2022版高考数学一轮复习第六章不等式第三讲简单的线性规划学案新人教版

1、第三讲简单的线性规划知识梳理双基自测知识点一二元一次不等式表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中，直线axbyc0将平面内的所有点分成三类：一类在直线axbyc_0_上，另两类分居直线axbyc0的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足axbyc_0_，另一侧半平面的点的坐标满足axbyc_0在平面直角坐标系中表示直线axbyc0某一侧的平面区域且不含边界，作图时边界直线画成_虚线_，当我们在坐标系中画不等式axbyc0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成_实线_.知识点二二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定

2、域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含_等号_，则应把直线画成虚线；若不等式含有_等号_，把直线画成实线(2)特殊点定域，由于在直线axbyc0同侧的点，实数axbyc的值的符号都_相同_，故为确定axbyc的值的符号，可采用_特殊点法_，如取(0,0)、(0,1)、(1,0)等点由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的_公共部分_.知识点三线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的_不等式(组)_线性约束条件由x，y的_一次_不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数_解析式_，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的_一次_解析

3、式可行解满足约束条件的解_(x，y)_可行域所有可行解组成的_集合_最优解使目标函数取得_最大值_或_最小值_的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_最大值_或_最小值_问题1判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论把axbyc0或axbyckxb或ykxb，则区域为直线axbyc0上方(2)若y0表示的平面区域一定在直线axbyc0的上方()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线axbyc0同侧的充要条件是(ax1by1c)(ax2by2c)0，异侧的充要条件是(ax1by1c)(ax2by2c)0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示()(5)最

4、优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()(6)目标函数zaxby(a0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()题组二走进教材2(必修5p86t3改编)不等式组表示的平面区域是(c)解析x3y60表示直线x3y60左上方部分，xy20表示直线xy20及其右下方部分故不等式组表示的平面区域为选项c所示部分3(必修5p91练习t1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z2xy1的最大值、最小值分别是(c)a3，3b2，4c4，2d4，4解析作出可行域如图中阴影部分所示a(2，1)，b(1，1)，显然当直线l：z2xy1经过a时z取得最大值，且zmax4，当直线l过点b时，z取得

5、最小值，且zmin2，故选c题组三走向高考4(2020浙江，3,4分)若实数x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是(b)a(，4b4，)c5，)d(，)解析由约束条件画出可行域如图易知zx2y在点a(2,1)处取得最小值4，无最大值，所以zx2y的取值范围是4，)故选b5(2019北京)若x，y满足则yx的最小值为_3_，最大值为_1_.解析由线性约束条件画出可行域，为图中的abc及其内部易知a(1，1)，b(2，1)，c(2,3)设zyx，平移直线yx0，当直线过点c时，zmax321，当直线过点b时，zmin123.考点突破互动探究考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域自主练透例1 (

6、1)(2021郑州模拟)在平面直角坐标系xoy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的(c)(2)(2021四川江油中学月考)已知实数x，y满足线性约束条件则其表示的平面区域的面积为(d)abc9d(3)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(d)aab0a1c1ad0a1或a解析(1)|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含y轴的两个区域；|x|1表示x1所夹含y轴的区域故选c(2)线性约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中a(0,3)，b，c(3,0)，s|ab|oc|3，故选d(3)作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示且

7、作l1：xy0，l2：xy1，l3：xy.由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)即a的取值范围是00)最大值为5，取到最大值时的最优解是唯一的，则a的取值是(c)abcd1(2)变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于(c)a2b1c1d2解析(1)线性约束条件可化为作可行域如图所示目标函数zaxy可化为yaxz，因为yaxz表示斜率为a的直线，且a0，由图形可知当yaxz经过点c时，z取到最大值，这时点c坐标满足解得c点坐标为(4,3)，代入zaxy得到a.故选c(2)解法一：当

8、m0时，可行域(示意图m0时，可行域(示意图)如图中阴影部分所示若m2，则当直线z2xy过原点时，z最大，此时z0，不合题意(故选c)若0m2，则当直线z2xy过点a时z取最大值2，由得即a.2，解得m1.故选c解法二：画出约束条件的可行域，如图，作直线2xy2，与直线x2y20交于可行域内一点a(2,2)，由题知直线mxy0必过点a(2,2)，即2m20，得m1.故选c引申在本例(1)的条件下，若zaxy的最大值为4a3，则a的取值范围是_.名师点拨求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中求解步骤为：注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；在符合题意的可行域

