结构力学——影响线

1、学习内容学习内容影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，影响量的计算和最不利荷载位置的确定，连续梁影响线形状影响量的计算和最不利荷载位置的确定，连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。的确定和最不利活荷载位置的确定。 学习目的和要求学习目的和要求 目的目的：影响线是研究移动荷载在结构上移动时结构某固定：影响线是研究移动荷载在结构上移动时结构某固定位置的反应（包括力的反应和位移反应）的工具，位置的反应（包括力的反应和位移反应）的工具，是桥梁结构设计的必备知识。是桥梁结构设计的必备知识。 要求要求：掌握影响线的概念和绘制影响线的基本方

2、法。：掌握影响线的概念和绘制影响线的基本方法。 熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。 掌握影响量的计算和最不利荷载位置的确定。掌握影响量的计算和最不利荷载位置的确定。 掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。的确定。第八章第八章 影响线影响线第一节第一节 影响线的概念影响线的概念 工程中有些结构在承受位置不变的固定荷载的同时还工程中有些结构在承受位置不变的固定荷载的同时还承受大小、方向不变但位置在改变的活荷载作用；承受大小、方向不变但位置在改变的活荷载作用；结构在活荷载作用下位移和内力等

3、物理量将随荷载位结构在活荷载作用下位移和内力等物理量将随荷载位置的变化和荷载分布区域的不同而变化；置的变化和荷载分布区域的不同而变化；这些量的变化范围和最大值是结构设计的依据。这些量的变化范围和最大值是结构设计的依据。第一节第一节 影响线的概念影响线的概念 1 1、移动荷载作用下内力计算特点：移动荷载作用下内力计算特点：结构反力和内力随荷载结构反力和内力随荷载作用位置的移动而变化，为此需要研究反力和内力的变化作用位置的移动而变化，为此需要研究反力和内力的变化规律及最大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的最不规律及最大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的最不利位置）。利位置）。 2 2、研究方法

4、：研究方法：利用分解和叠加的方法，将多个移动荷载视利用分解和叠加的方法，将多个移动荷载视为单位移动荷载的组合。先研究单位移动荷载作用下的反为单位移动荷载的组合。先研究单位移动荷载作用下的反力和内力变化规律，再根据叠加原理解决多个移动荷载作力和内力变化规律，再根据叠加原理解决多个移动荷载作用下的反力和内力计算问题，以及最不利荷载的位置问题。用下的反力和内力计算问题，以及最不利荷载的位置问题。 第一节第一节 影响线的概念影响线的概念 3 3、影响线的定义：影响线的定义：当单位移动荷载当单位移动荷载FP=1=1在结构上移动时，在结构上移动时，用来表示某一量值用来表示某一量值 Z 变化规律的图形，称为

5、该量值变化规律的图形，称为该量值 Z 的的影响线。影响线。 绘制影响线通常有两者方法：绘制影响线通常有两者方法： 静力法静力法 机动法机动法第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线用静力法作影响线是指用静力计算的方法列出指定量值的用静力法作影响线是指用静力计算的方法列出指定量值的影响线方程，再据此绘出影响线。影响线方程，再据此绘出影响线。1 1、正负号规定、正负号规定：FP=1lxABCab支反力以向上为正；支反力以向上为正；剪力以沿截面产生顺时针转动方向为正剪力以沿截面产生顺时针转动方向为正弯矩以梁的下侧纤维受拉为正；弯矩以梁的下侧纤维受拉为正；第二节第二节 静力法作静定梁

6、的影响线静力法作静定梁的影响线FP=1xABFAyFBylxFAy 1lxFBy I.L.FAyI.L.FBy1 1 建立支反力影响方程建立支反力影响方程2 2、静力法求简支梁的影响线、静力法求简支梁的影响线 第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线I.L.MClab FAyFByFQCFQCMCMCbFP=1ABax方法：方法：分别取两侧隔分别取两侧隔离体列平衡方程，确离体列平衡方程，确定影响函数，按函数定影响函数，按函数做内力影响线。做内力影响线。ab axaFMaxbFMAyCByC建立内力影响方程建立内力影响方程第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响

7、线I.L.FQCFAyFByFQCFQCMCMCbFP=1ABax lbla11反力影响线是基本的。反力影响线是基本的。弯矩、剪力影响线可由弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出。反力影响线导出。 axFFaxFFAyCByC QQ建立内力影响方程建立内力影响方程第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线正确的影响线应该具有正确的影响线应该具有“正确的外形、必要的控制正确的外形、必要的控制点纵坐标值和正负号点纵坐标值和正负号”等基本特征。等基本特征。Z Z 第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线 作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作作伸臂梁的反力及跨间截

