结构力学课件CH08

1、v虚功及虚功原理理v结 构 位 移 计 算 的 一 般 公 式v图乘法及举例v温 度 改 变 产 生 的 位 移 计 算v支 座 移 动 产 生 的 位 移 计 算v线弹性体互等定理81 结构位移计算概述 a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析 打基础；c）建筑起拱。M Q N -t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差不产生内力和变形产生刚体移动位移是几何量，自然可用几何法来求，如lD=bxdwd=k22但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。a）荷载作用；2、产生位移的原因主要有三种： 计算位移时，常假定：1）=E；2）小变

2、形；3）具有理想约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。 1、计算位移有三个目的：如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移 将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。返航 82虚功原理 一、实功与虚功 实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22。实功恒为正。 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。 如T12，如力与位移同向，虚功为正，如 力与位移反向，虚功为负P1P2112212荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系P与成正比。P11P1元功 dT=PdT11=d

3、T=SOAB =1/2P111再加P2，P2在自身引起的位移22上作的功T22=1/2P222在12过程中，P1的值不变，T12=P11212与P1无关dTOABKj位移发生的位置产生位移的原因 二、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S；与位有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=S1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在力的方向上的分量。Pm2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。3）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABBAT=PA+PB=P（ A+B） =P这里是与广义力相应的广义

4、位移。 表示AB两点间距的改变，即AB两 点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABmmABT=mA+mB=m（ A+ B）=m这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。 刚体虚功原理静力分析的方法基本方法：选分离体，列平衡方程。虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。1、虚功原理 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系， 又设体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移， 则主动力在位移上所作的虚功总和恒为零。是指约束反力在可能位移上所作虚功恒等于零的约束作功的双方（平衡力系、可能位移）彼此独立无关虚功原理的应用1）需设位移求未知力（虚位移原理）2）需设力系求位移（虚

5、力原理）abACB 1）需设位移求未知力（虚位移原理）PX求杠杆在图示位置平衡时X的值。PXXXPP=0（XP）XPDDP 1 X =1，P=b/aPabPXP=dPXP=-d01刚体内力在可能的位移上所作虚功恒为零1 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。如（方程。如（c c）式就是力矩平衡方程）式就是力矩平衡方程MCMC0 02 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可以随意虚设，如设便，可以随意虚设，如设X=1X=1。3 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解）虚功法求未知力的

6、特点是采用几何的方法求解静力平衡问题。静力平衡问题。X=0 =0 （c）PabX = P 1 P 1 P 1 ababababab 例6-3 各段杆长为a，求该机构在图示位置平衡时，P与X的关系。PxbyPX1、虚设位移，建立位移之间的关系,Pctgq23=PXPX0=D-DqdaPqcos3=Dq,daXqsin2=Ddadyqqcos3=dadbqq,sin2-=ayqsin3=abqcos2=PXXPDD2、建立虚功方程，求未知力虚功法的特点：虚功法的特点： 1 1、将平衡问题归结为几何问题求解；、将平衡问题归结为几何问题求解； 2 2、直接建立荷载与未知力之间的关系，、直接建立荷载与未

7、知力之间的关系， 而不需求其它未知力。而不需求其它未知力。动画演示T1 byPXbyP2、应用虚功原理求静定结构的约束力 作出机构可能发生的刚体虚位移图；2、应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的方法：1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度的机构， 使原来的约束力X变成主动力。2）沿X方向虚设单位虚位移。利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。3）建立虚功方程，求未知力。a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAX=11.50.75YCqqaqa2虚功方程为: YC10.75/a+qa0.75 qa20.75/a q1.53a/20YC=2.25qa a 2aa 2aaqaqa2

8、qFEDCBAqaqa2QCQC 10.50.25虚功方程为: QC10.25/a+qa0.25 qa20.25/a q(12a/2+0.5 a/2 )0QC=1.25qa a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAqaqa20.5a0.25a虚功方程为: MA10.25MA1a(上拉)+qa0.25a qa20.25 +q(a2a/2 0.5a a/2MA= 0.75qa2)0 3、应用虚功原理求静定结构的位移 b acP=1baPRA=建立虚功方程：P+Rac=0cbacbaPP-=D=D0（）1 1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程

9、。2 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便， 可以随意虚设，如设可以随意虚设，如设P=1P=1。3 3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何 问题。问题。 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。T12 0三、刚体虚功原理12四、变形体系的虚功原理:状态1是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的变形上作的内虚功之和变12V即：T12=变12V

10、证明N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMdsdsds2dsd2=2ds微段的变形可分为2ds，2ds，2ds=dsMdsQdsN1dVV212121212kge变变变12dV=N12ds+Q12ds+M12dsdsMdsQdsN121212kgeT12=dsMdsQdsNT21212112kge2ds 例：图a所示刚架由于某种原因横梁和立柱同时发生图示常曲率的弯曲变形且B点无线位移。现已知横梁的曲率为BC=0.001m-1。试应用虚功原理求立柱AB的曲率AB。8m5mABCABBCM=1M=1虚设力系解： 虚功方程为：10016.058-=mBCABkk15180-=ABBCkk11=-

