2022版高中数学一轮复习高考大题强化练五解析几何综合问题理含解析新人教A版

1、高考大题高考大题强化强化练练( (五五) )解析几何综合问题解析几何综合问题1在平面直角坐标系中，已知点 a(2，0)，b(2，0)，动点 p 满足 kpakpb34.(1)求点 p 的轨迹方程 c；(2)过 f(1，0)的直线交曲线 c 于 m，n 两点，mn 的中点为 q，o 为坐标原点，直线 oq 交直线 x4 于点 e，求|ef|mn|的最小值【解析】(1)设 p(x，y)，根据题意有yx2yx234，化简得x24y231(y0)，所以点 p 的轨迹方程 c 为x24y231(y0)；(2)设直线方程为 xmy1，联立方程xmy1，3x24y212，消去 x 得：(3m24)y26my

2、90，设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，所以36m236(3m24)0，y1y26m3m24，y1y293m24，所以 x1x2m(y1y2)283m24，故点 q43m24，3m3m24，则|mn| 1m2|y1y2| 1m2（y1y2）24y1y212（m21）3m24，因为点 q43m24，3m3m24，所以直线 oq 的方程为 y3m4x，所以点 e 的坐标为(4，3m)，得到|ef| 329m23 1m2，所以|ef|mn|3 1m23m2412（m21）3m244 m21，令 1m2t，则 t1，所以|ef|mn|143t1t在1，)上单调递增，故 t1，即 m0 时，|ef

3、|mn|的值最小最小值为 1.2已知圆锥曲线x2my2n1 过点 a(1， 2 )，且过抛物线 x28y 的焦点 b.(1)求该圆锥曲线的标准方程；(2)设点 p 在该圆锥曲线上，点 d 的坐标为( |m| ，0)，点 e 的坐标为(0， |n| )，直线 pd 与 y轴交于点 m，直线 pe 与 x 轴交于点 n，求证：|dn|em|为定值【解析】(1)抛物线 x28y 的焦点 b(0，2)，将点 a(1， 2 )，b(0，2)代入方程得1m2n1，0m4n1，解得m2，n4，所以圆锥曲线的标准方程为x22y241；(2)由(1)可知，该圆锥曲线为椭圆，且 d( 2 ，0)，e(0，2)，设

4、椭圆上一点 p(x0，y0)，则直线 pd：yy0 x0 2(x 2 )，令 x0，得 ym 2y0 x0 2，所以|em|22y0 x0 2|；直线 pe：yy02x0 x2，令 y0，得 xn2x0y02，所以|dn|22x0y02|.所以|dn|em|22x0y02|22y0 x0 2|2y02 22x0y02|2x02 2 2y0 x0 2|2y02 22x0y022x02 2 2y0 x0 2|2（y202x204y04 2x02 2x0y04）x0y02x0 2y02 2|.因为点 p 在椭圆上，所以x202y2041，即 y202x204.代入上式得：|dn|em|2（44y04

5、 2x02 2x0y04）x0y02x0 2y02 2|2（4y04 2x02 2x0y08）x0y02x0 2y02 2|4 2 .故|dn|em|为定值3设点 m 和 n 分别是椭圆 c：x2a2y21(a0)上不同的两点，线段 mn 最长为 4.(1)求椭圆 c 的标准方程；(2)若直线 mn 过点 q(0，2)，且omon0，线段 mn 的中点为 p，求直线 op 的斜率的取值范围【解析】(1)因为线段 mn 最长为 4，所以 42a，即 a2，所以椭圆 c 的标准方程为x24y21.(2)由题意知，直线 mn 的斜率存在且不为 0，设其方程为 ykx2，联立ykx2，x24y21，整

6、理得(14k2)x216kx120，由(16k)24(14k2)1216(4k23)0，可得 k234.设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则 x1x216k14k2，x1x21214k2，所以 y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)444k214k2.因为omon0，所以 x1x2y1y21214k244k214k24（4k2）14k20，即 k24，故34k24.设直线 op 的斜率为 k，因为x214y211，x224y221，两式相减得y1y2x1x2x1x24（y1y2），所以 k14k，则 k2116k2164，112，故直线 op 的斜率的取值范围是36

7、，1818，36.4 已知 f1(1， 0)， f2(1， 0)， 点 d 是圆 o： x2y24 上一动点， 动点 e 满足2f e 22f d，点 p 在直线 ef1上，且 dpef2.(1)求点 p 的轨迹 c 的标准方程；(2)已知点 q 在直线 l：x40 上，过点 q 作曲线 c 的两条切线，切点分别为 m，n，记点 m，n 到直线 oq 的距离分别为 d1，d2，求|mn|d1d2的最大值，并求出此时 q 点的坐标【解析】(1)由2f e 22f d可知，d 为线段 ef2的中点，又 pdef2，故 pd 是线段ef2的垂直平分线， 则|pe|pf2|， 因为点 p 在直线 ef

8、1上， 所以|pf1|pf2|pf1|pe|ef1|2|od|42，由椭圆定义可知，点 p 的轨迹是以 f1(1，0)，f2(1，0)为焦点，以 4 为长轴长的椭圆，即 2a4，c1，所以 a2，b 3 ，另当点 d 坐标为(2，0)时，p 与 d 重合，不符合题意，所以轨迹 c 的标准方程为x24y231(x2)；(2)设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，q(4，t)，则曲线 c：x24y231 上点 m(x1，y1)处的切线 qm 的方程为xx14yy131，又切线 qm 过点 q(4，t)，所以 x1ty131，同理可得 x2ty231，故直线 mn 的方程为 xty31，所以由弦长公式可得|mn|1t29|y1y2|，因为直线 oq 的方程为 tx4y0，所以 d1|tx14y1|16t2，d2|tx24y2|16t2，又因为 m，n 在直线 oq 两侧，所以 d1d2|tx14y1|16t2|tx24y2|16t2|tx14y1tx24y2|16t2t234|y2y1|16t2，所以|mn|d1d21t