结构力学第五章

1、第 五 章结构位移计算与虚功5-1 5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 1、推导位移计算一般公式的基本思路、推导位移计算一般公式的基本思路 第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。 第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。 第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。 2、结构位移计算概述、结构位移计算概述 （1）、结构位移的种类）、结构位移的种类

2、 绝对位移绝对位移：线位移和角位移杆件结构中某一截面位置或方向的改变。 相对位移相对位移：相对线位移和相对角位移两个截面位移的差值或和。 广义位移广义位移：绝对位移和相对位移的统称。FPCDDABCCHCVCCDDVCD （2）、引起位移的原因）、引起位移的原因*荷载作用；*温度变化和材料涨缩；*支座沉陷和制造误差。（3）、位移计算的目的）、位移计算的目的 *检验结构的刚度：位移是否超过允许的位移限制。 * 为超静定结构计算打基础。 * 其它：如施工措施、建筑起拱、预应力等。（4）、体系（结构）的物理特性）、体系（结构）的物理特性 线性变形体系（线弹性体）：线性变形体系（线弹性体）： *应力、

3、应变满足虎克定律；应力、应变满足虎克定律； *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用 位置不变，位移计算可用叠加原理；位置不变，位移计算可用叠加原理； *体系几何不变，约束为理想约束。体系几何不变，约束为理想约束。 非线性体系：非线性体系： * 物理非线性；物理非线性； *几何非线性（大变形）。几何非线性（大变形）。 （5）、变形体位移计算方法及应满足的条件）、变形体位移计算方法及应满足的条件 方法：方法： 用虚功原理推导出位移计算公式。用虚功原理推导出位移计算公式。 计算时应满足的条件：计算时应满足的条件： *静力平衡；静力平衡； *变形协调条件；变形协调条

4、件； *物理条件。物理条件。3、虚功原理的一种应用形式、虚功原理的一种应用形式 虚力原理（虚力原理（ 虚设力系，求位移）虚设力系，求位移） （1）虚功的概念）虚功的概念功的两个要素功的两个要素力和位移力和位移 W= F FP P 功功= =力力相应位移相应位移FPFP相应位移相应位移 W=2FP(r) = M力与位移相互对应。力与位移相互对应。FPFPABAOBr虚功虚功 使力作功的位移不是由该力本身引起的，则： 作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。虚功 = 力 相应于力的位移独立无关FP1FP2M1FR1FR2FR3力状态力状态211c1c2c3位移状态位移状态（2）两种状态）两种状态 两

5、种状态两种状态 既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为两种独立的状态。 力状态；力状态； 位移状态位移状态。 外力虚功可表示为： W = FP11+FP22+ M11 + FR1c1+ FR2c1+ FR3c3 =FFP P F FP P：包括力状态中的所有力（力偶）及支座反力 ，称为广义力。 ：包括位移状态中的与广义力相应的广义位移。（3 3）、刚体体系虚功原理）、刚体体系虚功原理（虚位移原理、虚力原理）（虚位移原理、虚力原理） 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理为：理为：设体系上作用任意的平衡力系，又设体设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生

6、符合约束条件的无限小刚体体系位移，系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。 即：即： W = 0 理想约束理想约束约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束，约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束，如：光滑铰链、刚性链杆等。如：光滑铰链、刚性链杆等。 刚刚 体体 具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可能位移上所作的功恒为零。能位移上所作的功恒为零。 虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的用于讨论静力学

7、问题非常方便，是分析力学的基础。基础。 因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为虚设的。虚设的。 根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应用形式，解决两类不同的问题。用形式，解决两类不同的问题。 虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚体体系，也适用于变形体体系。体体系，也适用于变形体体系。（4）、虚设（拟）力状态）、虚设（拟）力状态 求位移求位移 例1： 图示简支梁，支座A向上移动一已知距离c1 ,现在拟求B点的竖

