(完整word)八年级因式分解难题(附答案及解析)

1、2017年05月21日数学(因式分解难题)2一填空题(共10小题)1 .已知 x+y=10, xy=16,则 x2y+xy2 的值为.2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分解成 2 (x-2) (x- 4), 请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：_ .3 .若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m的值是.4 .分解因式：4貳-4x- 3=.5. 利用因式分解计算：2022+202X 196+982=.6. AABC三边 a, b, c满足 a2+b2+c?=ab+bc+ca，则 ABC的形

2、状是.7 .计算：12 - 22+32 - 42+52 - 62+-1002+1012=.8. 定义运算b= (1-a) b,下面给出了关于这种运算的四个结论： 2 (- 2) =3 a b=b a 若 a+b=0,则(a a) + (b b) =2ab 若 a b=0,则 a=1 或 b=0.其中正确结论的序号是 (填上你认为正确的所有结论的序号).9. 如果 1+a+a2+a3=0,代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=.10. 若多项式x2-6x- b可化为(x+a) 2- 1,则b的值是.二.解答题(共20小题)11 .已知n为整数，试说明(n+7) 2-(n -3)

3、2的值一定能被20整除.12 .因式分解：4x2y - 4xy+y .13 .因式分解(1) a3- ab2(2) (x-y) 2+4xy.14 先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求 m 和 n 的值.解：T m2+2mn+2n2 - 6n+9=0 m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/( m+ n) 2+ (n - 3) 2=0 m+n=0, n 3=0 m= 3, n=3问题：(1 )若 x2+2-2xy+4y+4=0,求 Xy 的值.(2) 已知 ABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足 a2+b2- 6a- 6b+18+|3 -c

4、| =0,请问 ABC是怎样形状的三角形？15. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么称这个正整数为 和 谐数”如4=22- 02, 12=42 - 22, 20=62 - 42，因此4, 12, 20这三个数都是和 谐数.(1) 36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2) 设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数 构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3) 介于1到200之间的所有 和谐数”之和为.16. 如图1,有若干张边长为a的小正方形、长为b宽为a的长方形以及 边长为b的大正方形的纸片.:1b111 11111111111111i1iii

5、aHI郅(1) 如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们 拼成一个大长方形 (在图2虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将 多项式a2+3ab+2b2分解因式.(2) 已知小正方形与大正方形的面积之和为 169，长方形的周长为34, 求长方形的面积.(3) 现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，求可以拼成多少种边长不同的正方形.17. (1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.oHl口 Mi 用两种不同的方法，计算图2中长方形的

6、面积; 由此，你可以得出的一个等式为： (2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3所示. 请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图； 请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.18 .已知 a+b=1，ab=- 1，设 S1 =a+b， S2=a2+b2，S3=a3+b3，Sn=an+bn(1) 计算s ；(2) 请阅读下面计算S3的过程:a i-b二乍十F +(站g-hp 十&召一盘为=(护+扩0+(扩+a-府白+应为=(白 +盼+(/ 4扌0-4地+曲二S+如+巧一糾因为 a+b=1, ab=- 1,所以 S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2

7、) ab (a+b) =1 x S2 -( - 1) =S2+1=你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3 )试写出Sn-2, Sn-1, Sn三者之间的关系式；(4) 根据(3)得出的结论，计算S6.19. (1)利用因式分解简算:9.82+0.4X 9.8+0.04(2)分解因式：4a (a- 1) 2-( 1 - a)20. 阅读材料：若 m2-2mn+2n2 - 8n+16=0,求 m、n 的值.解：T m2- 2mn+2n2 - 8n +16=0,二(m2 - 2mn+n2) + (n2 - 8n+16) =0( m - n) 2+ (n- 4

8、) 2=0,a( m - n) 2=0, (n- 4) 2=0,二 n=4, m=4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0, 求 x-y 的值.(2) 已知 ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 石+b2-6a- 8b+25=0, 求厶ABC的最大边c的值.(3) 已知 a - b=4, ab+c2- 6c+13=0,则 a - b+c=.21. 仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及 m 的值.解：设另一个因式为(x+n),得 x2- 4x+m= (x+3) (x+n)，则 x2

9、 - 4x+m=W+ (n+3) x+3nn+3= 4m=3n解得：n= - 7, m= 21另一个因式为(x 7), m的值为-21 .问题：(1) 若二次三项式x2- 5x+6可分解为(x- 2) (x+a),贝U a=;(2) 若二次三项式2x2+bx - 5可分解为(2x- 1) (x+5),则b=;(3) 仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x- k有一个因式是(2x-3)，求另一个因式以及k的值.22 分解因式:(1) 2x2- x;(2) 16x2- 1;(3) 6xy2 - 9x2y - y3;(4) 4+12 (x- y) +9 (x-y) 2.23. 已知a,

