线性代数ch6 小结

1、第六章第六章二次曲面与二次型二次曲面与二次型小结小结 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院一、内容小结一、内容小结二次曲面与二次曲面与 空间图形空间图形 空间立体的投影空间立体的投影空间曲线及投影空间曲线及投影二次曲面二次曲面 双曲面双曲面椭球面椭球面抛物面抛物面柱面柱面旋转曲面旋转曲面球面球面二次型及正定二次型二次型及正定二次型 正定二次型及判别法正定二次型及判别法二次型的标准化二次型的标准化表示表示二次型及标准形与矩阵二次型及标准形与矩阵 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院 双曲抛物面双曲抛物

2、面椭圆抛物面椭圆抛物面 双叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面1. 二次型及标准形与矩阵表示二次型及标准形与矩阵表示 21,1211,122322322221121122111212 22 22, )1(nnnnnnnnnnnnnnnxaxxaxaxxaxxaxaxxaxxaxaxxxf AxxxxxaaaaaaaaaxxxTnnnnnnnn 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院 222221121, )2(nnnykykykyyyf ByyTnnnyyykkkyyy 000000),(212121. . , )3(BABABACCCBAnT记

3、为记为合同于合同于则称则称使得使得若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵与与阶方阵阶方阵设有设有 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院.,.为为二二次次型型的的秩秩为为负负惯惯性性指指数数为为正正惯惯性性指指数数其其中中且且次次型型的的正正负负惯惯性性指指数数可可逆逆线线性性变变换换不不改改变变二二rqprqp 2. 正定二次型及判别法正定二次型及判别法定义定义. )0( , 都有都有若若对于实二次型对于实二次型nTRxAxxf ;, 0 )1(为正定矩阵为正定矩阵为正定二次型为正定二次型则则AfAxxT ., 0 )2(为负定矩阵为负定矩阵为负定二次型为

4、负定二次型则则AfAxxT 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院 )(判判别别法法正正定定矩矩阵阵正正定定二二次次型型设设A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵, 则下列命题等价则下列命题等价: )( )1(是正定矩阵是正定矩阵即即是正定二次型是正定二次型AAxxT , )2(IAnA即即的的正正惯惯性性指指数数等等于于 , )3(PPAPT 使得使得存在可逆矩阵存在可逆矩阵 0, )4(1全全大大于于个个特特征征值值的的nnA 于零于零的所有顺序主子式全大的所有顺序主子式全大A )5(设设A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵, 则下列命题等价则下列命题等

5、价: )( )1(是负定矩阵是负定矩阵即即是负定二次型是负定二次型AAxxT , )2(IAnA 即即的的负负惯惯性性指指数数等等于于 , )3(PPAPT 使得使得存在可逆矩阵存在可逆矩阵 0, )4(1全全小小于于个个特特征征值值的的nnA 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院 )(判判别别法法负负定定矩矩阵阵负负定定二二次次型型)., 2 , 1( 0)1( )5(nkppAkkk 满满足足的的所所有有顺顺序序主主子子式式3. 曲面及其方程曲面及其方程 0),(: zyxF曲曲面面的的一一般般方方程程2202020)()()(:)1(Rzz

6、yyxx 球球面面(2)旋转曲面旋转曲面: 0),( 轴轴旋旋转转一一周周得得绕绕面面上上的的曲曲线线yyxfxoy 0),(22 yzxf.)( :2222是特殊的旋转曲面是特殊的旋转曲面圆锥面圆锥面yxaz 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院(3)柱面柱面: (方程为缺项的方程方程为缺项的方程)0),( yxF表母线平行于表母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面; 0),( zyG表母线平行于表母线平行于 x 轴的柱面轴的柱面; 0),( xzH表母线平行于表母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面. )0,( 1:)4(222222 cbaczbyax

7、椭椭球球面面)0( 22:22 pqzqypx椭椭圆圆抛抛物物面面)0( 22:22 pqzqypx双曲抛物面双曲抛物面 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院(5)(5)抛物面抛物面单叶双曲面单叶双曲面: :1222222 czbyax 1222222 czbyax 1222222 czbyax双叶双曲面双叶双曲面: :1222222 czbyax 1222222 czbyax 1222222 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院(6)(6)双曲面双曲面4. 空间曲线及其投影曲线方程空间曲线及其投影

8、曲线方程 0),(0),(:zyxGzyxF一一般般方方程程 )()()(:tzztyytxx参参数数方方程程0),(: yxHz得得由一般方程消由一般方程消曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面:xoy 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线: xoy 00),(xzyR面上的面上的投影曲线投影曲线:yoz 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线: 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院1. 关于曲面及投影的例题关于曲面及投影的例题., 3694. 122方方程程求求所所生生成成的的旋旋转转曲曲面面的的轴轴旋

9、旋转转一一周周及及轴轴分分别别绕绕坐坐标标面面上上的的双双曲曲线线将将例例yxyxxoy 解：解：:轴旋转轴旋转绕绕x36)(94222 zyx:轴轴旋旋转转绕绕y369)(4222 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院.0162 . 2222222的的柱柱面面方方程程轴轴而而且且通通过过曲曲线线轴轴及及分分别别求求母母线线平平行行于于例例 zyxzyxyx解：解： :轴的柱面轴的柱面母线平行于母线平行于x16322 zy:轴轴的的柱柱面面母母线线平平行行于于y162322 zx二、题型及方法二、题型及方法. 1. 322上上的的投投影影曲曲线线

