2022版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六讲指数与指数函数学案新人教版

1、第六讲第六讲指数与指数函数指数与指数函数知识梳理双基自测zhi shi shu li shuang ji zi ce 知识梳理知识点一指数与指数运算1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根n1 且 nn*当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数na零的 n 次方根是零当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数na负数没有偶次方根(2)两个重要公式naa，n 为奇数，|a|a（a0） ，a（a0 且 a1)叫指数函数底数a10a0 时，恒有 y1；当 x0 时，恒有 0y0 时，恒有 0y1；当

2、 x1函数在定义域 r 上为增函数函数在定义域 r 上为减函数重要结论1画指数函数 yax(a0 且 a1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1)2底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a1，还是 0a0 且 a1)的图象关于 y 轴对称双基自测题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)nan(na)na(an*)()(2)amnamn(n，mn*)()(3)函数 y32x，与 y2x1都不是指数函数()(4)若 am0，且 a1)，则 m1 时 mn，当 0an；(5)y2x12x是减函数题组二走进教材2(必修 1p59at2 改编)设 a0，将

3、a2a3a2表示成分数指数幂，其结果是(c)aa12ba56ca76da32解析由题意得a2a3a2a21213 a76，故选 c3(必修 1p60bt2 改编)已知 f(x)2x2x，若 f(a)3，则 f(2a)等于(b)a5b7c9d11解析f(2a)22a22a(2a2a)22f(a)227.故选 b4(必修 1p82at10 改编)若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的图象经过点 p2，12 ，则 f(1) 2解析a212，a22，f(1)221 2.题组三走向高考5(2020全国，8)设 alog342，则 4a(b)a116b19c18d16解析本题考查对数的运算和指数、对数的

4、互化公式因为 alog34log34a2，所以 4a329，所以 4a14a19，故选 b另：alog342log342a，32a4，4a32aa19.6(2017北京，5 分)已知函数 f(x)3x13x，则 f(x)(a)a是奇函数，且在 r 上是增函数b是偶函数，且在 r 上是增函数c是奇函数，且在 r 上是减函数d是偶函数，且在 r 上是减函数解析因为 f(x)3x13x，且定义域为 r，所以 f(x)3x13x13x3x3x13xf(x)， 即函数 f(x)是奇函数 又 y3x在 r 上是增函数， y13x在 r 上是减函数，所以 f(x)3x13x在 r 上是增函数，故选 a7(2

5、016全国卷)已知 a243，b425，c2513，则(a)abacbabccbcadcab解析因为 a2431613，b4251615，c2513，且幂函数 yx13在 r 上单调递增，指数函数 y16x在 r 上单调递增，所以 bac.考点突破互动探究kao dian tu po hu dong tan jiu考点一 指数与指数运算自主练透例 1(1)(多选题)下列命题中不正确的是(acd)ananabar，则(a2a1)01c3x4y3x43yd356（5）2(2)计算 2 331.56126(3)化简：(14)12（ 4ab1）3（110）1 （a3b3）1285(4)已知 a12a1

6、23，求下列各式的值aa1；a2a2；a2a21aa11.解析(1)若 n 是奇数，则nana；若 n 是偶数，则nan|a|a，a0，a，a0，所以 a 错误；因为 a2a1 恒不为 0，所以(a2a1)0有意义且等于 1，所以 b 正确；3x4y3不能化简为x43y，所以 c 错误；因为350，所以356（5）2，所以 d 错误故选 a、c、d(2)原式231232131216231231321331621323121316213136.(3)原式223a32b3210a32b3221310185.故填85.(4)将 a12a123 两边平方，得 aa129，所以 aa17.将 aa17

7、两边平方，得 a2a2249，所以 a2a247.由可得a2a21aa11471716.名师点拨ming shi dian bo指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一考点二 考点二指数函数图象与性质考向 1指数函数的图象及应用师生共研例 2(1)(2021秦皇岛模拟)函数 f(

