含绝对值的不等式

1、含绝对值的不等式教学目标（1）掌握 与 （ ）型的绝对值不等式的解法（2）掌握 与 （ ）型的绝对值不等式的解法（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；教学重点： 型的不等式的解法；教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题教学过程设计教师活动学生活动设计意图一、导入新课【提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？【概括】口答 绝对值的概念是解 与 （ ）型绝对值不等值的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫二、新课【导入】2的绝对值等于几？2的绝

2、对值等于几？绝对值等于2的数是谁？在数轴上表示出来【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程 来表示，这样的方程叫做绝对值方程显然，它的解有二个，一个是2，另一个是2【提问】如何解绝对值方程 【设问】解绝对值不等式 ，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式 的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合【设问】解绝对值不等式 ，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？【质疑】 的解集有几部分？为什么 也是它的解集？【讲述】 这个集合中的数都比2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值

3、都比2大，所以 是 解集的一部分在解 时容易出现只求出 这部分解集，而丢掉 这部解集的错误【练习】解下列不等式：（1） ；（2） 【设问】如果在 中的 ，也就是 怎样解？【点拨】可以把 看成一个整体，也就是把 看成 ，按照 的解法来解所以，原不等式的解集是【设问】如果 中的 是 ，也就是 怎样解？【点拨】可以把 看成一个整体，也就是把 看成 ，按照 的解法来解，或 ，由 得 由 得 所以，原不等式的解集是口答画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数画出数轴，思考答案不等式 的解集表示为 画出数轴思考答案 不等式 的解集为 或表示为 ，或 笔答（1） （2） ，或 笔答笔答根据绝对值的意义自然引出

4、绝对值方程 （ ）的解法由浅入深，循序渐进，在 （ ）型绝对值方程的基础上引出 （ ）型绝对值方程的解法针对解 （ ）绝对值不等式学生常出现的情况，运用数轴质疑、解惑落实会正确解出 与 （ ）绝对值不等式的教学目标在将 看成一个整体的关键处点拨、启发，使学生主动地进行练习继续强化将 看成一个整体继续强化解 不等式时不要犯丢掉 这部分解的错误三、课堂练习解下列不等式：（1） ；（2） 笔答（1） ；（2） 检查教学目标落实情况四、小结的解集是 ； 的解集是 解 绝对值不等式注意不要丢掉 这部分解集或 型的绝对值不等式，若把 看成一个整体一个字母，就可以归结为 或 型绝对值不等式的解法五、作业1阅

5、读课本 含绝对值不等式解法2习题 2、3、4课堂教学设计说明1抓住解 型绝对值不等式的关键是绝对值的意义，为此首先通过复习让学生掌握好绝对值的意义，为解绝对值不等式打下牢固的基础2在解 与 绝对值不等式中的关键处设问、质疑、点拨，让学生融会贯通的掌握它们解法之间的内在联系，以达到提高学生解题能力的目的3针对学生解 （ ）绝对值不等式容易出现丢掉 这部分解集的错误，在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破，并在练习中纠正这个错误，以提高学生的运算能力一元二次不等式的解法教学目标（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；（3）了解简单的分式不等式的解法；（

6、4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观教学重点：一元二次不等式的解法；教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系教与学过程设计第一课时设置情境问题：解方程 作函数 的图像解不等式 【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的

7、关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式 的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。 通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？探索与研究我们现在就结合不等式 的求解来试一试。（师生共同活动用“特

8、殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出 的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。）【答】方程 的解集为 不等式 的解集为 【置疑】哪位同学还能写出 的解法？（请一程度差的同学回答）【答】不等式 的解集为 我们通过二次函数 的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题 的解集，还求出了 的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。下面我们再对一般的一元二次不等式 与 来进行讨论。为简便起见，暂只考虑 的情形。请同学们思考下列问题：如果相应的一元二次方程 分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数 的图像