8、向线位移B。 解解：已给位移状态; 虚设力状态，在拟求位移B方向上加一单位荷载FP=1，形成平衡力系。c1BFP=1FR1= - b/a虚功方程：虚功方程：B B 1+c1FR1 =0 由平衡方程求出：由平衡方程求出： FR1 = - b/a B B=FPc1=b/a c1注：注： a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若设设FP=1，称为虚单位荷载法。，称为虚单位荷载法。 b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静力平衡求解几何问题。力平衡求解几何问题。 c c、方程求解的关键，在于拟求、方程求解的关键，在

9、于拟求方向虚设单位方向虚设单位荷载，利用力系平衡求出与荷载，利用力系平衡求出与c c1 1相应的相应的R1, ,即利用平衡即利用平衡方程求解几何问题。方程求解几何问题。 上述方法也可称为上述方法也可称为“单位荷载法单位荷载法” c1B BFP=1FR1= - b/a d、通过上例可推出静定结构支座移通过上例可推出静定结构支座移动时，位移计算的一般公式。动时，位移计算的一般公式。 注：因为静定结构在支座移动作用下，不注：因为静定结构在支座移动作用下，不产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。体体系的位移问题，可用刚体

10、虚功原理求解。4、支座移动时静定结构的位移计算、支座移动时静定结构的位移计算10 (6-3)RKKF c 当支座有给定位移ck时（可能不止一个）， （a）沿拟求位移方向虚设相应单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力FRK。 （b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程： (6-4)RKKFc（c）由虚功方程，解出所求位移： 例例: 图示三铰刚架，图示三铰刚架，支座支座B下沉下沉c1，向，向右移动右移动c2。求铰。求铰 C的竖向位移的竖向位移CV和和铰左右截面的相对铰左右截面的相对角位移角位移C。l/2l/2lc1 c2 CV Cl/2l/2lc1 c2 CV C实际状态实际状态FP=11/

11、21/21/41/4虚拟状态虚拟状态 CV =-FRKcK=- -1/2c1 1/4c2 =c1/2+ c2/4 ()l/2l/2lc1 c2 CV C实际状态实际状态C=-FRK cK=- -1/lc2= c2 /l ( )FP=11 /l1 /l5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体系生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体系的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。 推导位移计算一般公式有几种途径：推导位移计

12、算一般公式有几种途径： 1、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的一般公式。 2、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的位移公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公式。 一、局部变形时静定结构的位移计算举例一、局部变形时静定结构的位移计算举例 设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形，相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形，仍然是刚体。仍然是刚体。 因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时移计

13、算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。举例说明。刚体体系的位移计算问题。举例说明。 例例5-1：悬臂梁在截面：悬臂梁在截面B有相对转角有相对转角，求，求A点竖向点竖向位移位移AV（是由于制造误差或其他原因造成的）。是由于制造误差或其他原因造成的）。ABCa a A1ABCA1ABCM1 解 ：解 ： 、 在、 在 B 处 加 铰处 加 铰（将实际位移状态明确地表（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态）。示为刚体体系的位移状态）。 、A点加单位荷载点加单位荷载FP=1，在铰，在铰B处虚设一对弯处虚设一对弯矩矩M（为保持平衡）（为保持平衡）M=1a（4-5） 、

14、虚功方程： 1AV- M=0 AV = M= a() 例例5-2：悬臂梁在截面：悬臂梁在截面B有相对剪切位移有相对剪切位移，求，求A点点与杆轴成与杆轴成角的斜向位移分量角的斜向位移分量（ 是由于制造误差或是由于制造误差或其他原因造成的）。其他原因造成的）。ABCa a A1B1ABC 解：解：、在、在B截面处加截面处加机构如图（将实际位移状态机构如图（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位明确地表示为刚体体系的位移状态）。移状态）。A1B1 、A点加单位荷载点加单位荷载FP=1，在铰，在铰B处虚设一对剪处虚设一对剪力力FQ（为保持平衡）（为保持平衡）FQ= sinaABC1FQ 、虚功方程：

