2022版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案含解析新人教B版

1、第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、教材概念结论性质重现1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(r)(2)商数关系：tan .(1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号(2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化(3)掌握变形公式：sin21cos2，cos21sin2，sin tan cos ，sin2，cos2.2诱导公式公式sin(k2)sin ，cos(k2)cos ，tan(k2)tan ，其中kz公式sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式sin()sin

2、 ，cos()cos ，tan()tan 公式sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式sincos ，cossin 公式sincos ，cossin (1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”“偶”指的是“k(kz)”中的k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在“k(kz)”中，将看成锐角时，“k(kz)”的终边所在的象限(2)利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤：也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐”二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打

3、“”，错的打“”(1)对任意角，sin23cos231都成立( )(2)诱导公式中的角可以是任意角( )(3)若cos(n)(nz)，则cos .( )(4)已知sin ，cos ，其中，则m5或m3.( )2若tan ，则sin4cos4的值为()abcdd解析：因为tan ，所以sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2).故选d.3已知cos 31a，则sin 239tan 149的值是()a bcdb解析：sin 239tan 149sin (27031)tan(18031)cos 31(tan 31)sin 31.4若sin ，则tan _.解析：因为，所以cos ，所以

4、tan .5化简sin()cos(2)的结果为_sin2解析：原式(sin )cos sin2.考点1同角三角函数基本关系的应用应用性考向1知弦求切(2020福州一模)已知3sin tan 80，则tan _.2解析：因为3sin tan 80，所以80，整理可得3cos28cos 30，解得cos 或cos 3(舍去)所以sin .所以tan 2.若本例的条件改为“2，”求tan 的值解：因为2，所以sin 22cos .两边平方，得sin248cos 4cos2，即1cos248cos 4cos2，整理得，5cos28cos 30，解得cos 1或cos .当cos 1时，1cos 0，无

5、意义；当cos 时，sin ，所以tan .本例为已知sin ，cos ，tan 中的一个求另外两个的值解决此类问题时，直接套用公式sin2cos21及tan 即可，但要注意的取值范围，即三角函数值的符号考向2知切求弦已知1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin cos 2.解：由已知得tan .(1).(2)sin2sin cos 2222.利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值常见的结构：sin ，cos 的齐次式(如asin2bsin cos ccos2)；sin ，cos 的齐次分式.(2)切化弦：利用公式tan ，把式

6、子中的正切化成正弦或余弦一般单独出现正切、余切时，采用此技巧考向3“sin cos ，sin cos ”之间的关系已知x0，sin xcos x，求sin xcos x的值解：由已知，得sin xcos x，两边平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.因为(sin xcos x)212sin xcos x，所以sin xcos x.由x0知，sin x0，又sin xcos x0.所以sin xcos x0.故sin xcos x.本例中若将条件“x0”改为“0x”，求sin xcos x的值解：因为0x0，cos x0，故sin xcos x.“sin

7、 cos ，sin cos ”关系的应用sin cos 与sin cos 通过平方关系联系到一起，即(sin cos )212sin cos ，sin cos ，sin cos .因此在解题时已知一个可求另外两个1已知(0，)，cos ，则tan ()ab cdd解析：因为cos 且(0，)，所以sin ，所以tan .故选d.2已知sin xcos x，x(0，)，则tan x()a b cdd解析：因为sin xcos x，且x(0，)，所以12sin xcos x1，所以2sin xcos x0，所以x为钝角，所以sin xcos x，结合已知解得sin x，cos x，则tan x.3

8、(2020化州二模)已知曲线f(x)x3在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则的值为_解析：由f(x)x3得f(x)2x2，所以f(1)2，故tan 2.所以.考点2诱导公式的应用基础性(1)(多选题)在abc中，下列关系恒成立的是()atan(ab)tan c bcos(2a2b)cos 2ccsinsin dsincosbd解析：对于a，由于tan(ab)tan(c)tan c，故a错误；对于b，由于cos(2a2b)cos 2(c)cos 2c，故b正确；对于c，sinsincos，故c错误，d正确(2)已知cosa，则cossin的值是_0解析：因为coscoscosa，sinsin

9、 cosa，所以cossin0.(1)利用诱导公式解题的一般思路化绝对值大的角为锐角；角中含有的整数倍时，用公式去掉的整数倍(2)常见的互余和互补的角互余的角与；与；与互补的角与；与提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错1已知sin()，则tan()a2b2 cd2d解析：因为sin()，所以sin ，cos ，所以tan2.故选d.2(2020北京卷)已知，r，则“存在kz使得k(1)k”是“sin sin ”的()a充分而不必要条件 b必要而不

10、充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件c解析：当存在kz使得k(1)k时，若k为偶数，则sin sin(k)sin ；若k为奇数，则sin sin(k)sin(k1)sin()sin ，充分性成立；当sin sin 时，2n或2n，nz，即k(1)k(k2n)或k(1)k(k2n1)，亦即存在kz使得k(1)k，必要性成立所以，“存在kz使得k(1)k”是“sin sin ”的充要条件故选c.已知3cos x4sin x5，求tan x的值四字程序读想算思求tan x的值1.同角的正弦、余弦和正切有什么关系？23cos x4sin x的最大值是多少？3由已知条件联想点a(cos x，sin

11、 x)在哪条直线上1.求sin x和cos x；2辅助角公式1.方程思想；2数形结合；3转化与化归3cos x4sin x51.sin2xcos2x1，tan x；23cos x4sin x的最大值为5；3点a(cos x，sin x)在直线3x4y5上1.联立3cos x4sin x5与sin2xcos2x1；23cos x4sin x5sin(x)1.tan x可看作直线的斜率；2将已知条件变为cos xsin x1思路参考：解方程组解：由消去cos x，整理得(5sin x4)20.解得sin x，cos x.故tan x.思路参考：注意到3cos x4sin x的最大值为5，利用辅助角

12、公式推出x与辅助角的关系解：3cos x4sin x55sin(x)5，其中cos ，sin .所以tan .所以x2k(kz)于是tan xtan.思路参考：令tan xt，借助已知条件用t表示sin x和cos x.解：令tan xt，即tcos xsin x，代入3cos x4sin x5，得3cos x4tcos x5，所以cos x，sin x.再代入sin2xcos2x1，得221，解得t，即tan x.思路参考：设p(m，n)为角x终边上任意一点，r，利用三角函数的定义解：设p(m，n)为角x终边上任意一点，点p到原点o的距离为r，则r.把sin x，cos x代入已知等式得34

13、5.即(3m4n)2(5r)225(m2n2)整理得(4m3n)20，所以4m3n.显然m0，故tan x.思路参考：设点a(cos x，sin x)是直线3x4y5与单位圆x2y21的切点，而tan xkoa.解：由3cos x4sin x5可知点a(cos x，sin x)在直线3x4y5上，同时也在单位圆x2y21上，所以点a为直线3x4y5与单位圆的切点由于直线3x4y5的斜率为，所以oa的斜率为，即tan x.思路参考：m(cos x，sin x)，n，证明mn.解：因为cos xsin x1，不妨令m(cos x，sin x)，n，可知|m|1，|n|1.所以m，n均为单位向量，且mn1.由|m|n|mn|，等号成立的条件为mn，则有cos xsin x，即tan x.1基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握运算求解能力，转化与化归的能力，体现数学运算的核心素养2基