9、与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）【答】二次函数 的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。（通过多媒体或其他载体给出以下表格）【答】 的解集依次是 的解集依次是 它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数 的图像。课本第19页上的例1例2例3它们均是求解二次项系数 的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。（教师巡视，重点关注程度稍差的同学。）演练反馈1解下列不等

10、式：（1） （2） （3） （4） 2若代数式 的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 。3解不等式（1） （2） 参考答案：1（1） ；（2） ；（3） ；（4）R2 3（1） （2）当 或 时， ，当 时， 当 或 时， 。总结提炼这节课我们学习了二次项系数 的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。（五）、课时作业（P20练习等3、4两题） （六）、板书设计此逻辑联结词一、教学目标（1）了解含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式；（2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；（3）能用逻

11、辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题；（4）能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题；（5）会用真值表判断相应的复合命题的真假；（6）在知识学习的基础上，培养学生简单推理的技能二、教学重点难点：重点是判断复合命题真假的方法；难点是对“或”的含义的理解三、教学过程1新课导入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的教学比初中更强调逻辑性如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识初一平面几何中曾学过

12、命题，请同学们举一个命题的例子（板书：命题）（从初中接触过的“命题”入手，提出问题，进而学习逻辑的有关知识）学生举例：平行四边形的对角线互相平 （1）两直线平行，同位角相等（2）教师提问：“相等的角是对顶角”是不是命题？（3）（同学议论结果，答案是肯定的）教师提问：什么是命题？（学生进行回忆、思考）概念总结：对一件事情作出了判断的语句叫做命题（教师肯定了同学的回答，并作板书）由于判断有正确与错误之分，所以命题有真假之分，命题（1）、（2）是真命题，而（3）是假命题（教师利用投影片，和学生讨论以下问题）例1 判断以下各语句是不是命题，若是，判断其真假： 命题一定要对一件事情作出判断，（3）、（4

13、）没有对一件事情作出判断，所以它们不是命题初中所学的命题概念涉及逻辑知识，我们今天开始要在初中学习的基础上，介绍简易逻辑的知识2讲授新课大家看课本（人教版，试验修订本，第一册（上）从第25页至26页例1前，并归纳一下这段内容主要讲了哪些问题？（片刻后请同学举手回答，一共讲了四个问题师生一道归纳如下）（1）什么叫做命题？可以判断真假的语句叫做命题判断一个语句是不是命题，关键看这语句有没有对一件事情作出了判断，疑问句、祈使句都不是命题有些语句中含有变量，如 中含有变量 ，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假（这种含有变量的语句叫做“开语句”）（2）介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”“或

14、”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词逻辑联结词除这三种形式外，还有“若则”和“当且仅当”两种形式对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念 中的“或”，它是指“ ”、“ ”中至少一个是成立的，即 且 ；也可以 且 ；也可以 且 这与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念 中的“且”，是指“ ”、“ 这两个条件都要满足的意思对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题 对应于集合 ，则命题非 就对应着集合 在全集 中的补集 命题可分为简单命题和复合命题不含逻辑联结词的命题叫做简单命题简单命题是不含其他命题作

15、为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题，如“6是自然数且是偶数”就是由简单命题“6是自然数”和“6是偶数”由逻辑联结词“且”构成的复合命题（4）命题的表示：用 ， ， ， ，来表示（教师根据学生回答的情况作补充和强调，特别是对复合命题的概念作出分析和展开）我们接触的复合命题一般有“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”、“若 则 ”等形式给出一个含有“或”、“且”、“非”的复合命题，应能说出构成它的简单命题和弄清它所用的逻辑联结词；应能根据所给出的两个简单命题，写出含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题对于给出“若 则 ”形式的复合命题，

