2022届高考数学统考一轮复习第七章7.4基本不等式学案文含解析新人教版_第1页
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文档简介

1、第四节基本不等式【知识重温】一、必记3个知识点1基本不等式(1)基本不等式成立的条件:_.(2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号(3)两个平均数:称为正数a,b的_,称为正数a,b的_.2几个重要不等式(1)a2b2_(a,br)(2)ab_(a,br)(3)2_(a,br)(4)_(ab0)(5) (a0,b0)3利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_时,xy有最小值是_(简记:“积定和最小”)(2)如果和xy是定值s,那么当且仅当_时,xy有最大值是_(简记:“和定积最大”)二、必明2个易误点1求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三

2、是考虑等号成立的条件2多次使用基本不等式时,易忽视取等号的条件的一致性【小题热身】一、判断正误1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x,x的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0,则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)a2b2c2abbcca(a、b、cr)()二、教材改编2已知x1,则x的最小值为()a2b3c4d63若a,b0,且abab3,则ab的取值范围为_三、易错易混4已知0x3,则yx的最小值为()a. b8 c20 d105y2x(x0,y

3、0,x2y5,则的最小值为_利用基本不等式求最值分层深化型考向一:配凑法求最值例1(1)已知x,则f(x)4x2的最小值为_(2)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值,则a等于()a1b1c3 d4考向二:常值代换法求最值例22021广东珠海高三检测已知x0,y0,z0,且1,则xyz的最小值为()a8b9c12d16考向三:消元法求最值例32020江苏卷,12已知5x2y2y41(x,yr),则x2y2的最小值是_悟技法(1)配凑法的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;变形的目的是配凑出和或积为定值(2)常值代换法:根据已知条件或其变形确定定值(常数

4、),再把其变形为1,再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式(3)消元法:根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.变式练(着眼于举一反三)12021山东泰安一中联考已知a0,b0,ab2,则y的最小值是()a. b. c5 d422020山东质量测评联盟联考若x2,则函数y4x的最小值为_3若a,b,c都是正数,且abc2,则的最小值是_考点二利用基本不等式证明不等式互动讲练型例4已知a,b,c0,求证:abc.悟技法利用基本不等式证明不等式时,要先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、

5、变形、配凑等,使之转化为能使用基本不等式的形式;若题目中还有已知条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换,另外,解题时要时刻注意等号能否取到.变式练(着眼于举一反三)4已知ab,ab1,求证:a2b22(ab)考点三利用基本不等式探求参数范围互动讲练型例5(1)已知函数f(x)4x(x0,a0)在x3时取得最小值,则a_;(2)2021江西吉安期中设正数x,y满足xy1,若不等式4对任意的x,y成立,则正实数a的取值范围是()a4,) b(1,)c1,) d(4,)悟技法利用基本不等式求解含参数的不等式的策略(1)观察题目特点,利用基本不等式确

6、定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化.变式练(着眼于举一反三)52021福建四地六校联考已知函数f(x)x2的值域为(,04,),则a的值是()a. b. c1 d26已知函数yx4(x1),当xa时,y取得最小值b,则ab等于()a3 b2 c3 d8第四节基本不等式【知识重温】a0,b0ab算术平均数几何平均数2ab22xy2xy【小题热身】1答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)2解析:x1,x10x(x1)12 13当且仅当x1,即x2时,取“”x的最小值为3.故选b.答案:b3

7、解析:a,b0,ab2abab323ab230(1)(3)0又10,30ab9当且仅当ab时,即ab3时,ab取最小值9. 答案:9,+ )4解析:由yx2 8,当且仅当x4时取等号又0x3时,yx的值随着x的增大而减小,当x3时,y取得最小值为3.故选a.答案:a5解析:x0y2x2(x)又x2 2y2x2(x)22当且仅当x,且x,4x50f(x)4x2(4x5)32 3235当且仅当4x5,即x时取等号,所以f(x)的最小值为5.(2)x2,x20f(x)x(x2)22 2224,当且仅当x2,即x3时取等号,所以a3.故选c.答案:(1)5(2)c例2解析:y0,z0,yz0,又1,x

8、0,xyzx(yz)10102 16,当且仅当,即yz3x时等号成立,xyz的最小值为16.故选d.答案:d例3解析:解法一由5x2y2y41得x2,则x2y22,当且仅当,即y2时取等号,则x2y2的最小值是.解法二4(5x2y2)4y22(x2y2)2,则x2y2,当且仅当5x2y24y22,即x2,y2时取等号,则x2y2的最小值是.答案:变式练1解析:a0,b0,ab2y()(ab)()2当且仅当,即a,b时取等号故选b.答案:b2解析:x2,x20y4x4(x2)82 848当且仅当4(x2),即x2时取等号答案:843解析:abc2,a0,b0,c0bc2a0,0a0,b0,c0b2a,c2b,a2cabc2a2b2c故abc当且仅当abc时,等号成立变式练4证明:ab,ab0,又ab1ab2 2即a2b22(ab)当且仅当ab,即ab时取等号考点三例5解析:(1)x0,a0,f(x)4x2 4,当且仅当4x,即4x2a时,f(x)取得最小值又f(x)在x3时取得最小值,a43236.(2)xy1, 且x0,y0,a0,(xy)a1a12,a214,即a230,解得

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