cos xsin x2sin(x3)，于是 t212.故 f(x)的最小正周期为 2.(2)将函数 f(x)2sin(x3)的图像向