10、 b, c是三角形的三边，且满足(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),试确定 三角形的形状.24. 分解因式(1) 2(- 4x2y2+2y4(2) 2a3 - 4a2b+2ab2.25. 图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四 块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.(1) 图中的阴影部分的面积为 ;(2) 观察图请你写出三个代数式(m+n) 2、(m - n) 2、mn之间的等量关系是.(3) 若 x+y=7, xy=10,则(x y) 2=.(4) 实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图，它表示了 .(5) 试画出一个几何图形，使它的面积能表

11、示(m+ n) (m+3n) =m2+4mn+3n2.w26. 已知 a、b、c满足 a b=8, ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的值.27 .已知：一 个长 方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积.28. (x2 4x) 2 2 (x2 4x) 15.29. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:1+x+x (x+1) +x (x+1) 2 =(1+x) 1 +x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)=(1+x) 3(1 )上述分解因式的方法是 ，共应用了次.(2) 若分解 1+x+x (x+1

12、 ) +x (x+1 ) 2+-+x (x+1 ) 2004,则需应用上述方法 次，结果是.(3) 分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+-+x (x+1) n (n 为正整数).30. 对于多项式x3 5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x35x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式(x- 2)(注：把x=a代入多项 第 9页(共 31页)式能使多项式的值为0,则多项式含有因式（X- a）,于是我们可以把多项式写成：x3 - 5x2+x+10=（x- 2） （x2+mx+n），（1 ）求式子中 m、n 的值； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法

13、，用试根法分解多项式x3- 2x2- 13x- 10 的因式第7页（共 31页）2017年05月21日数学(因式分解难题)2参考答案与试题解析一填空题(共10小题)1. ( 2016秋？望谟县期末)已知x+y=10, xy=16,则x2y+xy2的值为 160 .【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【解答】解： x+y=10, xy=16, x2y+xy2=xy (x+y) =10X 16=160.故答案为：160.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.2. (2016秋？新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因 看错了一次项系数

14、而分解成2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分 解成2 (x-2) (x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2 (x-3) 2.【分析】根据多项式的乘法将 2 (x- 1) (x-9)展开得到二次项、常数项； 将2 (x-2) (x-4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该 多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.【解答】 解：2 (x- 1) (x-9) =2乂 - 20x+18;2 (x- 2) (x-4) =2- 12x+16;原多项式为2x2- 12x+18 .2/- 12x+18=2 (x2- 6x+9) =2 (x-3) 2.【点评】

15、根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键. 二次三项式分解因式， 看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确.3. (2015春？昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m的值是 土 4.【分析】利用完全平方公式(a+b) 2= (a- b) 2+4ab、(a- b) 2= (a+b) 2- 4ab 计算即可.【解答】解： x2+mx+4= (x 2) 2,即 x2+mx+4=W 土 4x+4, m= 4.故答案为：土 4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式 是解题关键.4. (2015 秋？利川市期末)

16、分解因式：4/- 4x- 3=(2x- 3) (2x+1).【分析】ax2+bx+c (a0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项 系数a分解成两个因数ai, a2的积ai?a2，把常数项c分解成两个因数ci, C2 的积ci?C2,并使aiC2+a2Ci正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(aix+ci) (a2x+c2),进而得出答案.【解答】解：4x2- 4x- 3= (2x- 3) (2x+i).故答案为：(2x- 3) (2x+i).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.5 . (20i5春？东阳市期末)利用因式分解计算：2

17、022+202X i96+982= 90000.【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=(202+98) 2=300 =90000.【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.6. (2015秋？浮梁县校级期末) ABC三边a, b, c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca, 则厶ABC的形状是 等边三角形 .【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以 2,再化简得(a- b) 2+ (a -c) 2+ (b - c) 2=0,得出：a=b=c,即选出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得： 2a2+

18、2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即 a2 - 2ab+b2+a2 - 2ac+c2+b2 - 2bc+c2=0,即(a - b) 2+ (a- c) 2+ (b - c) 2=0,解得：a=b=c,所以， ABC是等边三角形.故答案为：等边三角形.【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得 a=b=c,由三边相等判定厶ABC是等边三角形.7. (2015 秋？鄂托克旗校级期末)计算：12- 22+32- 42+52- 62+-1002+1012=5151.【分析】通过观察，原式变为1+ (32 - 22) + (52 - 42) + (1012 - 1002),