9、里，寻求最优解也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应参数的值，然后进行检验，找出符合题意的参数值角度3线性规划中无穷多个最优解问题例4 (多选题)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(ad)a1bc1d2分析利用目标函数取得最大值的最优解有无数个，即目标函数对应的直线与可行域的边界重合解析作出可行域(如图)，为abc内部(含边界)由题设zyax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合由kab1，kac2，kbc可得a1或a2或a，验证：a1或a2时，成立；a时，不成立故选a、d引申若zyax取得最小值的最优解不唯一，则实数a的值

10、为_.变式训练1(1)(角度1)(2020课标，5分)若x，y满足约束条件则zx7y的最大值为_1_.(2)(角度2)(2021福建莆田模拟)若实数x，y满足约束条件，且目标函数zxy的最大值为2，则实数m_2_.(3)(角度3)已知实数x，y满足，若使得axy取得最小值的可行解有无数个，则实数a的值为_1或_.解析(1)作出可行域如图，由zx7y得y，易知当直线y经过点a(1,0)时，z取得最大值，zmax1701.(2)由线性约束条件画出可行域(如图所示)，目标函数zxy的最大值为2，由图形知zxy经过平面区域的a时目标函数取得最大值2，由，解得a(2,0)，2m0，则m2，故答案为2.(

11、3)作出可行域如图中阴影部分所示，记zaxyyaxz.当直线yaxz纵截距最大时，z最小，此时a1或.考点三线性规划的实际应用师生共研例5 (2020试题调研)某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品a，b，要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：因素产品a产品b备注研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030计划最大投资金额300万元产品重量(千克)105最大搭载质量110千克预计收益(万元)8060则使总预计收益达到最大时，a，b两种产品的搭载件数分别为(a)a9,4b8,5c9,5d8,4解

12、析设“神舟十一号”飞船搭载新产品a，b的件数分别为x，y，最大收益为z万元，则目标函数为z80x60y.根据题意可知，约束条件为不等式组所表示的可行域为图中阴影部分(包含边界)内的整数点，作出目标函数对应直线l，显然直线l过点m时，z取得最大值由解得故m(9,4)所以目标函数的最大值为zmax809604960，此时搭载产品a有9件，产品b有4件故选a名师点拨利用线性规划解决实际问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读，明确题意，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中要求其最值的量为z，起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x，y，并列出约束条件，写出目标函数(3)作图：准确作出可行域

13、，确定最优解(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈变式训练2(2016全国卷)某高科技企业生产产品a和产品b需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品a需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品b需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品a的利润为2 100元，生产一件产品b的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品a、产品b的利润之和的最大值为_216_000_元解析设生产产品a x件，产品b y件，依题意，得设生产产品a，产品b的利润之和为z元，则z

14、2 100x900y.画出可行域(如图)，易知最优解为则zmax216 000.名师讲坛素养提升非线性目标函数的最值问题例6 (1)(2016江苏高考)已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_.(2)(2021河南中原名校质量考评)若方程x2ax2b0的一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则的取值范围是(d)abcd分析(1)本题中x2y2的几何意义是点(x，y)到原点的距离的平方，不能遗漏平方(2)表示点(a，b)与(2,3)连线的斜率k，根据题意列出a、b应满足的约束条件，在此约束条件下求k的取值范围即可解析(1)不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2

15、,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示因为原点到直线2xy20的距离为，所以(x2y2)min，又当(x，y)取点(2,3)时，x2y2取得最大值13，故x2y2的取值范围是.(2)记f(x)x2ax2b，则由题意知即作出可行域如图中阴影部分所示由得c(3,1)，显然a(1,0)，b(2,0)表示点(a，b)与点(2,3)连线的斜率，由图可知当(a，b)取(1,0)时，1；当(a，b)取(3,1)时，的取值范围是，故选d引申在本例(1)条件下：x2(y1)2的最小值为2；的取值范围是_；的取值范围是_.解析由图可知当(x，y)取点(1,0)时，x2(y1)2取最小值2；表示点(x，y)与点(1

16、，1)连线的斜率由图可知当(x，y)取点(1,0)时，取最小值，当(x，y)取点(0,2)时，取最大值3，的取值范围是.12，表示(x，y)与点(3,1)连线的斜率，解得b(2,3)由图可知(x，y)取(1,0)时，取最小值，(x，y)取点(2,3)时，取最大值.的取值范围是.名师点拨非线性目标函数最值的求解(1)对形如z(xa)2(yb)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题(2)对形如z(ac0)型的目标函数，可先变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等(3)对形如z|axbyc|型的目标函数，可先求z1axby的取值范围，进而确定z|axbyc|的取值范围，也可变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线axbyc0的距离的倍的最值，或先求z1axbxc的取值范围，进而确定z|axbyc|的取值范围变式训练3(1)(2021百校联盟尖子生