15、1- FQ =0 = FQ 二、局部变形时的位移公式二、局部变形时的位移公式基本思路：基本思路： 把局部变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位把局部变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位移计算问题。移计算问题。 如图所示，已知只有如图所示，已知只有B点附近的微段点附近的微段 ds 有局部变形，有局部变形，结构其他部分没有变形。求结构其他部分没有变形。求A点沿点沿方向的位移分量方向的位移分量d d局部变形有三部分：局部变形有三部分： 轴向伸长应变轴向伸长应变 平均剪切应变平均剪切应变 0 轴线曲率轴线曲率 （ = 1/R，R为杆件轴向为杆件轴向 变形后的曲率半径）变形后的曲率半径） 位移状态（实

16、际）位移状态（实际） 力状态（虚拟）力状态（虚拟）（1） 两端截面的三种相对位移两端截面的三种相对位移 相应内力相应内力相对轴向位移相对轴向位移 d= d s相对剪切位移相对剪切位移 d=0ds相对转角相对转角 d=d s /R= d s轴力轴力 FN剪力剪力 FQ弯矩弯矩 M 相对位移相对位移d、 d、 d是描述微段总变形的是描述微段总变形的三个基本参数。三个基本参数。基本思路：基本思路：dABCABCsdsA1dddds dBCddRFNFNFQFQMM1FNFQM （2） d s趋近于趋近于0，三种相对位移还存在。，三种相对位移还存在。相当于整个结构除相当于整个结构除B截面发生集中变形（

17、截面发生集中变形（d，d，d）外，其他部分都是刚体，没有任何变形。）外，其他部分都是刚体，没有任何变形。属刚体体系的位移问题。属刚体体系的位移问题。 （3） 应用刚体体系虚功原理，根据截面应用刚体体系虚功原理，根据截面B的相对位移可分别求出点的相对位移可分别求出点A的位移的位移d，局部变，局部变形位移公式：形位移公式：01()NQNQdM dFdFddMFFds （4-8）三、结构位移计算的一般公式三、结构位移计算的一般公式0()NQlldMFFds 0()NQlMFFds 由叠加原理：由叠加原理： 总位移=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小 位移d即：若结构有多个杆件，则：（4-9）单

18、位荷载虚功单位荷载虚功 = 所求位移所求位移 考虑支座有给定位移，则可得出结构位移考虑支座有给定位移，则可得出结构位移计算的一般公式：计算的一般公式：0()NQRKKMFFdsF c其中包含：其中包含：弯曲变形对位移的影响弯曲变形对位移的影响M ds（4-11）轴向变形对位移的影响轴向变形对位移的影响NFds（4-12）剪切变形对位移的影响剪切变形对位移的影响0QFds（4-13）支座移动对位移的影响支座移动对位移的影响（4-10）RKKF c（4-14） （3）、式（）、式（4-10）是普遍公式。（因为在推）是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质）可导中未涉及变形因素、

19、结构类型、材料性质）可考虑任何情况：考虑任何情况：、变形类型：弯曲、轴向、剪切变形。、变形类型：弯曲、轴向、剪切变形。、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。动等。、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。静定。、材料性质：弹性、非弹性。、材料性质：弹性、非弹性。（4）、变形体虚功原理：）、变形体虚功原理：将式（将式（4-10）改写为：）改写为：01()RKNQKF cMFFds（4-15）外力虚功外力虚功W = 内虚功内虚功Wi （4-16）可视为变形体虚功原理的一种表达形式。可视为变形体虚功原理的一种

20、表达形式。四、结构位移计算的一般步骤四、结构位移计算的一般步骤 已知结构杆件各微段的应变已知结构杆件各微段的应变、0（根据引（根据引起变形的原因而定），支座移动起变形的原因而定），支座移动ck。求结构某点沿某方向的位移求结构某点沿某方向的位移。1、沿欲求、沿欲求方向设方向设FP=1。 2、根据平衡条件求出、根据平衡条件求出FP=1作用下的作用下的M、FN、FQ、FR。3、根据公式（、根据公式（5-4）可求出）可求出。注意正负号：注意正负号： 、公式（4-10）中各乘积表示，力与变形方向一致，乘积为正，反之为负。 、求得为正，表明位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。五五 、广义位移计算、广义位