8、面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁的对应量值的影响线，然后向伸臂上延出无伸臂简支梁的对应量值的影响线，然后向伸臂上延伸即得。伸即得。 伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在截面以内部分上影响线竖标为零。有非零值，而在截面以内部分上影响线竖标为零。3 3、静力法求伸臂梁的影响线、静力法求伸臂梁的影响线 lABCabDEcc以以 A 点为坐标原点，向右为坐标轴正向，建立影响线方点为坐标原点，向右为坐标轴正向，建立影响线方程，指出方程适用范围，绘制影响线图形。程，指出方程适用范围，绘制影响线图形。第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静

9、力法作静定梁的影响线ABCDE 1I.L.FAy) ( 1在全梁适用xlxFAy 1I.L.FBy) ( 在全梁适用xlxFBy 第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线 axaFMaxbFMAyCByC axFFaxFFAyCByC QQlabI.L.MC I.L.FQC lblaABCDE第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线影响线座标的意义影响线座标的意义：横座标表示单位荷载的位置；纵座标横座标表示单位荷载的位置；纵座标表示单位荷载作用在本位置时物理量的反应。表示单位荷载作用在本位置时物理量的反应。图形相似，含义不同图形相似，含义不同简支梁弯矩影响线

10、与弯矩图的区别简支梁弯矩影响线与弯矩图的区别FP=1FP=1 labI.L.MClab MC弯矩图弯矩图abCabC第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线 力力长长 固定荷载固定荷载作用下截作用下截面弯矩值面弯矩值截面位置截面位置变变不变不变弯矩图弯矩图 长长 荷载移到荷载移到此位置时此位置时指定截面指定截面的弯矩影的弯矩影响量值响量值荷载位置荷载位置不变不变变变影响线影响线量纲量纲纵座标纵座标横座标横座标截面截面位置位置荷载荷载位置位置简支梁弯矩影响线与弯矩图的区别简支梁弯矩影响线与弯矩图的区别第二节第二节 静力法作单跨静定梁的影响线静力法作单跨静定梁的影响线作多跨梁定梁

11、的影响线，关键在于分清基本部分和附作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。属部分。 基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应单跨静定梁的影响线相的附属梁，在基本梁上与相应单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。点处影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。 附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的影响线相同。值，且与相应单跨静定

12、梁的影响线相同。4 4、静力法求多跨静定梁的影响线、静力法求多跨静定梁的影响线 第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线例题：例题：作图示多跨静定梁的作图示多跨静定梁的 MK，MC，QB左左，MD 影响线。影响线。2m2m2m2m4m2mCFABDEGK1m+1m1m1m+I.L.MKI.L.QB左1/21/21/2+11/2第二节第二节 静力法作静定梁的影响线静力法作静定梁的影响线2m2m2m+2m2m+2m2m2m2m4m2mCFABDEGKI.L.MCI.L.MD第三节第三节 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁

13、的影响线机动法绘制影响线机动法绘制影响线 用机动法作静定结构内力（反力）影响用机动法作静定结构内力（反力）影响线，是基于虚功原理，建立待求影响量与待求量对应的减约线，是基于虚功原理，建立待求影响量与待求量对应的减约束体系单位虚位移状态间的关系。把做影响线的静力学问题束体系单位虚位移状态间的关系。把做影响线的静力学问题转化为做位移图的一种方法。用机动法可迅速的勾画出影响转化为做位移图的一种方法。用机动法可迅速的勾画出影响线的形状，对有些结构比静力法要方便得多。线的形状，对有些结构比静力法要方便得多。刚体虚功原理刚体虚功原理：刚体体系在一个力系作用下处于平衡的充刚体体系在一个力系作用下处于平衡的充

14、要条件是体系任何微小的允许虚位移中，力系所作的虚功要条件是体系任何微小的允许虚位移中，力系所作的虚功总和为零。总和为零。第三节第三节 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响线(1) 绘制简支梁反力影响线绘制简支梁反力影响线FP=1利用虚功原理求某力时，解除该力对应的约束，令解除利用虚功原理求某力时，解除该力对应的约束，令解除约束后的体系沿力方向产生虚位移，利用平衡的力状态约束后的体系沿力方向产生虚位移，利用平衡的力状态在位移协调的虚位移状态上所作虚功总和等于零来确定在位移协调的虚位移状态上所作虚功总和等于零来确定影响线形状。影响线形状。1 1、机动法求简支梁的影响线、机动法求简支梁的影响线

