2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教学案含解析新人教A版

1、 - 1 - 第第 4 4 节节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 知 识 梳 理 1.直线与圆的位置关系 设圆c：(xa)2(yb)2r2，直线l：axbyc0，圆心c(a，b)到直线l的距离为d，由（xa）2（yb）2r2，axbyc0 消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 0 几何观点 dr dr dr 2

2、.圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为r，r(rr)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 drr drr rr drr drr drr 公切线条数 4 3 2 1 0 常用结论与微点提醒 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2. - 2 - (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)过圆x2y2r2外一点m(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0 xy0yr2.

3、 2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法： 运用弦心距d、 半径r和弦长的一半构成的直角三角形， 计算弦长|ab|2r2d2. (2)代数法：设直线ykxm与圆x2y2dxeyf0 相交于点m，n，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xmxn和xmxn，则|mn|1k2（xmxn）24xmxn. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)“k1”是“直线xyk0 与圆x2y21 相交”的必要不充分条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )

4、 (4)过圆o：x2y2r2外一点p(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为a，b，则o，p，a，b四点共圆且直线ab的方程是x0 xy0yr2.( ) 解析 (1)“k1”是“直线xyk0 与圆x2y21 相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(老教材必修 2p132a5 改编)直线l： 3xy60 与圆x2y22x4y0 相交于a，b两点，则|ab|_. 解析 由x2y22x4y0 得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r5.又圆心(1，2)到直线 3xy60 的距离为d|326

5、|91102，由|ab|22r2d2，得|ab|210，即|ab| 10. 答案 10 3.(老教材必修 2p133a9 改编)圆x2y240 与圆x2y24x4y120 的公共弦长为_. - 3 - 解析 由x2y240，x2y24x4y120得两圆公共弦所在直线方程xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20 的距离为222.由勾股定理得弦长的一半为422，所以，所求弦长为 22. 答案 22 4.(2019太原模拟)若圆c1：x2y21 与圆c2：x2y26x8ym0 外切，则m( ) a.21 b.19 c.9 d.11 解析 圆c1的圆心为c1(0， 0)， 半径r11， 因为圆c2

6、的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆c2的圆心为c2(3，4)，半径r2 25m(m25).从而|c1c2| 32425.由两圆外切得|c1c2|r1r2，即 1 25m5，解得m9. 答案 c 5.(2020合肥质检)已知直线l：x3ya0 与圆c：(x3)2(y3)24 交于点m，n，点p在圆c上，且mpn3，则a的值为( ) a.2 或 10 b.4 或 8 c.622 d.623 解析 因为圆的半径是r2， 圆心坐标是c(3， 3)， mpn3， 且p在圆c上， 所以mcn23，则|mn|23.又点c到直线l的距离d|33a|13|a6|2，|mn|22d2r2，所以(3)2

7、（a6）244，则a62，即a4 或 8. 答案 b 6.(多填题)(2019浙江卷)已知圆c的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线 2xy30与圆c相切于点a(2，1)，则m_，r_. 解析 根据题意画出图形，可知a(2，1)，c(0，m)，b(0，3)， - 4 - 则|ab| （20）2（13）225， |ac| （20）2（1m）24（m1）2， |bc|m3|. 直线 2xy30 与圆c相切于点a， bac90， |ab|2|ac|2|bc|2. 即 204(m1)2(m3)2， 解得m2. 因此r|ac|4（21）25. 答案 2 5 考点一 直线与圆的位置关系 多维探究 角度

8、 1 位置关系的判断 【例 11】 在abc中，若asin absin bcsin c0，则圆c：x2y21 与直线l：axbyc0 的位置关系是( ) a.相切 b.相交 c.相离 d.不确定 解析 因为asin absin bcsin c0， 所以由正弦定理得a2b2c20. 故圆心c(0，0)到直线l：axbyc0 的距离d|c|a2b21r，故圆c：x2y21 与直线l：axbyc0 相切，故选 a. 答案 a 规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用判断. - 5 - (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在

9、圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 角度 2 弦长问题 【例 12】 (2020中原名校联盟联考)设圆x2y22x2y20 的圆心为c， 直线l过(0，3)，且与圆c交于a，b两点，若|ab|23，则直线l的方程为( ) a.3x4y120 或 4x3y90 b.3x4y120 或 4x3y90 c.4x3y90 或x0 d.3x4y120 或x0 解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，由x0，x2y22x2y20，得x0，y13或x0，y13， |ab|23，符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx3，由已