21、移计算广义位移：某截面沿某方向的线位移；某截面的角位移；某两个截面的相对位移；等。 在利用（5-4）求广义位移时，必须根据广义位移的性质虚设广义单位荷载。ABqABABMA =1MB=1 如：右图所示简支梁，求AB两截面的相对角位移。 求解过程： 可先求A和B，再叠加。也可直接求出AB= A+ B 广义位移和广义虚单位荷载示例广义位移和广义虚单位荷载示例广义位移广义虚单位荷载（外力）虚功BAABBAFP=1FP=11A+1B =A+B =ABABlABBAABABlAB1lAB11/lABA+ 1/lABB=(A+B)/ lAB=AB 广义位移和广义虚单位荷载示例广义位移和广义虚单位荷载示例广

22、义位移广义虚单位荷载（外力）虚功ABBACCliljiAiBjBjC1li1li1lj1lj1/liAi + 1/liBi +1/ljAj+ 1/ljAj= (Ai+Bi)/ li+ (Bj+Cj)/ lj=i+ j= ijCABLCRCCCAB1 11 CL+1 CR= CL + CR= C5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 1、荷载作用下的结构位移计算公式、荷载作用下的结构位移计算公式 根据公式根据公式（5-95-9） (6-9) KNQMdsFdsFds 本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微段应变段应变 、 、 0 是由荷载引起的（实

23、际位移状是由荷载引起的（实际位移状态），由荷载态），由荷载内力内力应力应力应变顺序求出。应变顺序求出。 由材料力学公式可知：由材料力学公式可知： 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切应变可表示为：应变可表示为： 弯曲应变：弯曲应变： = MP /EI 轴向应变：轴向应变： = FNP /EA (5-18) 剪切应变：剪切应变： 0= k FQP /GA 式中：式中： 、 FNP， FQP ， MP是荷载作用下，结构各截是荷载作用下，结构各截面上的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状面上的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的内力。态下的内力。 、E，G材料的弹性模量

24、和剪切弹性模量。材料的弹性模量和剪切弹性模量。 、A，I杆件截面的面积和惯性矩。杆件截面的面积和惯性矩。 、EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯刚度。弯刚度。 、k是与截面形状有关的系数（剪应力分布是与截面形状有关的系数（剪应力分布不均匀系数）不均匀系数） 计算公式计算公式 （5-8）dAbsIAkA222 将将（4-18）代入代入（4-9）可得荷载作用下平面可得荷载作用下平面杆件结构弹性位移计算的一般公式：杆件结构弹性位移计算的一般公式：dsEIMMdsGAFFkdsEAFFPQPQNPNKP（5-19）将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。将位移计

25、算问题转化为两种状态下的内力计算问题。正负号规定：正负号规定：FN 、 FNP 拉力为正；拉力为正；FQ 、 FQP 同材料力学同材料力学M、 MP使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。2、各类结构的位移计算公式、各类结构的位移计算公式 （1）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。 (6-20)PMMdsEI （2）、桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和）、桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。各杆轴力沿杆长一般为常数。 (6-21) NNNPNPF FF F ldsEAEA （3）、组合结构：一些杆件主要受弯，一些

26、杆件只有轴力。 (6-22) NNPPF F lMMdsEIEA（4）、拱： 扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时： (6-23) NNPPF FMMdsdsEIEA通常情况： (6-20) PMMdsEI 例例: 简支梁的位移计算。简支梁的位移计算。 求图示简支梁中点求图示简支梁中点C的竖向位移的竖向位移CV 和截面和截面B的转角的转角B。解：求C点的竖向位移。 虚拟状态如图；FP=11/2 实际状态 虚拟状态MP=q(lx-x2)/2M=x/2FQP=q(l-2x)/2FQ=1/2 因对称性，只计算一半。5-4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例 讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影

27、响：讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响：GAkqlEIqldxxlqGAkdxxlxqxEIlCV83845)2(22112)(22122422/0 设简支梁为矩形截面，设简支梁为矩形截面，k=1.2, I /A= h2 / 12, 横向变形系数横向变形系数 =1/3, E/G=2(1+ )=8/3。 / = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI) =9.6/l2kE/G I /A = 2.56(h/l)2当当 h/l =1/10时时, 则：则： / =2.56 对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。 但当梁但当梁h/l1/5时时, 则：