15、 第三节第三节 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响线B P FP=101 P BByF)1(1PPBBByF FBy 与与 P 的变化规律一的变化规律一致，故可用其位移图比致，故可用其位移图比拟影响线。当拟影响线。当 B1 1时，时，位移图与影响线形状完位移图与影响线形状完全一样。全一样。 1 FByFP=1由刚体虚功方程由刚体虚功方程I.L.FBy第三节第三节 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响线机动法做静定梁内力（反力）影响线步骤机动法做静定梁内力（反力）影响线步骤： 所作虚位移图要满足支承连接条件！如有竖向支所作虚位移图要满足支承连接条件！如有竖向支撑处，不应有竖向位移。

16、定向连接处左右杆段位移后撑处，不应有竖向位移。定向连接处左右杆段位移后要互相平行等。要互相平行等。 去除与所求量值相应的约束，并代以正向的约束力。去除与所求量值相应的约束，并代以正向的约束力。 使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位移，由使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位移，由此得到的此得到的FP =1 =1 作用点的位移图即为该量值的影响线。作用点的位移图即为该量值的影响线。 基线以上的竖标取正号，以下取负号。基线以上的竖标取正号，以下取负号。第三节第三节 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响线(2) 简支梁弯矩影响线：变铰，沿力偶方向微小转动简支梁弯矩影响线：变铰，沿力偶

17、方向微小转动1 C MCMC I.L.MClabP FP=1ABCab第三节第三节 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响线(3) 简支梁剪力影响线：变错动机构（剪力铰）简支梁剪力影响线：变错动机构（剪力铰）FP=1ABCFQCFQCP 1 C I.L.FQClalbab第三节第三节 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响线b/la/lI.L.QCP=1CQCP=1xablCP=1CP=1xablC1bab/lI.L.MC1第三节第三节 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响线多跨静定梁含基本部分和附属部分，用机动法比较方便。多跨静定梁含基本部分和附属部分，用机动法比较方便。1 1

18、 1 I.L.FByI.L.MKI.L.FQJFP=1ABCDEFKJ多跨静定梁多跨静定梁的影响线与的影响线与某物理量虚某物理量虚位移图关系？位移图关系？1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/49/49/29/4作I.L.MK例题：例题：用机动法作图示多跨静定梁的影响线。用机动法作图示多跨静定梁的影响线。第三节第三节 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响线特点特点：在撤去约束后，若在基本部分形成机构，则除在基本在撤去约束后，若在基本部分形成机构，则除在基本部分发生虚位移外，还影响到附属部分；若在附属部部分发生虚位移外，还影响到附属部分；若在附属部分形成机构，则

19、虚位移图仅涉及到附属部分。分形成机构，则虚位移图仅涉及到附属部分。规律：规律：先从欲求影响量值截面所在跨画起，然后利用位移协先从欲求影响量值截面所在跨画起，然后利用位移协调关系，将影响线延伸到其它部分。基本部分的内力调关系，将影响线延伸到其它部分。基本部分的内力（或反力）影响线是布满全梁的，而附属部分的内力（或反力）影响线是布满全梁的，而附属部分的内力（或反力）影响线只在附属部分不为零（基本部分全（或反力）影响线只在附属部分不为零（基本部分全为零）。为零）。机动法绘制影响线的优点：机动法绘制影响线的优点：不经具体的静力计算即可迅速不经具体的静力计算即可迅速确定影响线的形状、正负号和控制纵标，特

20、别是影响线中各直确定影响线的形状、正负号和控制纵标，特别是影响线中各直线段落与撤去约束后的体系内各刚体的分界相对应，这为结构线段落与撤去约束后的体系内各刚体的分界相对应，这为结构设计工作提供了方便，也可为静力法所做的影响线进行校核。设计工作提供了方便，也可为静力法所做的影响线进行校核。第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 DCdKFP=1第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 DCdKFP=1FCyFDyFP=1xFCyFDydxFCy 1dxFDy DCydxydx )1(DDyCCykyFyFM 建立建立CD节间中主梁节间中主梁 K 截面的弯矩影响方程截面的弯矩影

21、响方程设设 yC，yD为直接为直接荷载作用时影响荷载作用时影响线在线在C、D两点的两点的纵座标值。由叠纵座标值。由叠加原理，加原理，K点弯点弯矩为矩为：可见可见CD间主梁影响线为直线型间主梁影响线为直线型第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 d 8 5d 4 3d1615横梁纵梁主梁AB CE FRARB l=4dd/2 d/2DP=1 P=1 P=1 P=1 结点荷载下影响线特点结点荷载下影响线特点 1、在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。 2、相邻结点之间影响线为一直线。 结点荷载下影响线作法结点荷载下影响线作法 1、以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。 2、