10、知可得圆的标准方程为(x1)2(y1)24，其圆心为c(1，1)，半径r2，圆心c(1，1)到直线kxy30 的距离d|k13|k21|k2|k21，d2r2|ab|22，（k2）2k2142 322，即(k2)2k21，解得k34，直线l的方程为y34x3，即 3x4y120.综上，满足题意的直线l的方程为x0 或 3x4y120，故选 d. 答案 d 规律方法 弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2r2d2. 【训练 1】

11、(1)(角度 1)(2019西安八校联考)若过点a(3，0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为( ) a.(3，3) b.3，3 c.(33，33) d.33，33 - 6 - (2)(角度 2)(2018全国卷)直线yx1 与圆x2y22y30 交于a，b两点，则|ab|_. 解析 (1)数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)，则圆心(1，0)到直线yk(x3)的距离应小于等于半径 1，即|2k|1k21，解得33k33. (2)由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为 2，则圆心到直线yx1 的距离d|11|2

12、2，所以|ab|222（ 2）222. 答案 (1)d (2)22 考点二 圆的切线问题 典例迁移 【例 2】 (经典母题)过点p(2， 4)引圆c： (x1)2(y1)21 的切线， 则切线方程为_. 解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d|k142k|k2（1）2|3k|k211， 解得k43， 所求切线方程为43xy42430， 即 4x3y40. 综上，切线方程为x2 或 4x3y40. 答案 x2 或 4x3y40

13、 【迁移 1】 在例 2 中，若点p坐标变为221，221 ，其他条件不变，求切线方程. 解 易知点p221，221 在圆c：(x1)2(y1)21 上，则kpc221122111，所求切线方程的斜率为1，则切线方程为y221 x221，即xy220. 【迁移 2】 在例 2 中，已知条件不变，设两个切点为a，b，求切点弦ab所在的直线方程. 解 由题意得，点p，a，c，b在以pc为直径的圆上，此圆的方程为(x2)(x1)(y4)(y1)0， 整理得x2y23x5y60， - 7 - 圆c：(x1)2(y1)21 展开得x2y22x2y10， 由得x3y50，即为直线ab的方程. 【迁移 3】

14、 (多填题)在例 2 中，已知条件不变，则切线pa的长度为_，弦ab的长度为_. 解析 如图，在 rtpac中， |pa| |pc|2|ac|21013. 又12|pa|ac|12|pc|ab|2，解之得|ab|3105. 答案 3 3105 规律方法 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线. 【训练 2】 过直线y2x3 上的点作圆c：x2y24x6y120 的切线，则切线长的最小值为( ) a.19 b.25 c.21 d.555 解析 圆的方程可化为(x

15、2)2(y3)21，要使切线长最小，只需直线y2x3 上的点和圆心之间的距离最短， 此最小值即为圆心(2， 3)到直线y2x3 的距离d，d|2233|525，故切线长的最小值为d2r219. 答案 a 考点三 圆与圆的位置关系 【例 3】 (2020贵阳调研)已知两圆x2y22x6y10，x2y210 x12ym0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)当m45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211， - 8 - (x5)2(y6)261m， 所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，

16、61m， (1)当两圆外切时，由 （51）2（63）21161m，得m251011. (2)当两圆内切时，因为定圆半径 11小于两圆圆心之间的距离 5，所以61m115，解得m251011. (3)由(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230. 故两圆的公共弦的长为 2（11）2（|413323|4232）227. 规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 【训练 3】 已知圆m：x2

17、y22ay0(a0)截直线xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆m与圆n：(x1)2(y1)21 的位置关系是( ) a.内切 b.相交 c.外切 d.相离 解析 由题意得圆m的标准方程为x2(ya)2a2， 圆心(0，a)到直线xy0 的距离da2，所以 2a2a2222，解得a2，圆m，圆n的圆心距|mn|2小于两圆半径之和 12，大于两圆半径之差 1，故两圆相交. 答案 b a 级 基础巩固 一、选择题 1.若直线l：xym0 与圆c：x2y24x2y10 恒有公共点， 则m的取值范围是( ) a.2，2 b.22，22 c.21，21 d.221，221 解析 圆c的标准方程为(x2)