11、 dxMACkqqA=B=C 1内力是成对出线的，等值反向， 变形是连续，所以左段右截面与右段的左截面的内力等值反向，位移相同， 这样，相邻微段间的相互作用力的功相互抵消。 于是，整个梁各微段的内力在位移上的总功等于零：0内12V=12N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMds1，求dV12之和V12=dV122，求V12的方案一： 微段上受的力梁上的外力外12V内1212VV= 内 外121212dVdVdV=内12dV外12dV外12V=T12（a）3，求V12的方案二：将状态2中ab微段的位移过程分为ababababb刚12dV变12dV12dV=随a截面的刚体位移，移至ab=变12

12、dV因为微段平衡 所以刚12dV=0变1212VV=（b）由 （a）、（b）得：T12=V12虚功原理的证明返航截面内力变形引起的位移（a截面不动）再移至ab 83 单位荷载法 位移计算的一般公式=dsMdsQdsNT21212112kgeP1P2t1t2222位移状态 2c1c2KKKHP=1MQN虚拟力状态 12R1R需首先虚拟力状态 在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.()=D iiKH dsMQNcR2221kge()-=DiicR dsMQN222kge(810) (810)式是结构位移计算的一般公式,注:1) 适用于静定结构和超静定结构; 2) 材料可以是弹性的也

13、可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) (810)右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。 荷载作用下的位移计算()-=DiicR dsMQN222kge(810)NP QP MPEIMGAkQEANPPP=222kge真实位移状态=DdsGAQQkdsdsEIMMPPEANNPkp（815）注：（1）EI、EA、GA是杆件截面度； k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。（2） NP、QP、MP实际荷载引起的内力， 是产生位移的原因；虚设单位荷载 引起的内力是MQN,dsEIMMP（5）桁

14、架 =EANNPds =lEANNP（6）桁梁混合结构 lEANNdsEIMMPP用于梁式杆用于桁架杆（7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中计算水平位移 时才考虑轴向变形对位移的影响，即dsEIMMPEANNP+=（3） 公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。（4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的= （8）该公式既用于静定结构也用于超静定结构。但必须是弹性体系 （9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载。P=1m=1m=1m=1P=1P=1l1/l1/lAB求A点的水平位移求A截面的转角求AB两截面的相对转角求AB两点的相对位移求

15、AB两点连线的转角位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！ 例8-4（P148）图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆，拉杆采用钢杆。求C的竖向位移。柱 q解：1)将q化为结点荷载P=ql/4-4.74P-4.42P4.5P3.0P2)求N3)求NPPPPP/2P/20.287l0.25l0.222l0.25l0.263l0.263lADCEGBFl/12 l/122P2P84 荷载作用下的位移计算举例ADCEGBF11/21/21.501.50-1.58-1.58002)求N4)求C=DEAlNNPC材料杆件NPAlNEAlNNP钢筋混凝土钢筋ADCDDECEAEEG1.581.5001.501.504

16、.74P4.42P4.50P3.00P0.263l0.263l0.088l0.278l0.278l0.222lAbAb0.75AbAg3Ag2Ag1.97Pl/AbEb1.84Pl/AbEb000.63Pl/AgEg0.5Pl/AgEgC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)2 3)求NPPP=1例：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载q cos=Qq sin-=Nq sin-=RMqcos=PQPqsin-= PNPqsin-= PRMP虚拟荷载3）位移公式为QNMDDD=PPPGAdsQQEAdsNNEIdsMM=DGAPREAPREIPR=D4443p

17、k ppds=Rddds钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMQD2=DMNARI2412=DDMQRhGAREIk可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 引起的位移相比可以忽略 不计。但对于深梁剪切变 形引起的位移不可忽略.2）实际荷载dGAPRdEAPREIPR=cossin20203q qk qqpp22h101R如2121=Rh Pl/2l/2EIABx1x2例：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=1MP（x1）=Px/2 0 x1l/2MP（x2）=P（lx）/2 l/2 x2llx (x)M=0 xlEIP

18、l162=EIdxxlPlxdxEIPxlxlll2)(2220-=EIdsMMlPB0=积分常可用图形相乘来代替2）MP须分段写 kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIydxEIMM0w=yEI01w=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0注注：表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。y0=x0tg 85

19、图乘法 位移计算举例几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI 分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112-=-=ql2/2MMPMPP=1lMlqABEIqlllqlEIB8

20、43231142=D例:求梁B段转角。例:求梁B点竖向位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。 PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432=Da/2a/2PaaaEI=D343211Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=Dw5Pl/6？ 图乘法 位移计算举例=DPEIydxEIMM0w表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。图乘法的应用条件：竖标y0面积与竖标y0在杆的同侧， y0