19、进一 步运用高斯求和公式即可解决.【解答】解：12- 22+32 - 42+52 - 62+-1002+1012=1+ (32 - 22) + (52 - 42) + ( 1012 - 1002)第9页(共3i页)=1+ (3+2) + (5+4) + (7+6) + (101+100)=(1+101)X 101-2=5151.故答案为：5151.【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.8. (2015秋？乐至县期末)定义运算ab= (1 - a) b,下面给出了关于这种运 算的四个结论： 2 (- 2) =3 a b=b a 若 a+b=0,则(a a) + (

20、b b) =2ab 若 a b=0,则 a=1 或 b=0.其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号).【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.【解答】解：2 (-2) = (1 - 2)X(- 2) =2,本选项错误； ab= (1 - a) b, ba= (1 - b) a,故ab不一定等于ba,本选项错误； 若 a+b=0，贝U( aa) + (b b) = (1 - a) a+ (1 - b) b=a- a2+b- b2=- a2 -b2= - 2a2=2ab,本选项正确； 若a b=0,即(1 - a) b=0,则a=1或b=0,本选项正确，其中正确的有.故答

21、案为.【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新 定义是解本题的关键.9. （2015 春？张掖校级期末）如果 1 +a+a2+a3=0,代数式 a+a2+a3+a4+a5 +a6+a7+a8=0 .【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.【解答】解：I 1+a+a2+a3=0,二 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8,=a (1 +a+a2+a3) +a5 (1 +a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.10. (2015春？昆山市期末)若多项式X2-6x-b可化

22、为(x+a) 2- 1,贝U b的值是 -8.【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.【解答】 解：T x2 - 6x- b= (x- 3) 2 - 9- b= (x+a) 2- 1,二 a=- 3,- 9- b= - 1,解得：a=- 3, b= - 8.故答案为：-8.【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.二.解答题(共20小题)11. 已知n为整数，试说明(n+7) 2-(n -3) 2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展开(n+7) 2-(n -3) 2,看因式中有没有20即可.【解答】 解：(n +7) 2-(n-3) 2= (n +7+n-3)

23、(n +7- n+3) =20 (n+2), (n +7) 2-(n- 3) 2的值一定能被20整除.【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2- b2= (a+b) (a- b).12. (2016秋？农安县校级期末)因式分解：4x2y- 4xy+y.【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】 解： 4x2y- 4xy+y=y( 4x2- 4x+1 )=y(2x- 1) 2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解, 一个多项式有公因 式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底, 直到不能分解为止.13. (2015秋

24、?成都校级期末)因式分解( 1 ) a3- ab2(2) (x- y) 2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；( 2)原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)原式=a (a2 - b2) =a (a+b) (a- b)；( 2)原式 =x2- 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=( x+y) 2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用, 熟练掌握因式分解的方 法是解本题的关键.14. (2015 春?甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,例题：若 m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求 m 和 n 的值.解：T m2+2mn+2n2 -

25、6n+9=0 m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/( m+ n) 2+ (n - 3) 2=0m+n=0, n 3=0m= 3, n=3问题：(1) 若 x2+2y2 2xy+4y+4=0,求 X 的值.(2) 已知 ABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足 孑+b2-6a 6b+18+|3 c| =0,请问 ABC是怎样形状的三角形？【分析】(1)首先把 x2+2y2 2xy+4y+4=0,配方得到(x y) 2+ (y+2) 2=0, 再根据非负数的性质得到x=y= 2,代入求得数值即可；(2)先把 ab2- 6a 6b+18+|3 c| =0,配方得到(a 3) 2+ (b

26、 3) 2+| 3 c| =0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.【解答】解：(1 ) x2+2y2 2xy+4y+4=0 x2+y2 2xy+y2+4y+4=0, ( x y) 2+ (y+2) 2=0 x=y=- 2(2a2+b2 6a 6b+18+| 3 c| =0, a2 - 6a+9+b2 6b+9+| 3 c| =0,( a 3) 2+ (b 3) 2+| 3 c| =0 a=b=c=3三角形ABC是等边三角形.【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数 的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系， 建立方程求得数值解 决问题