22、以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。MD.I.LI.L.QCE1/21/443dI.L.MC第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 KFP=1ABCD绘制移动荷载作用下支座绘制移动荷载作用下支座A的反力影响线以及截面的反力影响线以及截面K 的的弯矩和剪力影响线。弯矩和剪力影响线。由刚才的分析可见，结点传力情形的主梁影响线是每节间由刚才的分析可见，结点传力情形的主梁影响线是每节间为直线。则绘制思路可考虑首先确定各结点的影响线数值，为直线。则绘制思路可考虑首先确定各结点的影响线数值，按比例画上竖标，然后每节间以竖标顶点连直线，所得图按比例画上竖标，然后每节间以

23、竖标顶点连直线，所得图形即主梁影响线。形即主梁影响线。第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 建立建立CD节间中主梁节间中主梁 K 截面的弯矩影响方程截面的弯矩影响方程1 2.390.6820.318 KFP=1ABCDI.L.FAyI.L.MKI.L.FQK第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 I.L.MA2m1m3mI.L.RD111/2I.L .QD右ABCDEFG3m3m2m2m2m4m3m6=18m1m1m11/21/31/2P=1x第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 桁架承受的荷载是经过横梁传递到结点上的结点荷载，因此影桁架承受的荷载是经过

24、横梁传递到结点上的结点荷载，因此影响线的绘制方法与上节相似。只需求出影响线在各结点处的竖响线的绘制方法与上节相似。只需求出影响线在各结点处的竖标，相邻竖标间连以直线即可。标，相邻竖标间连以直线即可。l=6dACBDEFGhP=1上弦承载上弦承载下弦承载下弦承载第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 作图示桁架指定作图示桁架指定杆的内力影响线杆的内力影响线解：求解：求N1需取截需取截面面-，建立力矩，建立力矩方程方程Me=0先作出简支梁的先作出简支梁的Me影响线如图影响线如图(a)，再，再将其竖标除以桁架将其竖标除以桁架高度高度 a 即得即得N1影响影响线如图线如图(b) 。下承下承

25、上承上承P=1l=6aACBDEFacdefba12345P=1I.L.Me4a/3+(a)I.L.N1+4/3(b)第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 l=6aACBDEFacdefba12345求求N2需取截面需取截面-， 建立投影建立投影方程方程Y=0先作出简支梁的先作出简支梁的在被截节间上的在被截节间上的某一截面剪力影某一截面剪力影响线如图响线如图(a)所示所示QE右右影响线，而影响线，而 Y2=QE右右，且在相，且在相邻节点之间为一邻节点之间为一直线，得直线，得N2影响影响线如图线如图(b) 。P=1I.L.QE右+1/62/31/3(a)下承下承上承上承I.L.N2

26、+6/23/22(b)P=1当桁架上下弦节点上当桁架上下弦节点上下对齐时，绘制弦杆下对齐时，绘制弦杆及斜杆内力影响线不及斜杆内力影响线不需分上承和下承。需分上承和下承。第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 求求N3需取截面需取截面-， 建立投建立投影方程影方程Y=0先作出简支梁的先作出简支梁的在被截节间上的在被截节间上的某一截面剪力影某一截面剪力影响线如图响线如图(a)所示所示QE右右影响线，影响线，而而 :N3=QE右右，且在相邻节点之且在相邻节点之间为一直线，得间为一直线，得N3影响线如图影响线如图(b) 。P=1I.L.QE右+1/62/31/3(a)上承上承I.L.N2+

27、6/13/2(b)P=1下承下承l=6aACBDEFacdefba12345第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 求求N4需取截面需取截面-， 建立投建立投影方程影方程Y=0先作出简支梁的先作出简支梁的在被截节间上的在被截节间上的某一截面剪力影某一截面剪力影响线如图响线如图(a)所示所示QC右右影响线，影响线，而而 :Y4=QC右右，且在相邻节点之且在相邻节点之间为一直线，得间为一直线，得N4影响线如图影响线如图(b) 。P=1I.L.QC右+1/22/31/3(a)上承上承+3/22/2I.L.N2(b)P=1下承下承6/2l=6aACBDEFacdefba12345第四节第四

28、节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 求求N5需取截需取截面面-， 建建立矩方程立矩方程MC=0先作出简支梁先作出简支梁MC影响线如图影响线如图(a)所示，再将所示，再将其竖标除以桁其竖标除以桁架高度架高度 a 即得即得N5影响线如图影响线如图(b) 。P=1P=1I.L.N2(b)+上承上承下承下承4/3I.L.MC4a/3(a)+l=6aACBDEFacdefba12345第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 绘制竖杆内力影响线，当桁架上下弦节点上下绘制竖杆内力影响线，当桁架上下弦节点上下不对齐时不对齐时，绘制各杆内力影响线，绘制各杆内力影响线，需区分需区分上承上承和下承