21、取正号，否则取负号。几种常见图形的面积和形心的位置：h3l/4l/4二次抛物线=hl/3顶点l/2l/2h二次抛物线=2hl/3顶点 a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI 分段为常数或 M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。 非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/311y1y2()bcadbdacl=226dc323bl2dc332al=2yydxMMki=2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处

22、理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）32649 S = 9/6（262+203+6302） = 9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649（4）2369 labdch+bah232dchl()226bcadbdaclS=b)非标准抛物线成直线形例8-8 （P156）预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm,混凝土容重为25000N/m3,求C点的挠度。解：q=2500010.025625N/m I=1/12 1

23、002.53cm4=1.3 10-6m4 E=3.3 1010N/m2 折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2举例 2.2m0.8mABC折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2200378P=10.8MPMq=625N/m2.2m0.8mABC1y136.08.0433=y4.08.0212-=y533.08.0321=y()85.01332211=DyyyEIwww3.538.0200313=w5552.2378322=w2202.2200211=w()cmm2 . 01026 . 03 .534 . 0555533. 02206465. 313-=-=-=-

24、y32y2 qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPP=111l1y12y22y3BM23=ly3221=yly12832323=qllqlw42212321=qllqlww8321232432414222=EIqllqllqllqlEI()1332211=DMyyyEIwww1=N0=NNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=DPNEAqlEAlqlEAlNN6kN2kN/m2kN/m 6m3m3mAB求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163M)()=EI-756332231

25、8-EI643636311-2639632(-=DEI61833631826362661EI=常数9 9 9999()2718318185 . 4463666-=-Sinpson法 ()( )有关误差与4210024620yyyyxxydxSxx-=9 P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M求B点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25 .023232212-lqllqllqllqllEI8222822265 .0212222lqlEIlB432831122=DEIqlllqlEIB843231142=DylqlEIB283312102=Dq？ql2/8l/2？ql

26、2/32y0 dxMMEIlP021dxMMEIEIlP-=021111dxEIMMdxEIMMlPlP020211dxEIMMdxEIMMllPlPVB=D20111上式中的两项积分都是标准图形相乘。如l1=l/2，EI2=2EI1，则1325617EIql=214323121llqlEI2112432831211llqlEIEIVB-=DMPMP=1xl1lqA BEI2EI1ql2/2 lql2/8l/2 aEI2aEI1allEI2aEI2+allEI2aEI1=aEI1 2-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllC ABP=1/

27、lP=1/llABP=1/ lP=1/ ll（ ）AB杆的转角AB连线的转角AB杆和AC杆的相对转角 3-14 判断下列图乘结果正确与否。 S=y0（ ）y0 S=y0 （ ）y0 S=y0 （ ）y0 S=1y1+2y2 （ ）1y12y2y0 S=y0 （ ）y0 S=y0 （ ） -llPllPdxEIMMdxEIMM1111=llPlPdxEIMMdxEIMM11201=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()-llPdxMMMEI1211=lPdxMMEI011MPMPxqll1M1M1M2 例：试求等截面简支梁C截面的转角。ql/5 4l/52ql2/25ql2/8MP1

28、1/54/51=qllqll125853225252122-lqlEIC2183212=qEIql100333=M 1）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀、缩。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h2t0=（h1t2+h2t1）/ht=t2-t13）微段的变形 dsdat0dsk=d/ds =a（t2-t1）ds/hds = at/h=0 () -=DiicR dsMQN222kge(810)Dit=MNhttwawa0D=dsMhtdsNtaa0D=DitdshtMdstNaa0该公式仅适用于静定结构e=at0at1dsat2ds直观确定。取绝对值计算，正负号、升温

29、为正；拉为正，MttNwD0 86 温度改变而产生的位移计算例8-11求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa01010CP=1P=11aMN 10010520100=-=D=tt）（ aahthtNMc-=D=Daawawa523102-=haa315a静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0g=0。代入()-=DiicR dsMQN222kge(810)得到：-=DKKiccR仅用于静定结构abl/2l/2h1 10=AY1=BhX0=BY=1AhX()弧度hacR-=-=D0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0

30、=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX 87 支座移动而产生的位移计算应用条件:1)应力与应变成正比; 2)变形是微小的。 即:线性变形体系。P1P2F1F2N1 M1 Q1GAkQEIMEAN2022222=gkeGAkQEIMEAN1011111=gkeN2 M2 Q21、功的互等定理dsGAQkQEIMMEANN121212=D=FW1221 =dsGAQkQEIMMEANN212121D=PW2112功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即： W12= W21 88互等定理2、位移互等定理P1P2 （8-30） 位移互等定理：（P166） 在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数12 。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。21122112dd=jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。注意:1）这里荷载可以是