2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2节两直线的位置关系教学案含解析新人教A版

1、- 1 -第第 2 2 节节两直两直线的位置关系线的位置关系考试要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线

2、l1：a1xb1yc10 和l2：a2xb2yc20 的公共点的坐标与方程组a1xb1yc10，a2xb2yc20的解一一对应.相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的距离公式为|p1p2| （x2x1）2（y2y1）2.特别地，原点o(0，0)与任一点p(x，y)的距离|op|x2y2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0 的距离d|ax0by0c|a2b2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：axby

3、c10，l2：axbyc20 间的距离d|c1c2|a2b2.- 2 -4.对称问题(1)点p(x0，y0)关于点a(a，b)的对称点为p(2ax0，2by0).(2) 设 点p(x0，y0) 关 于 直 线ykxb的 对 称 点 为p(x ，y) ， 则 有yy0 xx0k1，yy02kxx02b，可求出x，y.常用结论与微点提醒1.两直线平行的充要条件直线l1：a1xb1yc10 与直线l2：a2xb2yc20 平行的充要条件是a1b2a2b10 且b1c2b2c10(或a1c2a2c10).2.两直线垂直的充要条件直线l1：a1xb1yc10 与直线l2：a2xb2yc20 垂直的充要条

4、件是a1a2b1b20.3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不

5、存在.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修 2p114a10 改编)两条平行直线 3x4y120 与ax8y110 之间的距离为()a.235b.2310c.7d.72解析由题意知a6，直线 3x4y120 可化为 6x8y240，所以两平行直线之间的- 3 -距离为|1124|366472.答案d3.(老教材必修 2p110b1 改编)若三条直线y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则m的值为_.解析由y2x，xy3，得x1，y2.点(1，2)满足方程mx2y50，即m12250，m9.答案94.(2019郑州调研)直线 2x(m1)y40 与直线mx3y20 平行，则m()a

6、.2b.3c.2 或3d.2 或3解析直线 2x(m1)y40 与直线mx3y20 平行，则有2mm1342，故m2 或3.答案c5.(2020南昌重点中学联考)已知直线l1：y2x，则过圆x2y22x4y10 的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为_.解析由题意可知圆的标准方程为(x1)2(y2)24，所以圆的圆心坐标为(1，2)，由已知得直线l2的斜率k12，所以直线l2的方程为y212(x1)，即x2y30.答案x2y306.(一题多解)(2019江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，p是曲线yx4x(x0)上的一个动点，则点p到直线xy0 的距离的最小值是_.解析法一由题意可设px0，x

7、04x0(x00)，则点p到直线xy0 的距离d|x0 x04x0|2|2x04x0|222x04x024， 当且仅当 2x04x0，即x0 2时取等号.故所求最小值是 4.- 4 -法二设px0，4x0 x0(x00)，则曲线在点p处的切线的斜率为k14x20.令 14x201，结合x00 得x0 2，p( 2，3 2)，曲线yx4x(x0)上的点p到直线xy0 的最短距离即为此时点p到直线xy0 的距离，故dmin| 23 2|24.答案4考点一两直线的平行与垂直【例 1】 (1)(2019河北五校联考)直线l1：mx2y10，l2：x(m1)y10，则“m2”是“l1l2”的()a.充分

8、不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件(2)(2020 西 安 模 拟 ) 已 知 倾 斜 角 为的 直 线l与 直 线x 3y 1 0 垂 直 ， 则12cos2 01922的值为()a.310b.35c.310d.110解析(1)由l1l2得m(m1)1(2)，得m2 或m1，经验证，当m1 时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m2”是“l1l2”的充要条件.(2) 直 线x 3y 1 0 的 斜 率 为 13， 直 线l的 斜 率k 3 ， tan 3 ，12cos2 0192212cos322 12sin 2 122sincos sincossin2cos2t

9、antan21391310.答案(1)c(2)c规律方法1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练 1】 (1)若直线ax4y20 与直线 2x5yb0 垂直，垂足为(1，c)，则abc()- 5 -a.2b.4c.6d.8(2)已知三条直线 2x3y10，4x3y50，mxy10 不能构成三角形，则实数m的取值集合为()a.43，23b.43，23，43c.43，23d.43，23，2