28、则： / =10.2 对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。求截面求截面B的转角的转角B 。 虚拟状态如图所示。虚拟状态如图所示。M=11/l实际状态实际状态 虚拟状态虚拟状态MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l)( 逆时针EIqldxxlxqlxEIlB24)(2)(1320 计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。 例例: 图示一屋架，屋图示一屋架，屋架的上弦杆和其他压架的上弦杆和其他压杆采用钢筋混凝土杆，杆采用钢筋混凝土杆，下弦杆和其他拉杆采下弦杆和其他拉杆采用钢杆。用钢杆。 试求顶点试求顶

29、点C的竖的竖向位移。向位移。解：解： （1）求）求FNP先将均布荷载先将均布荷载q化为结点荷载化为结点荷载FP=ql/4 。求结点荷载作用下的求结点荷载作用下的FNP 。0.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l1111/21/2FNP3.002.02.0- 4.74- 4.42- 0.951.504.500.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l10.50.5FN（2） 求5-5、图乘法、图乘法一、图乘法的适用条件一、图乘法的适用条件 计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分： dsEIMMP

30、符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为：简便。适用条件为：（1）、杆轴为直线；）、杆轴为直线；（2）、杆段）、杆段 EI = 常数；常数；（3）、）、M和和MP中至少有一个是直线图形。中至少有一个是直线图形。二、图乘公式二、图乘公式 图示为图示为AB杆的两个弯矩杆的两个弯矩图。图。 M为直线图形，为直线图形， MP 为任为任意图形。意图形。 该杆截面抗弯刚度该杆截面抗弯刚度EI=常数。常数。OOMP图图 M图图由由M图可知：图可知：M= y= x tandxdA=MPdxyxCxCyCAB1PPMMdsMM dxEIEI 1

31、tanPxM dxEI1tanxdAEICxdAA x= xC tana=yC=(M MP /EI)ds= 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式由此可见，当满足上述三个条件时，积分式的值的值就等于就等于MP图的面积图的面积A乘其形心所对应乘其形心所对应M图上的竖标图上的竖标yC，再除以，再除以EI。 正负号规定：正负号规定： A与与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。在基线的同一侧时为正，反之为负。A xC tana1EIAyC1EI三、应用图乘法计算位移时的几点注意三、应用图乘法计算位移时的几点注意 1、应用条件：、应用条件： 杆段必须是分段等截面；杆段必须是分段等截面；EI不能是不能是x

32、的函数；的函数；两图形中必有一个是直线图形，两图形中必有一个是直线图形，yC取自直线图取自直线图形中。形中。 2、正负号规定：、正负号规定： A与与yC同侧，乘积同侧，乘积 A yC取正；取正； A与与yC不同侧，不同侧，则乘积则乘积A yC取负。取负。 3、几种常用图形的面积和形心位置：、几种常用图形的面积和形心位置： 见书见书P.72。 曲线图形要注意图形顶点位置。曲线图形要注意图形顶点位置。 4、如果两个图形均为直线图形，则标距、如果两个图形均为直线图形，则标距yC可取自任何一个图形。可取自任何一个图形。 5、当、当yC所属图形是由所属图形是由几段直线组成的折线图形，几段直线组成的折线图

33、形，则图乘应分段进行。在折则图乘应分段进行。在折点处分段图乘，然后叠加。点处分段图乘，然后叠加。A1y1A2y2A3y3 当杆件为阶段变化杆当杆件为阶段变化杆件时（各段件时（各段EI=常数），应常数），应在突变处分段图乘，然后叠在突变处分段图乘，然后叠加。加。6、把复杂图形分为简单图形、把复杂图形分为简单图形 （使其易于计算面积和判断形心位置）（使其易于计算面积和判断形心位置） 取作面积的图形有时是不规则图形，面积取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠分解为简单图形（规则图形）