8、x)21x的大致图象为(a)(2)(2021湖北黄冈质检)函数 yax(a0，a1)与 yxb的图象如图，则下列不等式一定成立的是(d)aba0bab0cab1dloga2b(3)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是1，1分析(1)将函数化为 f(x)212x的形式， 根据函数的性质及过定点， 并结合选项判断；(2)由图确定 a、b 的范围求解；(3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解解析(1)解法一：函数 f(x)21x212x，单调递减且过点(0，2)，选项 a 中的图象符合要求解法二：(采用平移法)因为函数 f(x)21x2(x1)，所以先

9、画出函数 y2x的图象，再将y2x图象的所有点的横坐标向右平移 1 个单位，只有选项 a 符合(2)由图可知，yax单调递增，则 a1；yxb单调递减，则 b0 不一定成立，如 a3，b1；b：ab0 不一定成立，如 a2，b3；c：ab1 不成立，ab0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(1，1a)由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解变式训练 1(1)函数 yax1a(a0，a1)

10、的图象可能是(d)(2)(多选题)已知实数 a，b 满足等式12a(13)b，下列关系式中不可能成立的是(cd)a0babab0c0abdba1 时，函数单调递增，且函数的图象恒过点0，11a .因为 011a1，所以 a、b 均不正确；当 0a1 时，函数单调递减，且函数的图象恒过点0，11a ，因为 11ab0 时，12a13b可能成立ab0 时，12a13b可能成立0a13b.ba0 时，显然12a0.考向 2指数函数的性质及其应用多维探究角度 1比较指数幂的大小例 3已知 a1223，b243，c1213，则下列关系式中正确的是(b)acabbbaccacbdab2313， 所以124

11、312231213，即 bac.角度 2利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式例 4(1)已知实数 m2，函数 f(x)3x1，x0，9mx，x0 的解集为x|x4 或 x0解析(1)当 m2 时，9m(2m)3m21，即 34m43m3，解得 m13(舍)，故 m3.(2)f(x)为偶函数，f(x)在0，)上递增，且 f(2)0，|x2|2，解得 x4 或 x0，且 a1)满足 f(1)19，则 f(x)的单调递减区间是(b)a(，2b2，)c2，)d(，2解析由 f(1)19得 a219，又 a0，所以 a13，因此 f(x)13|2x4|.y13t为减函数，f(x)的减区间为 t|2

12、x4|的递增区间2，)，所以 f(x)的单调递减区间是2，)名师点拨ming shi dian bo(1)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决(3)解指数方程的方法同底法：把方程化为 af(x)ag(x)的情形，然后得出 f(x)g(x)化为 axb，利用对数定义求解 xlogab.把方程

13、化为 f(ax)0 的情形，然后换元，即设 axt，然后解方程 f(t)0，注意只要 t0的解(4)解指数不等式的方法同底法：把方程化为 af(x)ag(x)的情形，根据函数单调性建立 f(x)和 g(x)的不等式变式训练 2(1)(角度 1)下列各式比较大小不正确的是(d)a1.72.50.62c0.80.11.250.2d1.70.30.93.1(2)(角度 2)已知实数 a1，函数 f(x)4x，x0，2ax，x0，若 f(1a)f(a1)，则 a 的值为12(3)(角度 3)设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1.701，0.93.10.901，d 不正确，故选 d(2)当 a1 时，代入不成立故 a 的值为12.(3)若 a0，则 f(a)112a7112a3，故3a0；若 a0，则 f(a)1 a1，解得 a1，故 0a1.综合可得3a0，a1)在区间32，0上有最大值 3 和最小值52，试求 a，b 的值分析本题易出现的错误有两个， 一个是二次函数 tx22x 在区间32，0上的范围求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认为 f(x)是单调递增函数解析设 tx22x，x32，0，由图象得 t1，0当 a1 时，f(t)atb 在1，0上为增函数，值域为1ab，1b，1ab52，1b3解得a2b2.当 0a1 和 0a0 且