10、3解析(1)由已知得：a4 251，a4c20，25cb0，解得a10，c2，b12.abc4.(2)由题意得直线mxy10 与 2x3y10，4x3y50 平行，或者直线mxy10过 2x3y10 与 4x3y50 的交点.当直线mxy10 与 2x3y10，4x3y50 分别平行时，m23或43；当直线mxy10 过 2x3y10 与 4x3y50 的交点时，m23.所以实数m的取值集合为43，23，23 .答案(1)b(2)d考点二两直线的交点与距离问题【例 2】 (1)求经过直线l1：3x2y10 和l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线l3：3x5y60 的直线l的方程为_.(2)

11、(2020广州模拟)已知点p(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则a的取值范围是_.解析(1)先解方程组3x2y10，5x2y10，得l1，l2的交点坐标为(1，2)，再由l3的斜率35求出l的斜率为53，于是由直线的点斜式方程求出l：y253(x1)，即 5x3y10.(2)由题意得，点p到直线的距离为|443a1|5|153a|5.又|153a|53，即|153a|15，解之得 0a10，所以a的取值范围是0，10.- 6 -答案(1)5x3y10(2)0，10规律方法1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写

12、出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点p(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.【训练 2】 (1)(2020葫芦岛调研)若直线l与两直线y1，xy70 分别交于m，n两点，且mn的中点是p(1，1)，则直线l的斜率是()a.23b.23c.32d.32(2)若p，q分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点， 则|pq|的最小值为()a.95b.185c.2910d.295(3)(一题多解)直线l过点p(1，2)且到点a(2，3)和点b(4，5)的距离相等，则直线l的

13、方程为_.解析(1)由题意，设直线l的方程为yk(x1)1，分别与y1，xy70 联立解得m2k1，1，nk6k1，6k1k1.又因为mn的中点是p(1，1)，所以由中点坐标公式得k23.(2)因为3648125，所以两直线平行，由题意可知，|pq|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|245|62822910，所以|pq|的最小值为2910.(3)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1|3k3|，k13.直线l的方程为y213(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符

14、合题意.法二当abl时，有kkab13，直线l的方程为y213(x1)，即x3y50.当l过ab中点时，ab的中点为(1，4).- 7 -直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50 或x1.答案(1)a(2)c(3)x3y50 或x1考点三对称问题多维探究角度 1点关于点对称【例 31】 直线x2y30 关于定点m(2，1)对称的直线方程是_.解析设所求直线上任一点(x，y)，则关于m(2，1)的对称点(4x，2y)在已知直线上，所求直线方程为(4x)2(2y)30，即x2y110.答案x2y110规律方法1.点关于点的对称：点p(x，y)关于o(a，b)对称的点p(x，y)满足x2a

15、x，y2by.2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.角度 2点关于线对称【例 32】 如图，已知a(4，0)，b(0，4)，从点p(2，0)射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到p点，则光线所经过的路程是()a.3 3b.6c.2 10d.2 5解析直线ab的方程为xy4，点p(2，0)关于直线ab的对称点为d(4，2)，关于y轴的对称点为c(2，0)，则光线经过的路程为|cd| 62222 10.答案c规律方法1.若点a(a，b)与点b(m，n)关于

16、直线axbyc0(a0，b0)对称，则直线- 8 -axbyc0 垂直平分线段ab，即有nbmaab1，aam2bbn2c0.2.几个常用结论(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y).(2)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x).(3)点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x，2by).角度 3线关于线对称【例 33】 直线 2xy30 关于直线xy20 对称的直线方程是_.解析设所求直线上任意一点p(x，y)，则p关于xy20 的对称点为p(x0，y0)，由xx02yy0220，x

17、x0（yy0） ，得x0y2，y0 x2，由点p(x0，y0)在直线 2xy30 上，2(y2)(x2)30，即x2y30.答案x2y30规律方法求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.(2)设点p(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为p1(x1，y1)(p1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.【训练 3】 已知直线l：2x3y10，点a(1，2).求：(1)

18、点a关于直线l的对称点a的坐标；(2)直线m：3x2y60 关于直线l的对称直线m的方程；(3)(一题多解)直线l关于点a对称的直线l的方程.解(1)设a(x，y)，则y2x1231，2x123y2210，- 9 -解得x3313，y413，即a3313，413 .(2)在直线m上取一点，如m(2，0)，则m(2，0)关于直线l的对称点必在m上.设对称点为m(a，b)，则2a223b0210，b0a2231，解得a613，b3013，即m613，3013 .设m与l的交点为n，则由2x3y10，3x2y60，得n(4，3).又m经过点n(4，3)，由两点式得直线m的方程为 9x46y1020.