34、分别图乘后再叠加。加。 （1）、如两图形均为梯）、如两图形均为梯形，不必求梯形形心，可将形，不必求梯形形心，可将其分解为两个标准三角形进其分解为两个标准三角形进行计算。行计算。ABCDabMPlcdMC1yC1C2yC2ACDMPC1aADBbMPC2MP=MP+MP=(1/EI)MMPds =(1/EI) M(MP+MP)ds=(1/EI)(al/2)yC1+(bl/2) yC2=l6EI(2ac+2bd+ab+bc) (2)、左图也可分为两个、左图也可分为两个标准三角形，进行图乘运标准三角形，进行图乘运算。算。ABCDabMPcdMlC1yC1yC2C2C1abC2MPMP=(1/EI)(

35、al/2)yC1+(bl/2) yC2其中其中: yC1=2c/3 - d/3 yC2=2d/3 - c/3=l6EI(2ac+2bd-ab-bc)（3）、一般情况 右图所示为某一段杆(AB)的MP图。可将此图分解为三个图形，均为标准图形，然后与M图图乘，图乘后叠加。四、示例 例1、求悬臂梁中点C的挠度CV，EI=常数。解： （1）、设虚拟力状态如图，作M和MP。由于均为直线图形，故AP可任取。FPl/2l/2CVFPMPFP l1l/2MA5FP l/6M: A=1/2l/2l/2=l2/8MP: yC=5/6FP lCV=AyC /EI =(l2/85/6FP l)/EI =5FP l3/

36、48EI () (2)、讨论 若： AP=1/2FPll=Pl2/2 yC=1/3l/2=l/6CV=APyC /EI =(FPl2/2l/6)/EI =FP l3/12EI() 对否？错在哪里？FPl/2l/2CVFPMPFP lAP1l/2Ml/6FPl/2l/2CVFPAP1l/23、正确的作法、正确的作法AP1=1/2FP ll/2=FP l2/4 y1=l/3AP2=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y2=l/6AP3=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y3=0FP lCV=APyC/EI =(FP l2/4l/3+ FP l2/8 l/6+FP l2/8 0)/EI

37、 =5FP l3/48EI ()60kN12kN例例: 图示刚架，用图示刚架，用图乘法求图乘法求B端转角端转角B ; CB杆中点杆中点D的的竖向线位移竖向线位移DV。各杆各杆EI=常数。常数。EI=常数 解解: 1、作荷载作用下结构的弯矩图。、作荷载作用下结构的弯矩图。72kN72kN12kN2524590MP图 (kNm)2、作虚拟力状态下的图M。M=11M3、求B。图乘时注意图形分块。C1C2y1y2C3C4y3y42524590MP图 (kNm)14、作虚拟力状态下的图M。5、求CV，图乘时注意图形分块。3M (m)81C1C2C3C4C5y1y2y3y4y545/4例：例：q=16kN

38、/m64kNm64kNm16kNm16kNm 求铰求铰C左右截面相左右截面相对转角对转角C。 各杆各杆EI=5104 kNm2 。解：解： 作荷载作用下的弯矩作荷载作用下的弯矩图；虚拟力作用下的弯矩图；虚拟力作用下的弯矩图。图。 （注意：（注意：斜杆弯矩斜杆弯矩图的做法；图的做法；各弯矩图的各弯矩图的单位。）单位。）3232 C=2(1/2805)(2/35/8)+(1/2805)(2/35/8+1/31) -(2/3325)(1/25/8+1/21)/EI kNm m kN/m2 =0.005867 （弧度） 方向与虚拟力方向一致。5-6、静定结构温度变化时的位移计算、静定结构温度变化时的位

39、移计算 平面杆件结构位移计算的一般公式平面杆件结构位移计算的一般公式6)-(6 dsMdsFdsFQNK在此：在此：， 由温度作用引起。由温度作用引起。注意静定结构特征：注意静定结构特征： 组成：无多余约束的几何不变体系； 静力：温度作用下静定结构无反力、内力；杆件有变形，结构有位移。 温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变形和位移。形和位移。1、温度变化时静定结构的特点：、温度变化时静定结构的特点： （1）、有变形（热胀冷缩）、有变形（热胀冷缩） 均匀温度改变（轴向变形）；均匀温度改变（轴向变形）； 不均匀温度改变（弯曲、轴向变形）；不均匀温度改变（