29、。和下承。绘制竖杆内力影响线，当桁架上下弦节点上下绘制竖杆内力影响线，当桁架上下弦节点上下对齐时对齐时，绘制弦杆及斜杆内力影响线，绘制弦杆及斜杆内力影响线不需分不需分上上承和下承。承和下承。第四节第四节 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 结点荷载作用下梁的影响线要点结点荷载作用下梁的影响线要点 对于具有纵横梁的结构系统，不论纵梁受何种荷载，主梁只在结点处受对于具有纵横梁的结构系统，不论纵梁受何种荷载，主梁只在结点处受集中力（结点荷载）作用。作用在纵梁上的荷载、传给主梁的结点荷载都集中力（结点荷载）作用。作用在纵梁上的荷载、传给主梁的结点荷载都是荷载作用位置是荷载作用位置 x 的线性函数的线

30、性函数, , 而在线性变形体中，主梁的反力、内力与而在线性变形体中，主梁的反力、内力与这些结点荷载成正比关系，所以在结点荷载作用下，不论主梁是静定或超这些结点荷载成正比关系，所以在结点荷载作用下，不论主梁是静定或超静定，其反力、内力影响线均是折线图形。静定，其反力、内力影响线均是折线图形。结点荷载作用下影响线特点结点荷载作用下影响线特点 在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。 相邻结点之间影响线为一直线。相邻结点之间影响线为一直线。结点荷载作用下影响线作法：结点荷载作用下影响线作法： 以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。以虚线画出直接

31、荷载作用下有关量值的影响线。 将结点投影到上述影响线上，得到结点处的影响线竖标。将结点投影到上述影响线上，得到结点处的影响线竖标。 以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。第五节第五节 影响线应用影响线应用 利用影响线求固定荷载作用下的某利用影响线求固定荷载作用下的某量值大小；量值大小； （是为后续应用所做的准备）（是为后续应用所做的准备） 确定移动荷载的最不利位置，为设确定移动荷载的最不利位置，为设计提供安全限度依据。计提供安全限度依据。 （这是工程上所关系的问题）（这是工程上所关系的问题）第五节第五节 影响

32、线应用影响线应用 注意注意：这里这里yi 和和 按定义按定义是代数量；是代数量；叠加原理的使用是叠加原理的使用是在线弹性、小变形在线弹性、小变形假设条件下。假设条件下。由叠加原理由叠加原理 mjjjniiiqyFS11P 1y2y3y FP2FP1qFP3ABCKK 截面剪截面剪力影响线力影响线第五节第五节 影响线应用影响线应用 由叠加原理由叠加原理 2y1yABCKK 截面弯截面弯矩影响线矩影响线MM/bM/bb力偶实际上是等值平行不共线的一对力。力偶实际上是等值平行不共线的一对力。集中力偶引起的集中力偶引起的Z 值等于力偶矩乘值等于力偶矩乘以力偶所在段的以力偶所在段的影响线的倾角正影响线的

33、倾角正切。上升段影响切。上升段影响线倾角取正。线倾角取正。M 顺时针为正。顺时针为正。Z = m/by2m/by1 =m(y2y1)/b =m tg例：利用影响线求例：利用影响线求k截面弯矩、剪力。截面弯矩、剪力。)24221421(4/)4/(2 llllqlqllqlMk021212 qqlqlQk左左kl/2qqlql2l/2l/2l/2解：解：Qk影响线影响线1/21/21/21/2Mk影响线影响线l/4l/4l/44/2ql 2/3ql 0)21(212 qqlqlQk右右2/ql 第五节第五节 影响线应用影响线应用 结构上作用的定位荷载是一种时有时无，可以任结构上作用的定位荷载是一

34、种时有时无，可以任意分布的荷载（如雪荷载、人群或货物荷载等）。意分布的荷载（如雪荷载、人群或货物荷载等）。对应不同的荷载分布有不同的内力分布，使指定对应不同的荷载分布有不同的内力分布，使指定量达到最大（或最小）的荷载分布称为该物理量量达到最大（或最小）的荷载分布称为该物理量的最不利分布。的最不利分布。利用影响线可方便地确定最不利荷载分布利用影响线可方便地确定最不利荷载分布第五节第五节 影响线应用影响线应用 恒荷载满跨分布且不变，而活荷载不常在且不同恒荷载满跨分布且不变，而活荷载不常在且不同时布满各跨。设计时为保证结构在各种荷载作用时布满各跨。设计时为保证结构在各种荷载作用下都能安全使用，必须求

35、得各截面在各种可能荷下都能安全使用，必须求得各截面在各种可能荷载作用下的最大弯矩值。载作用下的最大弯矩值。应先知道活荷载的最不利布置应先知道活荷载的最不利布置梁受两部分荷载作用：恒荷载梁受两部分荷载作用：恒荷载 + + 活荷载活荷载iiqM 在结构设计中，我们需要求出某量值的最大值作为设计在结构设计中，我们需要求出某量值的最大值作为设计的依据，而要解决这个问题须先确定使其发生最大值的的依据，而要解决这个问题须先确定使其发生最大值的最不利位置。最不利位置。1 单个集中荷载单个集中荷载 S = FP y ，当，当 y ymax 时时荷载所处的位置即最不荷载所处的位置即最不利荷载位置。利荷载位置。F