19、(3)法一在l：2x3y10 上任取两点，如p(1，1)，n(4，3)，则p，n关于点a的对称点p，n均在直线l上.易知p(3，5)，n(6，7)，由两点式可得l的方程为 2x3y90.法二设q(x，y)为l上任意一点，则q(x，y)关于点a(1，2)的对称点为q(2x，4y)，q在直线l上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.数学抽象活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点p(x0，y0)的直线系方程是：yy0

20、k(xx0)(k是参数， 直线系中未包括直线xx0)，- 10 -也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线axbyc0 的直线系方程是：axby0(是参数且c)；(3)垂直于已知直线axbyc0 的直线系方程是：bxay0(是参数)；(4)过两条已知直线l1：a1xb1yc10 和l2：a2xb2yc20 的交点的直线系方程是：a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r r，但不包括l2).类型 1相交直线系方程【例 1】 (一题多解)已知两条直线l1：x2y40 和l2：xy20 的交点为p，求过点p且与直线l3：3x4y50 垂直的直线l的方程.解法一解l1与l2组成的方程

21、组得到交点p(0， 2)， 因为k334， 所以直线l的斜率k43，方程为y243x，即 4x3y60.法二设所求直线l的方程为：4x3yc0，由法一可知：p(0，2)，将其代入方程，得c6，所以直线l的方程为 4x3y60.法三设所求直线l的方程为：x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420，因为直线l与l3垂直，所以 3(1)4(2)0，所以11，所以直线l的方程为 4x3y60.类型 2平行直线系方程【例 2】 已知直线l1与直线l2：x3y60 平行，l1与x轴、y轴围成面积为 8 的三角形，请求出直线l1的方程.解设直线l1的方程为：x3yc0(c6)，则令y0，得xc；令x0

22、，得yc3，依照题意有：12|c|c3|8，c4 3.所以l1的方程是：x3y4 30.【例 3】 (一题多解)已知直线方程 3x4y70，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是 1 的直线l的方程.解法一设存在直线l：xayb1，则ab1 和ba34组成的方程组的解为a4，b3.故l的方程为：x4y31，即 3x4y120.法二根据平行直线系方程可设直线l为：3x4yc0(c7)，则直线l在两坐标轴上截- 11 -距分别对应的是c3，c4，由c3c41，知c12.故直线l的方程为：3x4y120.类型 3垂直直线系方程【例 4】 求经过a(2，1)，且与直线 2xy100 垂直的直线l的方程

23、.解因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为x2yc0，又直线过点a(2，1)，所以有 221c0，解得c0，即所求直线方程为x2y0.类型 4直线系方程的应用【例 5】 求过直线 2x7y40 与 7x21y10 的交点，且和a(3，1)，b(5，7)等距离的直线方程.解设所求直线方程为 2x7y4(7x21y1)0，即(27)x(721)y(4)0，由点a(3，1)，b(5，7)到所求直线等距离，可得|（27）（3）（721）14|（27）2（721）2|（27）5（721）74|（27）2（721）2，整理可得|433|11355|，解得2935或13，所以所求的直线方

24、程为 21x28y130 或x1.a 级基础巩固一、选择题1.直线 2xym0 和x2yn0 的位置关系是()a.平行b.垂直c.相交但不垂直d.不能确定解析直线 2xym0 的斜率k12，直线x2yn0 的斜率为k212，则k1k2，且k1k21.答案c2.(2020昆明诊断)圆(x1)2y22 的圆心到直线yx3 的距离为()a.1b.2c. 2d.2 2- 12 -解析圆(x1)2y22 的圆心坐标为(1，0)，由yx3 得xy30，则圆心到直线的距离d|103|12（1）2 2.答案c3.(2019高安期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线 3x2y50 的直线l的方程是()a.6

