2022版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第三讲第1课时三角函数公式的基本应用学案新人教版

1、第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式第一课时三角函数公式的基本应用知识梳理双基自测知识点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 2sin cos ；(2)cos 2 cos2sin2 2cos2 11 2sin2 ；(3)tan 2 (且k，kz)知识点三半角公式(不要求记忆)(1)sin ；(2)cos ；(3)tan .1降幂公式：cos2，sin2.2升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.3公式变形：tan tan tan()(1tan tan )tan；tancos ，sin 2，cos 2，1sin 2(sin co

2、s )2.4辅助角(“二合一”)公式：asin bcos sin()，其中cos ，sin .题组一走出误区1判断正误(正确的打“”错误的打“”)(1)存在实数，使等式sin ()sin sin 成立()(2)在锐角abc中，sin asin b和cos acos b大小不确定()(3)对任意角都有1sin 2.()(4)y3sin x4cos x的最大值是7.()(5)公式tan ()可以变形为tan tan tan ()(1tan tan )，且对任意角，都成立()解析根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(4)(5)是错误的，(1)(3)是正确的题组二走进教材2(必修4p131t5

3、改编)计算sin 43cos 13sin 47cos 103的结果等于(a)a. b c d解析原式sin 43cos 13cos 43sin 13sin(4313)sin 30.故选a.另解：原式cos 47cos 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60.故选a.3(必修4p135t5改编)cos2sin2(b)a. b c d解析cos2sin2cos .4(必修4p146a组t4改编)(1tan 17)(1tan 28)的值为(d)a1 b0 c1 d2解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17t

4、an 28112.故选d.题组三走向高考5(2020课标，13,5分)若sin x，则cos 2x .解析sin x，cos 2x12sin2x122.6(2020江苏，8,5分)已知sin2，则sin 2的值是 .解析sin2，sin 2.7(2020浙江，13,6分)已知tan 2，则cos 2 ，tan .解析因为tan 2，所以cos 2cos2sin2，tan.考点突破互动探究考点一三角函数公式的直接应用自主练透例1 (1)若cos ，是第三象限的角，则sin(c)a b c d(2)(2020全国9)已知2tan tan7，则tan (d)a2 b1 c1 d2(3)(2020甘肃

5、兰州一中高三上期中)若cos，则sin 2(d)a. b c d(4)(2020吉林百校联盟9月联考)已知tan b2tan a，且cos asin b，则cos (d)a b c d解析(1)因为cos ，是第三象限的角，所以sin ，所以sinsin cos cos sin .(2)本题考查两角和的正切公式的应用2tan tan7，2tan 7，2tan 2tan2 1tan 77tan ，即tan24tan 40，解得tan 2.(3)由三角函数的诱导公式得cos sin 2，所以sin 2coscos ，由二倍角公式可得sin 2cos 2cos21221.故选d.(4)由tan b2

6、tan a，可得cos asin b2sin acos b又cos asin b，sin acos b，则cossin(ab)sin acos bcos asin b.故选d.名师点拨(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二三角函数公式的逆用与变形用多维探究角度1公式的逆用例2 (1)在abc中，若tan atan btan atan b1，则cos c .(2)cos cos cos cos .(3) .(4)化简 1 .解析(1)tan(ab)1，tan c1，又c(0，)，c，cos c.(2)解法一：

7、cos cos cos cos cos cos cos.解法二：由sin 22sin cos ，得cos ，原式.(3).(4)1.角度2公式的变形应用例3 (1)(2020天津耀华中学模拟)已知sin()，sin()，则log ()2(b)a5 b4 c3 d2(2)(2020陕西吴起高级中学模拟)已知sin 2，则cos2(a)a. b c d解析(1)sin()，sin()，sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，sin cos ，cos sin ，5，log2log524，故选b.(2)sin 2，cos2，故选a.名师点拨(1)注意三角函数公式逆用和变形用