36、P labI.L.Sy显然当荷载处于影响线显然当荷载处于影响线顶点时是顶点时是MC最大的最不最大的最不利位置。利位置。第五节第五节 影响线应用影响线应用 3 一组行列荷载一组行列荷载(间距不变的行进荷载间距不变的行进荷载) 2y1y直观判断：直观判断：要使要使 S 达最大，应把较达最大，应把较大的荷载放在影响线顶大的荷载放在影响线顶点，而把另一荷载放在点，而把另一荷载放在斜率较小的直线上斜率较小的直线上。2 均布荷载均布荷载 S = q labI.L.MC CqCFP1FP2r当当 max时荷载所处的时荷载所处的位置即最不利荷载位置。位置即最不利荷载位置。FP1FP2这个位置怎么找？第五节第五

37、节 影响线应用影响线应用 分析分析：实际工程问题并非如此简单，当荷载较多时，直观不实际工程问题并非如此简单，当荷载较多时，直观不宜判断荷载最不利位置，可采用以下思路解决：宜判断荷载最不利位置，可采用以下思路解决：1 1 先找出使先找出使S 达到极值的荷载位置达到极值的荷载位置( (临界临界荷载位置荷载位置) )，求出相应，求出相应S 值；值；2 2 在所有产生极值位置的量值中比较出最在所有产生极值位置的量值中比较出最大的一项大的一项( (或负的最大或负的最大) )，这个位置就，这个位置就是是最不利荷载位置最不利荷载位置。第五节第五节 影响线应用影响线应用 第五节第五节 影响线应用影响线应用 2

38、m12mKP1=PP2=2P4m5/34/312/3I.L.MK(m)P1=PP2=2PMKx10P/38P/3MK=P1y1+P2y2=P15/3+P21=11P/311P/32P/3xMK的综合量值的综合量值P1=PP2=2PP1=PP2=2PP1=PP2=2P 当行列荷载移动时当行列荷载移动时, ,MK 按折线规律变化。按折线规律变化。第五节第五节 影响线应用影响线应用 2) 2) MK 的极值表现为尖点值。其特点是：的极值表现为尖点值。其特点是： 有一集中力有一集中力Pcr位于影响线顶点上位于影响线顶点上满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫临界荷

39、载临界荷载，与此对应的行列荷载位置，称为与此对应的行列荷载位置，称为临界位置临界位置。3 3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个荷载）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个荷载都是临界荷载。都是临界荷载。b) b) 将行列荷载自此向左或向右稍移一点将行列荷载自此向左或向右稍移一点, , MK的值均减少。的值均减少。 niiiyFSP1 2 m 1PFnFP2PFiFP 已知某物理量值影响线，考察用影响线求解某物理已知某物理量值影响线，考察用影响线求解某物理量值的表达式：量值的表达式：I.L.SS 若为极大值，则荷载组若为极大值，则荷载组左右移动时左右移动时S 都将变小。都将变小

40、。第五节第五节 影响线应用影响线应用 )(iiiryyFSP ikiiirFxyFSSS tanPP由极值条件知：荷载组无论向由极值条件知：荷载组无论向左或向右移动均有左或向右移动均有 S 0所以当荷载组右移，即所以当荷载组右移，即 x 0 时时0P ikiF tan当荷载组左移，即当荷载组左移，即 x 0 时时0P ikiF tan x 0P1=P2=P3=P4=P5=90kN8m4m6m1.00.75132Z影响线影响线P2P3P4P1P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m荷载稍向右移荷载稍向右移: R1=270kN , R2=90237.81=217.8kN , R

41、3=37.86=226.8kNRitgi=2701/8+217.8(0.25/4)+226.8(0.75/6)=8.2 0荷载稍向左移荷载稍向左移: R1=360kN , R2=9037.81=127.8kN , R3=37.86=226.8kN（q活载）0.90685 . 68585 . 30.8161/87第五节第五节 影响线应用影响线应用 P1=P2=P3=P4=P5=90kN8m4m6m1.00.75132Z影响线影响线P2P3P4P1P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m荷载稍向右移荷载稍向右移: Ritgi=8.20荷载稍向左移荷载稍向左移: Ritgi=+8