10、方方程程面面的的交交线线在在与与平平面面求求抛抛物物面面例例xoyzyyxz 解：解： 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院2. 将二次型化为标准形将二次型化为标准形 .22 . 44321为标准形为标准形求一正交变换化二次型求一正交变换化二次型例例xxxxf 解：解： 0100100000010010A此二次型的矩阵为此二次型的矩阵为 122zyyxz:上的投影曲线上的投影曲线面面可得在可得在消消xoyz得得由由, 0)1()1(22 AI. 1, 14321 得得代代入入把把0)(121 xAI 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学

11、学 数数 学学 科科 学学 学学 院院 1100110000110011)(AI 0000000011000011 44432221xxxxxxxx 11000011424321xxxxxx,)0 , 0 , 1 , 1(1T T)1 , 1, 0 , 0(2 单位化得单位化得, , ,)0 , 0 ,21,21(1Tp Tp)21,21, 0 , 0(2 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院:0)(143得得代代入入把把 xAI 1100110000110011)(AI 0000000011000011 44432221xxxxxxxx 110

12、00011424321xxxxxx,)0 , 0 , 1 , 1(3T T)1 , 1 , 0 , 0(4 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院单位化得单位化得, ,)0 , 0 ,21,21(3Tp Tp)21,21, 0 , 0(4 210210210210021021021021),( 4321ppppP令令于是正交变换为于是正交变换为 x Py ,. 24232221yyyyf 且且,401061112 )1( Af 的矩阵的矩阵二次型二次型例例5. 判别二次型的正定性：判别二次型的正定性：434241312124232221312123

13、22211262421993)2(22462)1(xxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxf 解：解：, 021 P61122 P, 011 . 0383 P.是是负负定定的的f3. 判别二次型的正定性判别二次型的正定性 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院 19631690230311211 )2(A, 011 P, 0231112 P, 069020312113 P. 0244 P.是是正正定定的的 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院例例5. 判别二次型的正定性：判别二次型的正定性：434

14、24131212423222131212322211262421993)2(22462)1(xxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxf 3. 判别二次型的正定性判别二次型的正定性解：解： 1000011011011 tttAf 的矩阵的矩阵二次型二次型例例6. t 为何值时为何值时, 下列二次型是正定的：下列二次型是正定的：2222222)(wzxyzxyzyxtf 解：解： 01 tP0122 tP02333 ttP02334 ttP. 2 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院.,2332,. 7222下的标准方程下的标准方程角坐标系角坐标

15、系并求此椭圆柱面在新直并求此椭圆柱面在新直一个椭圆柱面一个椭圆柱面的图形是的图形是使方程使方程的值的值确定确定例例zyxOaayzzyxa 解：解： 4. 综合题综合题 3030002aaA3030002 aaAI)3)(3)(2(aa 特征值为：特征值为：aa 3,3, 2 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院从而有标准形方程，从而有标准形方程，azayax 222)3()3(2,3, 03时时即即当当 aa36222 yx(舍去舍去),3, 03时时即即当当 aa36222 zx为椭圆柱面为椭圆柱面, 3 a标准方程为标准方程为:. 1)21

16、()23(2222 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院azayax 222)3()3(2.1),( , 2 66255),(. 8321323121232221321表示何种曲面表示何种曲面并指出方程并指出方程特征值特征值及此二次型对应矩阵的及此二次型对应矩阵的求参数求参数的秩为的秩为已知二次型已知二次型例例 xxxfcxxxxxxcxxxxxxf解：解： , 3 c, 9, 4, 0321 .1942322为椭圆柱面为椭圆柱面 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院 cA33351315此此二二次

17、次型型的的矩矩阵阵 300120351cr:2)(得得由由 AR333351315 AI)9)(4( . ,),0( 22)(),(. 92321323123221321该该正正交交变变换换及及求求形形经经正正交交变变换换可可化化为为标标准准已已知知例例 yyxxxxxxxxxxf解：解： . 0 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院 11111 A此此二二次次型型的的矩矩阵阵., 0, 1:321 的特征值为的特征值为由题知由题知A 01321111 2 2321)(001 A,2, 0, 1321再再单单位位化化所所对对应应的的特特征征向向量

18、量分分别别求求出出 :便得正交变换便得正交变换 ., .10必为单位矩阵必为单位矩阵则则阶正交正定矩阵阶正交正定矩阵是是若若例例AnA解：解：,是正交正定矩阵是正交正定矩阵A,IAAAATT 且且. 2IA 从从而而, 0)( IAIA,)(,正正定定可可知知正正定定由由IAA .可可逆逆IA , 0 IA故故. IA 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院2447,: ,.TPAnABABB A 、设设 为为 阶阶对对称称矩矩阵阵 证证明明满满秩秩的的充充要要条条件件是是存存在在实实矩矩阵阵使使得得为为正正定定矩矩阵阵本章部分习题：本章部分习题： 刘小琴刘小琴 电电 子子 科科 技技 大大 学学 数数 学学 科科 学学 学学 院院24412210,() , ,: B