求不定积分的方法及技巧小汇总~

1、求不定积分的方法及技巧小汇总1利用基本公式。(这就不多说了 )2. 第一类换元法。(凑微分) 设f(卩)具有原函数F(卩)。贝Uf (x)(x)d J f :(x)d (xF (x) C其中(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容， 同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中 拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:解ln( x 1)In xx(x 1)dx(ln(x 1) - In x)-1x(x 1)1)_dx - - (In(x 1)-Inx)d(ln(x 1)-Inx)-1。n(x 1)-In x)

2、2 Cx(x 1)2【解(xInx) = 1 Inx1 I n xx(x 1)2dxdxI n x(xIn x)21xIn x3. 第二类换元法：设x =(t)是单调、可导的函数，并且(t)=0又设f (t) (t)具有原函数, 则有换元公式f(x)dx 二 f (t) (t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种：(1) .a2-x2： x=asint; x=acost22(2) . x a : x 二 ata nt； x 二 acott； x = asht(3尸 x2-a2: x=asect； x=acsct； x = acht(4)；：

3、ax +b:：ax + b =t(5)nnax +b：ax + b Y ex + d Y ex + d当被积函数含有x m ax2 bx e,有时倒代换x = 1也奏效4. 分部积分法.公式：-丄，-d .分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成 不定积分。具体选取 人、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧！例3：3x areeosxdxJ-x2观察被积函数，选取变换t=arccosx,则3X areeosxdx =d -x23teos t(-sin t)dt 二-1 eos3 tdt 二 sintt(sin2tT)

4、dsint 二 td(1sin3t-sint)二IoIo严-tsint(3sintsint)dt =13121tsin _tsint (1sin t-1)deost =t sin3 -tsin t -cost -1 cos31 C 二33932122x (x 2),1x areeosx C 33例 4：ares in2 xdx解arcsin2 xdx 二 xs in2 x -1x2 aresin x、 . 2*1 一 Xdxxares inx 亠 12 ares in xd、1 -x2 =xares inx 2 1 - x2 arcsinx - J兀 1 一 x2 , _ ： dx = 讪x2

5、2xares inx 2 1 -x ares in x2x C上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在二-d.中，人的选取有下面简单的规律:ax(1) -Pm(x)， - e ,sin ax, cos ax(2) =1 n x, arctanx,arcsin x，、. = Pm(x)(3) J =eax，、. =cos : x, sinx(3) 会出现循环，注意选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：(lnx arcsinx)Pm(x(aAxsinx)1)卩V但是，当nx，二arcsinx时，是无法求解的。对于(3)情况

6、，有两个通用公式：axaxe4= e sin bx = 2 (asinbx-bcosbx) Ca +baxl2 二 eaxcosbx dx = 2(acosbx bsinbx) Ca2 b2(分部积分法用处多多在本册杂志的涉及lnx的不定积分中，常可以看到 分部积分)5. 几种特殊类型函数的积分。(1)有理函数的积分有理函数 巳先化为多项式和真分式 上他 之和，再把上3 分解为若干Q(x)Q(x)Q(x)个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现In dxJ / 2 + (a x)时，记得用递推公式:Inx2n3、:rI22,2 nJ21 n/2a (n - 1)(x a ) 2

7、a (n -1)解例5:642x x 4x 23/24八 2x (x 1)dxx6 x4 -4x2 -2 x6x4 4x22_ x 4x22x3(x2 1)2- x3(x21)2x3(x21)2 x21 x3(x21)212X dx =丄 In (x2 1) C x2 12 4x2+2d 22 xdx = x (x +1) xx+)42X21 2 dx2 二-X24x2 2.322x (x 1)2/(1)2+(1)211 1 1 .(22)dC22CJ2(i 1)21 .ix2(x2 1)故不定积分求得。(2)三角函数有理式的积分sin x =x2ta n211 tan万能公式:cosx 二P(sin x, cosx)dx可用变换t=tanx化为有理函数 的积分，但由于计算较烦,Q(sin x, cos x)2应尽量避免。对于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成sin x或csx。再用待定系数cosx sin xA(a cosx bsin x) B(a cosx bsin x) 一 来做。(注：没举例题并不代表不重要 )a cosx bsin x(3) 简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。像