42、.7 0所以所以P4是个临界荷载。是个临界荷载。（q活载）0.90685 . 68585 . 30.81185 . 68585 . 390Z906. 0900.81 0.750.75 637.81455kN42 此式表明此式表明: : 临界荷载位于临界荷载位于那一侧，那一侧的等效均那一侧，那一侧的等效均布荷载集度就大。布荷载集度就大。最不利荷载分析步骤：最不利荷载分析步骤：1 1、由临界荷载判别式确定哪些荷载是临界荷载；、由临界荷载判别式确定哪些荷载是临界荷载；2 2、计算荷载位于各临界位置时的量值；、计算荷载位于各临界位置时的量值；3 3、比较得到的量值，取得最大值；、比较得到的量值，取得最

43、大值；4 4、最大值发生时的临界位置即是最不利荷载位置。、最大值发生时的临界位置即是最不利荷载位置。bFFaFRKLRRR 由此可得：由此可得：bFaFFRLKRRR 第五节第五节 影响线应用影响线应用 第五节第五节 影响线应用影响线应用 15m25mC70kN13050100501004m5m4m15m4m252001513070157025200130MC=706.88+1309.38+507.50+1006.00+500.382694kN.m9.386.887.506.000.38MC影响线(m)例例. . 求求C 截面的最大弯矩。截面的最大弯矩。130kN是临界荷载第五节第五节 影响线

44、应用影响线应用 15m25mCMC影响线(m)2530015200252501525070kN13050100501004m5m4m15m4m50kN不是临界荷载第五节第五节 影响线应用影响线应用 100kN5013070100504m5m4m15m4m252201301515015150 25220130 15m25mCMC影响线(m)9.386.257.880.753.752.25MC=1003.75+506.25+1309.38+707.88+1002.25 +50 0.752720kN.mMCmax=max(2694,2720)=2720kN.m130kN是临界荷载例题：例题：求图示简

45、支梁求图示简支梁C 截面弯矩的最不利荷载位置截面弯矩的最不利荷载位置FP4=3kNm4m4m5mMC影响线影响线6mC10mFP3=7kNmFP2=2kNmFP1=4.5kNmAB 3.75第五节第五节 影响线应用影响线应用 001000816542RPR.bF.aFFRkL FP1是临界力是临界力4501054033062RPR.bFF.aFRkL kN.m375192517532P1P1.F.FMC 3.751.25FP4FP3FP2FP1第五节第五节 影响线应用影响线应用 4501054501627RPR.bF.aFFRkL FP2不是临界力不是临界力6501054217167RPR.b

46、FF.aFRkL FP4FP3FP2FP13.75第五节第五节 影响线应用影响线应用 FP4FP3FP2FP1FP3是临界力是临界力FP4不是临界力不是临界力mkN47352517538813804P3P2P1P3 .F.F.F.F.MC0.381.883.751.25 FP4FP3FP2FP1第五节第五节 影响线应用影响线应用 mkN4735)max(31max .M,MMCCC实际计算时，一般并不需验证所有荷载是否为临界荷载，实际计算时，一般并不需验证所有荷载是否为临界荷载，可按经验给予判断可按经验给予判断.最小值的临界荷载准则是什么？最小值的临界荷载准则是什么？若荷载是可以掉头行驶的车辆

47、，此时应如若荷载是可以掉头行驶的车辆，此时应如何处理？何处理？第五节第五节 影响线应用影响线应用 例题：例题：求图示简支梁求图示简支梁C 截面剪力的最大值和最小值。荷载截面剪力的最大值和最小值。荷载运行方向不变。运行方向不变。C6m2mAB3/4FQC影响线影响线1/4 本题特点是量值本题特点是量值 S 的影响线为直角三角形，竖标有突变。的影响线为直角三角形，竖标有突变。10kN1m20kN第五节第五节 影响线应用影响线应用 FQC影响线影响线3/41/4 kN2065432043101max CFkN)(min1065432041101 CF10kN1m20kN第五节第五节 影响线应用影响线

48、应用 kN7513)81(1043202max.FC kN256)41(20)81(102min.FC kN20)751320max(max .,FCkN256)25610min(min.,FC 10kN1m20kN第五节第五节 影响线应用影响线应用 FQC影响线影响线3/41/4 绝对最大弯矩绝对最大弯矩: :在给定移动荷载作用下，所有截面最大弯矩在给定移动荷载作用下，所有截面最大弯矩中的最大者。中的最大者。对于等截面简支梁来说，这是最危险的截面，是梁截面尺对于等截面简支梁来说，这是最危险的截面，是梁截面尺寸选取和配筋方式的依据。寸选取和配筋方式的依据。（1 1）绝对最大弯矩发生在哪个）绝对