8、的2个问题公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式(2)熟记三角函数公式的2类变式和差角公式变形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos .tan tan tan()(1tan tan )倍角公式变形：降幂公式cos2，sin2，配方变形：1sin 2,1cos 2cos2，1cos 2sin2.变式训练1(1)(角度1)(多选题)(2020河北武邑中学调研)下列式子的运算结果为的是(abc)atan 25tan 35tan 25tan 3

9、5b2(sin 35cos 25cos 35cos 65)cd.(2)(角度2)(2018课标，15)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin() .解析(1)对于a，tan 25tan 35tan 25tan 35tan(2535)(1tan 25tan 35)tan 25tan 35tan 25tan 35tan 25tan 35.对于b,2(sin 35cos 25cos 35cos 65)2(sin 35cos 25cos 35sin 25)2sin 60.对于c，tan 60.对于d，tan .综上，式子的运算结果为的是abc.故选a、b、c.(2)本题主要考查同角三角函

10、数的平方关系与两角和的正弦公式由sin cos 1，cos sin 0，两式平方相加，得22sin cos 2cos sin 1，整理得sin().利用平方关系：sin2cos21，进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应熟练掌握.考点三角的变换与名的变换师生共研例4 (1)(2018课标全国，15)已知tan，则tan .(2)已知、，且cos ，cos()，则sin .(3)(2018课标全国，15)设为锐角，若cos，则sin的值为(b)a. bc d解析(1)本题主要考查两角差的正切公式解法一：tan tan.解法二：tan，解得tan .(2)因为已知，且cos ，cos()，

11、所以sin ，sin()，则sin sin ()sin()cos cos()sin .(3)为锐角，0，设，由cos，得sin ，sin 22sin cos ，cos 22cos21，sinsinsinsin 2cos cos 2sin .故选b.名师点拨(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2()()，()()，406020，2等(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦变式训练2(1)(2020全国，5)已知sin si

12、n1，则sin(b)a. b c d(2)已知tan，则cos2(b)a. b c d解析(1)解法一：本题考查两角和的正弦公式以及辅助角公式因为sin sinsin sin cos sin cos sin1，所以sin.故选b.解法二：由已知得sinsin1，sin1，sin.(2)由tan，解得tan ，所以cos2sin cos ，又sin cos ，故sin cos .名师讲坛素养提升辅助角公式的应用应用1求值例5 (2020届安徽江淮十校联考)已知cos，则cos xcos(c)a b c1 d1解析cos，cos xcoscos xcos xcos sin xsin cos xsi

13、n xcos1.应用2求最值例6 (2017全国)函数f(x)2cos xsin x的最大值为 .(2)函数f(x)2sin xcos x2sin2x的值域为3,1.分析(1)直接利用辅助角公式化为asin(x)；(2)高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用辅助角公式化为asin(x)解析(1)f(x)sin(x)(其中cos ，sin )，显然f(x)的最大值为.(2)f(x)sin 2xcos 2x1212sin1.显然f(x)max1，f(x)min3.故f(x)的值域为3,1应用3求单调区间例7 函数f(x)cos2xsin xcos x(x0，)的单调递减区间为(b)a. bc d解

14、析函数f(x)cos2xsin xcos xcos 2xsin 2xsin.由2k2x2k，kz，得kxk，kz.x0，当k0时，可得单调递减区间为，故选b.名师点拨用辅助角公式变形三角函数式时：(1)遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组；(2)遇高次时，要先降幂；(3)熟记以下常用结论：sin cos sin；sin cos 2sin；sin cos 2sin.变式训练3(1)(2020湖南浏阳一中期中)已知sincos ，则cos(c)a b c d(2)(2020北京，14)若函数f(x)sin(x)cos x的最大值为2，则常数的一个取值为 (取值满足2k(kz)即可).(3)已知函数f(x)sinsin xcos2x，则f(x)在上的增区间为(b)a. bc d分析(1)将sin展开后重组再用辅助角公式化简解析(1)sincos ，cos sin cos ，即sin cos sin cos ，即sin，coscossin，故选c.(2)本题考查三角恒等变换及辅助