27、.15. (2015秋？太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 和谐数”如4=22 - 02, 12=军-22, 20=62 - 42,因此4, 12, 20这三个数都是和谐数.(1) 36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2) 设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数 构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3) 介于1到200之间的所有 和谐数”之和为 2500.【分析】(1)利用36=1俨-82; 2016=5052 - 5032说明36是 和谐数” 2016 不是和谐数”(2) 设两个连续偶数为2n, 2n+2(n为

28、自然数),则和谐数”(2n +2) 2- (2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n) (2n+2-2n) =4(2n+1),然后利用整 除性可说明 和谐数”一定是4的倍数；(3) 介于1到200之间的所有 和谐数”中，最小的为：22 - 02=4,最大的为： 502 - 482=196，将它们全部列出不难求出他们的和.【解答】解：(1) 36是 和谐数” 2016不是 和谐数”理由如下：36=10- 82; 2016=5052 - 5032;(2) 设两个连续偶数为2k+2和2k (n为自然数)，(2k+2) 2-(2k) 2= (2k+2+2k) (2k+2- 2k)=(4k+2)

29、x 2=4 (2k+1), 4 (2k+1)能被4整除，和谐数”一定是4的倍数；(3) 介于1到200之间的所有 和谐数”之和，S= (22 - 02) + (42 - 22) + (62 - 42) + (502 - 482) =50=2500.第 17页(共 31页)故答案是：2500.【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形, 从而达到使计算简化.16. （2015春?兴化市校级期末）如图1,有若干张边长为a的小正方形、长 为b宽为a的长方形以及边长为b的大正方形的纸片.圍1圉2（1）如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们 拼成一个大长方形

30、 （在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将 多项式a2+3ab+2b2分解因式.（2） 已知小正方形与大正方形的面积之和为 169，长方形的周长为34, 求长方形的面积.（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形.【分析】（1）根据小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，直接画 出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形的周长为34,得出a+b=17，由题意可知：小正方形与大正 方形的面积之和为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，

31、从 而可求得长方形的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式第16页（共31页）可知：（na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2.因为现有三种纸片各 8张，n28, m28, 2mnw 8 （n、m为正整数）从而可知 nW2, m2,从而可得 出答案. a2+3ab+2b2= （a+2b） （a+b）;（2 长方形的周长为34, a+b=17.小正方形与大正方形的面积之和为169, a2+b2=169.将a+b=17两边同时平方得：（a+b） 2=172，整理得：a2+2ab+b2=289, 2ab=289 - 169, ab=60.长方形的面积

32、为60.（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）正方形的面积=（na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2.现有三种纸片各8张， n28, m28, 2mn8 （n、m 为正整数） n2, m0, c2 0,则 b=- 4，c=0（ 4 分）所以 a=4，（ 5 分）所以 2a+b+c=4（ 6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握， 又考查了非负数的性质以及代 数式求值的方法27（ 2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积【分析】我们可先将a+b+

33、c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1） （b+1） （c+1）-1，就得（1+b）（c+1）（a+1） =2007,由于 a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3X 3X 223,可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223,所以a、b、c值为2、2、222.就可求出长方 体体积abc 了.【解答】 解：原式可化为： a+ab+c+ac+ab+abc+b+1 - 1=2006,a（1+b） +c（1+b） +ac（1+b） +（1+b）- 1=2006,（ 1+b）（ a+c+ac） +（ 1+b） =200

34、7,（ 1+b）（ c+1+a+ac） =2007,（1+b）（c+1）（a+1） =2007,2007只能分解为3X 3X 223( a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分别为 3、3、223a、b、c也只能分别为2、2、222长方体的体积abc=888.【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足 分解因式.28. (2007 秋？普陀区校级期末)(x2-4x) 2- 2 (x2 - 4x)- 15.【分析】把(x2- 4x)看作一个整体，先把-15写成3X( -5),利用十字相 乘法分解因式，再把3写成(-1)X( - 3), - 5写成1X( -5),分别利用

35、 十字相乘法分解因式即可.【解答】解：(x2- 4x) 2- 2 (x2-4x)- 15，=(x2 - 4x+3) (x2- 4x- 5)，=(x- 1) (x- 3) (x+1) (x- 5).【点评】本题考查了十字相乘法分解因式， 运用十字相乘法分解因式时，要注 意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底.29. (2007春?镇海区期末)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x (x+1) +x (x+1) 2=(1+x) 1 +x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)=(1+x) 3(1 )上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2次.(2)若分解 1 +x+x(x+1 ) +x(x+1 ) 2+- +x (x+1) 2004，则需应用上述方法 2004次，结果是(1 +x) 2005 .(3)分解因式：1+x+x