25、x4y30b.3x2y30c.2x3y20d.2x3y10解析因为抛物线y22x的焦点坐标为12，0，直线 3x2y50 的斜率为32，所以所求直线l的方程为y32x12 ，化为一般式，得 6x4y30.答案a4.设ar r，则“a1”是“直线axy10 与直线xay10 平行”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析当a1 时，两直线分别为xy10 和xy10，满足两直线平行.当直线axy10 与直线xay10 平行时，若a0，两直线分别为y10 和x10，不满足两直线平行， 所以a0.故a11a11， 解得a21， 且a1， 所以a1.即“a1”是

26、“直线axy10 与直线xay10 平行”的充要条件.故选 c.答案c5.点p在直线 3xy50 上， 且点p到直线xy10 的距离为 2， 则点p的坐标为()a.(1，2)b.(2，1)c.(1，2)或(2，1)d.(2，1)或(2，1)解析设p(x0，y0)，则3x0y050，|x0y01|2 2，解得x01，y02或x02，y01，所以点p的坐标为(1，2)或(2，1).故选 c.答案c- 13 -6.(2020河北五校联盟质检)若直线l1：xay60 与l2：(a2)x3y2a0 平行，则l1与l2间的距离为()a. 2b.8 23c. 3d.8 33解析因为a0 或a2 时，l1与l

27、2均不平行，所以a0 且a2.因为l1l2，所以1a2a362a，所以a（a2）3，2a218，a2，a0，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy230，所以l1与l2之间的距离d|623|28 23.故选 b.答案b7.(2020豫南豫北精英对抗赛)直线axy3a10 恒过定点n，则直线 2x3y60 关于点n对称的直线方程为()a.2x3y120b.2x3y120c.2x3y120d.2x3y120解析由axy3a10 可得a(x3)y10，令x30，y10，可得x3，y1，n(3，1).设直线 2x3y60 关于点n对称的直线方程为 2x3yc0(c6).则|636|49|63c|49

28、，解得c12 或c6(舍去).所求直线方程为 2x3y120，故选 b.答案b8.已知直线l1：mxy30 与l2关于直线yx对称，l2与l3：y12x12垂直，则实数m()a.12b.12c.2d.2解析由于l2与l3：y12x12垂直，故l2的斜率是 2.设l2：2xyn0，因为l1：mxy30 过定点(0，3)，l2和x轴的交点为n2，0，l1：mxy30 与l2关于直线yx对- 14 -称，所以3n21，则n6.易知l2：2xy60 和直线yx的交点为(6，6)，该点也在l1：mxy30 上，所以 6m630，解得m12.答案b二、填空题9.点(1，2)关于直线xy1 对称的点的坐标是

29、_.解析设点(1，2)关于直线xy1 对称的点的坐标是(m，n)，则m12n221，n2m1，所以m3，n2，故所求坐标为(3，2).答案(3，2)10.(2020长沙一调)已知入射光线经过点m(3，4)，被直线l：xy30 反射，反射光线经过点n(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_.解析设点m(3，4)关于直线l：xy30 的对称点为m(a，b)，则反射光线所在直线过点m，由b4a（3）11，3a2b4230，解得a1，b0.又反射光线经过点n(2，6)，所以所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60.答案6xy6011.如果平面直角坐标系内的两点a(a1，a1)，b(a，a)关

30、于直线l对称，那么直线l的方程为_.解析因为直线ab的斜率为a1aa1a1，所以直线l的斜率为 1.设直线l的方程为yxb，由题意知直线l过点2a12，2a12，所以2a122a12b，解得b1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.答案xy1012.在平面直角坐标系中，已知点p(2，2)，对于任意不全为零的实数a，b，直线l：a(x1)b(y2)0，若点p到直线l的距离为d，则实数d的取值范围是_.解 析易 知 直 线l经 过 定 点 (1 ， 2) ， 则 点p到 直 线l的 距 离d的 最 大 值 为（21）2（22）25，最小值为 0，所以d的取值范围是0，5.- 15 -答案0，5b 级能力提升13.设abc的一个顶点是a(3，1)，b，c的平分线的方程分别是x0，yx，则直线bc的方程是()a.y3x5b.y2x3c.y2x5d.yx252解析a关于直线x0 的对称点是a(3，1)，关于直线yx的对称点是a(1，3)，由角平分线的性质可知，点a，a均在直线bc上，所以直线bc的方程为y2x5.故选c.答案c14.(2019洛阳期末)已知点p(x0，y0)是直线l：axbyc0 外一点，则方程axbyc(ax0by0c)0 表示()