18、2(y1)24，圆心为(2，1)，半径为 2，圆心到直线的距离d|21m|2，若直线与圆恒有公共点，则|21m|22， 解得221m221，故选 d. - 9 - 答案 d 2.(2020沈阳质检)“k33”是“直线l：yk(x2)与圆x2y21 相切”的( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 解析 若直线l与圆相切，则有|2k|k211，解得k33，所以“k33”是“直线l：yk(x2)与圆x2y21 相切”的充分不必要条件，故选 a. 答案 a 3.(2020广州调研)已知圆x2y22x2ya0 截直线xy20 所得的弦的长度为 4，则实数a

19、的值是( ) a.2 b.4 c.6 d.8 解析 将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1，1)，半径r2a，圆心到直线xy20 的距离d|112|22，故r2d24，即 2a24，所以a4.故选 b. 答案 b 4.圆x22xy24y30 上到直线xy10 的距离为 2的点共有( ) a.1 个 b.2 个 c.3 个 d.4 个 解析 圆的方程可化为(x1)2(y2)28， 圆心(1， 2)到直线的距离d|121|22，半径是 22，结合图形(图略)可知有 3 个符合条件的点. 答案 c 5.过点p(1，2)作圆c：(x1)2y21 的两条切线，切点分别为a，b，

20、则ab所在直线的方程为( ) a.y34 b.y12 c.y32 d.y14 解析 由题意知，点p，a，c，b在以pc为直径的圆上，易求得这个圆为(x1)2(y1)21，此圆的方程与圆c的方程作差可得ab所在直线的方程为y12. 答案 b 二、填空题 - 10 - 6.过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦的长为_. 解析 设p(3，1)，圆心c(2，2)，则|pc|2，半径r2.由题意知最短的弦过p(3，1)且与pc垂直，所以最短弦长为 222（ 2）222. 答案 22 7.若a为圆c1：x2y21 上的动点，b为圆c2：(x3)2(y4)24 上的动点，则线段ab长度

21、的最大值是_. 解析 圆c1：x2y21 的圆心为c1(0，0)，半径r11， 圆c2：(x3)2(y4)24 的圆心为c2(3，4)，半径r22， |c1c2|5.又a为圆c1上的动点，b为圆c2上的动点， 线段ab长度的最大值是|c1c2|r1r25128. 答案 8 8.(2020石家庄质检)已知直线x2ya0 与圆o：x2y22 相交于a，b两点(o为坐标原点)，且aob为等腰直角三角形，则实数a的值为_. 解析 因为直线x2ya0 与圆o：x2y22 相交于a，b两点(o为坐标原点)，且aob为等腰直角三角形，所以o到直线ab的距离为 1，由点到直线的距离公式可得|a|12（2）21

22、，所以a5. 答案 5或5 三、解答题 9.已知圆c：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程； (1)与直线l1：xy40 平行； (2)与直线l2：x2y40 垂直； (3)过切点a(4，1). 解 (1)设切线方程为xyb0， 则|12b|210，b125， 切线方程为xy1250. (2)设切线方程为 2xym0， 则|22m|510，m52， 切线方程为 2xy520. - 11 - (3)kac211413， 过切点a(4，1)的切线斜率为3， 过切点a(4，1)的切线方程为y13(x4)， 即 3xy110. 10.已知过点a(0，1)且斜率为k的直线l与圆c：(x

23、2)2(y3)21 交于m，n两点. (1)求k的取值范围； (2)若omon12，其中o为坐标原点，求|mn|. 解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r1， 由题设，可知直线l的方程为ykx1， 因为l与c交于两点，所以|2k31|1k21. 解得473k0)所得的弦长为 14，点m，n在圆上，且直线l：(12m)x(m1)y3m0 过定点p，若pmpn，则|mn|的取值范围为( ) a.22，23 b.22，22 c.62，63 d.62，62 解析 由题意：2r21214，解得r2，因为直线l：(12m)x(m1)y3m0 过定点p，故p(1，1)；设mn的中点为q(x，y)，则|om|2|oq|2|mq|2|oq|2|pq|2，即 4x2y2(x1)2(y1)2，化简可得x122y12232，所以点q的轨迹是以12，12为圆心，62为半径的圆， 所以|pq|的取值范围为622，622， |mn|的取值范围为62，62.故选 d. 答案 d 13.(2020长沙调研)在平面直角坐标系xoy中，若圆c1：x2(y1)2r2(r0)上存在点p，且点p关于直线xy0 的对称点q在圆c2：(x2)2(y1)21 上，则r的取值范围是_. 解析 圆c