49、最大弯矩发生在哪个截面截面？（2 2）此时临界荷载应处于什么）此时临界荷载应处于什么位置位置？我们关心并要解决两个问题：我们关心并要解决两个问题：第五节第五节 影响线应用影响线应用 由前面最不利荷载位置确定方法可知最大弯矩一定出现由前面最不利荷载位置确定方法可知最大弯矩一定出现在某影响线最高点所在截面，简支梁弯矩图的最大竖标在某影响线最高点所在截面，简支梁弯矩图的最大竖标必出现在某一集中力作用处，所以绝对最大弯矩必发生必出现在某一集中力作用处，所以绝对最大弯矩必发生在某一集中力（临界荷载）之下。在某一集中力（临界荷载）之下。思路思路：假设行列荷载中某力假设行列荷载中某力FPK作用的截面处作用的

50、截面处 x 将发生绝对最大将发生绝对最大弯矩弯矩MK(x)；既然是最大弯矩既然是最大弯矩MK(x)其一阶导数必为零，由此确定截面其一阶导数必为零，由此确定截面位置位置x ；将确定的位置将确定的位置x 代回到代回到MK(x)的表达式，得到的表达式，得到FPK作用截作用截面的极值弯矩。面的极值弯矩。第五节第五节 影响线应用影响线应用 表示表示 FPK 以左梁以左梁上荷载对上荷载对 FPK 点点的力矩和，它是的力矩和，它是常数。常数。FRlABFAyxal -x-aFP1FPKFPnMK(x)FP1FPKFAyLKAyKMxFxM )(RFlaxlFAy LKKMFxlaxxM R)1()(0)21

51、( RKFlaxdxdM22alx LKKMallFM 2Rmax)22(FR 表示表示梁上荷载梁上荷载的合力的合力第五节第五节 影响线应用影响线应用 MKmax(K=1,2n)中的最大者即是绝对最大弯矩中的最大者即是绝对最大弯矩。具体做法：具体做法：1、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载FPK；2、计算梁上合力计算梁上合力 FR 及与临界荷载间距离及与临界荷载间距离a ；3、移动荷载组，使移动荷载组，使 FR 与与 FPK位于梁中点两侧位于梁中点两侧a/2处处。计算计算FPK下的弯矩即为绝对最大弯矩。下的弯矩即为绝对最大弯矩。若没有荷载移出或移入梁，

52、由上式计算绝对最大弯矩；若没有荷载移出或移入梁，由上式计算绝对最大弯矩；若有荷载移出或移入梁，从第若有荷载移出或移入梁，从第2步重新计算。步重新计算。FRFP1xal -x-aABFPKFPn22alx LKKMallFM 2Rmax)22(第五节第五节 影响线应用影响线应用 例题：例题：求图示简支梁的绝对最大弯矩。荷载运行方向不变。已求图示简支梁的绝对最大弯矩。荷载运行方向不变。已知：知：FP1= FP2 = FP3= FP4 = 324.5kN324.5kN324.5kN324.5kN324.5kN4.80m4.80m1.45m3mAB3mCFP2 和和 FP3 是简支梁中点产生弯矩最大值

53、的临界是简支梁中点产生弯矩最大值的临界荷载荷载( (计算过程略计算过程略) )第五节第五节 影响线应用影响线应用 A324.5kN324.5kN324.5kN324.5kN4.80m4.80m1.45mkN6493P2PR FFFm7250.a mkN575264)72506(6492max2 .MFP2为临界荷载时为临界荷载时kN6493P2PR FFFm7250.a mkN5752547064)72506(6492max3 .MFP3为临界荷载时为临界荷载时FR3mAB3mCa第五节第五节 影响线应用影响线应用 AB324.5kN324.5kN324.5kN324.5kN4.80m4.80

54、m1.45mFRa324.5kN324.5kN324.5kN324.5kN4.80m4.80m1.45mFRaABC绝对最大弯矩点绝对最大弯矩点第五节第五节 影响线应用影响线应用 内力包络图的定义内力包络图的定义：在恒荷载和活荷载共同作用下，在恒荷载和活荷载共同作用下，由各截面内力最大值和最小值连接而成的曲线。由各截面内力最大值和最小值连接而成的曲线。分弯矩包络图和剪力包络图。分弯矩包络图和剪力包络图。第五节第五节 影响线应用影响线应用 绘制内力包络图的步骤绘制内力包络图的步骤 将梁等分为若干份，绘出各等分点截面的内力影响线，将梁等分为若干份，绘出各等分点截面的内力影响线，确定相应的最不利荷载位置。确定相应的最不利荷载位置。 求出各等分点截面在恒载和活载共同作用下内力的最大求出各等分点截面在恒载和活载共同作用下内力的最大值和最小值。值和最小值。 将各等分点截面的最大（最小）内力值按同一比例绘于将各等分点截面的最大（最小）内力值按同一比例绘于