16、应能找到条件 和结论 在判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不能只从字面上来看有没有“或”、“且”、“非”例如命题“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”，此命题字面上无“且”；命题“5的倍数的末位数字不是0就是5”的字面上无“或”，但它们都是复合命题3巩固新课例2 判断下列命题，哪些是简单命题，哪些是复合命题如果是复合命题，指出它的构成形式以及构成它的简单命题（1） ；（2）0.5非整数；（3）内错角相等，两直线平行；（4）菱形的对角线互相垂直且平分；（5）平行线不相交；（6）若 ，则 （让学生有充分的时间进行辨析教材中对“若则”不作要求，教师可以根据学生的情况作些补充

17、）例3 写出下表中各给定语的否定语（用课件打出来）若给定语为等于大于是都是至多有一个至少有一个至多有 个其否定语分别为 分析：“等于”的否定语是“不等于”； “大于”的否定语是“小于或者等于”； “是”的否定语是“不是”； “都是”的否定语是“不都是”； “至多有一个”的否定语是“至少有两个”； “至少有一个”的否定语是“一个都没有”； “至多有 个”的否定语是“至少有 个”（如果时间宽裕，可让学生讨论后得出结论）置疑：“或”、“且”的否定是什么？（视学生的情况、课堂时间作适当的辨析与展开）4课堂练习：第26页练习1，25课外作业：第29页习题1.6 1，2四种命题教学目标（1）理解四种命题的

18、概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；（4）初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤；（5）通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；（6）通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育；（7）培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力教学重点和难点重点：四种命题之间的关系；难点：反证法的运用教学过程设计第一课时：四种命题一、导入新课【练习】 1把下列命题改写成“若 则 ”的形式：（l）同位角相等，两直线平行；（2）正方形的四条边相等2什么叫互逆命题？上述命题的逆命题是什么

19、？将命题写成“若 则 ”的形式，关键是找到命题的条件 与结论 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互道命题上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等，则它是正方形”和“若两条直线平行，则同位角相等”值得指出的是原命题和逆命题是相对的我们也可以把逆命题当成原命题，去求它的逆命题 3原命题真，逆命题一定真吗？ “同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真学生活动：口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等设计意图

20、：通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础二、新课【设问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？【讲述】可以将原命题的条件和结论分别否定，构成“同位角不相等，则两直线不平行”，这个命题叫原命题的否命题【提问】你能由原命题“正方形的四条边相等”构成它的否命题吗？学生活动：口答：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等教师活动：【讲述】一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题若用 和 分别表示原命题的条件和结论，用 和 分别表示 和 的否定【

21、板书】原命题：若 则 ；否命题：若 则 【提问】原命题真，否命题一定真吗？举例说明？学生活动：讲论后回答： 原命题“同位角相等，两直线平行”真，它的否命题“同位角不相等，两直线不平行”不真原命题“正方形的四条边相等”真，它的否命题“若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等”不真由此可以得原命题真，它的否命题不一定真设计意图：通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成否命题及判断它们的真假，调动学生学习的积极性教师活动：【提问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了 能构成它的逆命题和否命题外，还可以不可以构成别的命题？学生活动：讨论后回答【总结】可以将这个命题的条件和结论互换后再分

22、别将新的条件和结论分别否定构成命题“两条直线不平行，则同位角不相等”，这个命题叫原命题的逆否命题教师活动：【提问】原命题“正方形的四条边相等”的逆否命题是什么？学生活动：口答：若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形教师活动：【讲述】一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题原命题是“若 则 ”，则逆否命题为“若 则 【提问】“两条直线不平行，则同位角不相等”是否真？“若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形”是否真？若原命题真，逆否命题是否也真？学生活动：讨论后回答这两个逆否命题都真原

23、命题真，逆否命题也真教师活动：【提问】原命题的真假与其他三种命题的真假有什么关系？举例加以说明？【总结】1原命题为真，它的逆命题不一定为真2原命题为真，它的否命题不一定为真3原命题为真，它的逆否命题一定为真设计意图：通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成逆否命题及判断它们的真假，调动学生学的积极性教师活动：三、课堂练习1设原命题是“若 ，则 ”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假学生活动：笔答：逆命题“若 ，则 ”逆命题是假命题否命题“若 ，则 ”否命题是假命题逆否命题“若 ，则 ”逆否命题是真命题教师活动：2设原命题是“当 时，若 ，则 ”，写出它的逆命题

