2022版高中数学一轮复习高考大题强化练三数列综合问题理含解析新人教A版

1、高考大题高考大题强化强化练练( (三三) )数列综合问题数列综合问题1已知数列an和bn，a12，1bn1an1，an12bn，(1)证明：1bn2是等比数列；(2)若 cnbnbn12n，求数列cn的前 n 项和 sn.【解析】(1)已知数列an和bn，a12，1bn1an1，an12bn，所以1bn12bn11，整理得1bn2121bn12，所以1bn2是以1b1212为首项，12为公比的等比数列；(2)由于1bn2是以1b1212为首项，12为公比的等比数列；所以 bn2n2n11，所以 cnbnbn12n12n1112n21，所以 sn122112311231124112n1112n2

2、11312n21.2已知an是等差数列，其前 n 项和为 sn，bn是正项递增的等比数列，且 a1b12，a3b3，s5b58.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记 tnanb1an1b2a1bn，nn*，求 tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，由题设知：22d2q2，5254d22q48，解得d0，q21或d3，q24，因为数列bn是正项递增的等比数列，所以d3，q2，所以 an23(n1)3n1，bn22n12n；(2)由(1)知 an3n1，bn2n，又 an1kbk3(n1k)12k(3n23k)2k，k1，2，n，所以 tn(3n1)21(

3、3n4)2222n，2tn(3n1)2252n22n1，两式相减得：tn2(3n1)3(22232n)2n26n2322（12n1）122n26n1052n1，所以 tn52n16n10.【加练备选拔高】已知数列an中,a1=1,an=2an+1-(nn*).(1)求证:数列2nan是等差数列,并求数列an的通项公式;(2)设 bn=,令bn的前 n 项和为 sn,求证:sn1.【解析】(1)因为 a1=1,an=2an+1-(nn*),两边同时乘以 2n,即有 2nan=2n+1an+1-1,即 2n+1an+1-2nan=1.又 21a1=2,所以数列2nan是首项为 2,公差为 1 的等

4、差数列,所以 2nan=n+1,故 an=.(2)由(1)知 bn=,所以 sn=1-1.3已知an满足 a12，an12an2n1.(1)证明an2n是等差数列；(2)求an的前 n 项和 sn；(3)若 bn1an11（n1）an，bn的前 n 项和是 tn，求证：tn12.【解析】(1)因为 an12an2n1，所以an12n1an2n1，又因为a1211，所以数列an2n是首项、公差均为 1 的等差数列；(2)由(1)可知：an2nn，所以 ann2n，又 sn121222n2n，2sn122(n1)2nn2n1，两式相减得：sn2222nn2n12（12n）12n2n1(1n)2n1

5、2，所以 sn(n1)2n12；(3)由(1)知 ann2n，所以 bn1an11（n1）an1（n1）2n11n（n1）2n1（n1）2n121n2n11（n1）2n11n2n1（n1）2n1，所以 tn11211222122213231n2n1（n1）2n1121（n1）2n112.4已知是锐角，tan 2 1，函数 f(x)x2tan 2xsin24，数列an的前 n 项和为 sn，且 2snf(n).数列bn是等比数列，b11，a5b23.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设数列anbn的前 n 项和为 tn，若 tnm 对一切的正整数 n 都成立，求 m 的最小值；(3)设数列

6、cn满足 cn3an2bn，且cn是递增数列，求实数的取值范围【解析】(1)因为是锐角，tan 2 1，所以 tan 22（ 21）1（ 21）21，24，sin241，所以 f(x)x2x，2snf(n)n2n，所以 snn2n2.所以当 n1 时，a1s11，当 n2 时，ansnsn1n2n2（n1）2（n1）2n，综合得 ann.设数列bn的公比为 q，因为 b11，a5b23，所以 b2a53532q，所以 bn2n1，所以 ann，bn2n1；(2)由(1)可得anbnn2n1，又 tn112021213122n2n1，12tn11212122(n1)12n1n2n，两式相减得：12tn112112212312n1n2n112n112n2n2(n2)12n，所以 tn4n22n1，因为 tn随 n 的增大而增大，