40、弯曲、轴向变形）； 无剪切变形。无剪切变形。 （2）、无反力、内力。）、无反力、内力。2、微段由于温度改变产生的变形计算、微段由于温度改变产生的变形计算 设温度沿截面厚度直线变化。设温度沿截面厚度直线变化。 （1）轴向伸长（缩短）变形：）轴向伸长（缩短）变形： 设杆件上边缘温度升高设杆件上边缘温度升高t10，下，下边缘升高边缘升高t20。形心处轴线温度：。形心处轴线温度： t0 =(h1t2+h2t1)/h （截面不对称于形心）（截面不对称于形心） t0 =(t2+t1)/2 （截面对称于形心）（截面对称于形心） du = ds = t0 ds 材料线膨胀系数。材料线膨胀系数。ds形心轴形心轴

41、 +t1 +t2 t0 h h1 h2t1dst2dsdud (2)、由上下边缘温差产生的弯曲变形： 上下边缘温差 t = t2 t1 d= ds = (t2-t1)ds/h= t ds /h（3）温度作用不产生剪切变形 ds =03、温度作用时位移计算公式0 (6-28a) NtFt dsMdsh 0ds (6-28b) Ntt F dsMh 如t0，t和h沿每杆杆长为常数，则： 正负号：比较虚拟状态的变形与实际状态中由于温度变化引起的变形，若两者变形方向相同，则取正号，反之，则取负号。 刚架（梁）中由温度变化引起的轴向变形不可忽略。例： 图示刚架，施工时温度为200C，试求冬季当外侧温度为

42、-100C，内侧温度为00C时，点A的竖向位移AV，已知=10-5，h=40cm（矩形截面）。l=4ml=4mA00C-100C外侧温度改变：t1= - 10 20 = - 300内侧温度改变：t2 = 0 20 = - 200-300C-200Cl=4ml=4mA-300C-200CFP=1FNFN=0FN= -1FP=1lMt0=(t1+t2)/2=（ -3020）/2= - 250t= t2 - t1= - 20 -（- 30）=100AV= (-25) (-1) l+(-)10/h (1/2ll+ll) = - 0.5 cm ( )提问： （1）、若当结构某些杆件发生尺寸制造误差，要求

43、结构的位移，应如何处理？ 应根据位移计算的一般公式进行讨论。 特点：除有初应变（制造误差）的杆件外，其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件中找、即可。dsFdsFdsMQN （2）、静定结构由荷载、温度改变、支座移动、尺寸误差、材料涨缩等因素共同作用下，产生的位移应如何计算？ 可先分开计算，在进行叠加4-11 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理状态状态状态一、功的互等定理 贝蒂（ E. Betti 意 18231892）定理FP1FP1FR1FP2211212dsds 令状态上的力系在状态的位移上作虚功 (a) dsEIMMdsGAkFFdsEAFFWQQNN21212112 令状

44、态上的力系在状态的位移上作虚功 (b) dsEIMMdsGAkFFdsEAFFWQQNN12121221 比较（a）、（b）两式，知： W12=W 21 （6-66）FP112= FP221或写为：功的互等定理。 在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上作的虚功W12，等于第二状态上的外力在第一状态上作的虚功W21。 应用时注意： 广义力 广义位移对应对应 由：W12=FP112 ， W21=FP221 有：W12=W21， FP112=FP212 FP1122M2M212112功的互等定理应用条件：（1）材料弹性，应力与应变成正比。 （2）小变形，不影响力的作用。即 为线性弹性体系。思考： 功的互等定理必须应用于线性弹性体系，为什么？ 功的互等定理应用条件与虚功原理有何不同？ 二、位移互等定理 （位移影响系数互等） 位移互等定理（Maxwell定理） 功的互等定理的一个特殊情况。 位移互等定理： 在任一线性弹性体系中，由荷载FP1所引起的与荷载FP2相应的位移影响