24、、否定命与逆否命题，并分别判断它们的真假学生活动：笔答逆命题“当 时，若 ，则 ”否命题“当 时，若 ，则 ”否命题为真逆否命题“当 时，若 ，则 ”逆否命题为真设计意图：通过练习巩固由原命题构成否命题、逆否命题及判断它的真假的能力教师活动：【总结】“当 时”是大前提，写其他命题时应该将“当 时”写在前面原命题的条件是 ，结论是 “ ”的否定是“ ”，而不是“ ”，同样“ ”的否定是“ ”，而不是“ ”【投影】3填图1若原命题是“若 则 ”，其它三种命题的形式怎样表示？请写在方框内？学生活动：笔答教师活动：2根据上图所给出的箭头，写出箭头两头命题之间的关系？举例加以说明？学生活动：讨论后回答设

25、计意图：通过学生自己填图，使学生掌握四种命题的形式和它们之间的关系教师活动：四、小结四种命题的形式和关系如下图：由原命题构成道命题只要将 和 换位就可以由原命题构成否命题只要 和 分别否定为 和 ，但 和 不必换位由原命题构成逆否命题时不但要将 和 换位，而且要将换位后的 和 否定原命题为真，它的逆命题不一定为真原命题为真，它的否命题不一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式一加以讨论教师活动：五、作业1阅读课本 四种命题2 四种命题，练习（31页）1

26、、2，练习（32页）1、23习题 1、2、3、4充分条件与必要条件教学目标（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想 教学建议 （一）教材分析1知识结构首先给出推断符号“ ”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识2重点难点分析本节的重点与难点是关于充要条件的判断（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系（2）在判断条件 和结论 之

27、间的因果关系中应该：首先分清条件是什么，结论是什么；然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；最后再指出条件是结论的什么条件（3）在讨论条件 和条件 的关系时，要注意：若 ，但 ，则 是 的充分但不必要条件；若 ，但 ，则 是 的必要但不充分条件；若 ，且 ，则 是 的充要条件；若 ，且 ，则 是 的充要条件；若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件（4）若条件 以集合 的形式出现，结论 以集合 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断若 ，则 是 的充分条件；显然，要使元素 ，只需 就够了类似地还有：若 ，

28、则 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件；若 ，且 ，则 是 的既不必要也不充分条件（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性由于原命题 逆否命题，逆命题 否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立（二）教法建议1学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系充要条件中的 ， 与四种命题中的 ， 要求是一样的它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若 则 ”形式的复合命题2由于这节课概念性、理

29、论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性3由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念4教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念教学设计

30、示例充要条件教学目标：（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想教学重点难点：关于充要条件的判断教学用具：幻灯机或实物投影仪教学过程设计1复习引入练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ；（3）全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；（5）若 ，则 ；（6）若方程 有两个不等的实数解，则 （学生口答，教师板书）（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题置疑：对于命题“若

31、 ，则 ”，有时是真命题，有时是假命题如何判断其真假的？答：看 能不能推出 ，如果 能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题对于命题“若 ，则 ”，如果由 经过推理能推出 ，也就是说，如果 成立，那么 一定成立换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，记作 2讲授新课（板书充分条件的定义）一般地，如果已知 ，那么我们就说 是 成立的充分条件提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系（学生口答）（1）“ ，”是“ ”成立的充分条件；（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；（3）“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件从另一个角度看，如果 成立，那么其逆否命题 也成立，即如果没有 ，也就没有 ，亦即 是 成立的必须要有的条件，也就是必要条件（板书必要条件的定义）提出问题：用“充分条