2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练二十六应用举例课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练课时作业梯级练二十六二十六 应用举例应用举例【基础落实练】 （30 分钟 60 分）一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.一艘海轮从 a 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行,30 分钟后到达 b 处,在 c 处有一座灯塔,海轮在 a 处观察灯塔,其方向是南偏东 70,在 b 处观察灯塔,其方向是北偏东 65,那么 b,c 间的距离是()a.10海里b.10海里c.20海里d.20海里【解析】选 a.如图,由已知可得,bac=30,abc=105,ab=20 海里,从而acb=45.在abc 中,由正弦定理可得 bc=sin 30=10(海里).

2、2 甲船在岛的正南方 a 处， ab10 千米， 甲船以每小时 4 千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自 b 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()a514小时b57小时c145小时d75小时【解析】选 a.假设经过 x 小时两船相距最近，甲乙分别行至 c，d，如图所示：可知 bc104x，bd6x，cbd120，由余弦定理可得，cd2bc2bd22bcbdcos cbd(104x)236x22(104x)6x1228x220 x100，所以当 x514时两船相距最近3.(2021乐山模拟)台风中心从 a 地以每小时 20 千米

3、的速度向东北方向移动,离台风中心 30千米内的地区为危险区,城市 b 在 a 的正东方向 40 千米处,b 城市处于危险区内的持续时间为()a.0.5 小时b.1 小时c.1.5 小时d.2 小时【解析】选 b.根据题意画出相应的图形,如图所示.be=bf=30 km,abd 为等腰直角三角形且ab=40 km,由勾股定理得 ad=bd=20km,由 bdad,可得 ed=df,在 rtbed 中,由勾股定理得ed=10 km,所以 ef=2ed=20 km,因此 b 市处于危险区内的时间为 2020=1(h).4已知 a 船在灯塔 c 的北偏东 85方向且 a 到 c 的距离为 2 km，b

4、 船在灯塔 c 的西偏北 25方向且 b 到 c 的距离为 3km，则 a，b 两船的距离为()a 13kmb 15kmc2 3 kmd3 2 km【解析】选 a.画出图形如图所示，由题意可得acb(9025)85150，又 ac2，bc 3 .在abc 中，由余弦定理可得 ab2ac2bc22acbccos 15013，所以 ab 13 ，即 a，b 两船的距离为 13km.5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a处测得水柱顶端的仰角为45， 从点a沿北偏东30方向前进100m 到达点 b，在 b 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱

5、的高度是()a50 mb100 mc120 md150 m【解析】选 a.设水柱高度是 h，水柱底端为 c，则在abc 中，bac60，ach，ab100，bc 3 h，根据余弦定理得，( 3 h)2h210022h100cos 60，即 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得 h50(负值舍去)，故水柱的高度是 50 m二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6如图，某炮兵阵地位于 a 点，两观察所分别位于 c，d 两点已知acd 为正三角形，且 dc 3km，当目标出现在点 b 时，测得cdb45，bcd75，则炮兵阵地与目标的距离是_(保留 1 位小数)【解析】cbd

6、180bcdcdb60.在bcd 中，由正弦定理，得bdcd sin 75sin 606 22.在abd 中，adb4560105，由余弦定理，得ab2ad2bd22adbd cos 1053（ 6 2）242 3 6 226 2452 3 .所以 ab 52 3 2.9(km).所以炮兵阵地与目标的距离约是 2.9 km.答案：2.9 km7海轮“和谐号”从 a 处以每小时 21 海里的速度出发，海轮“奋斗号”在 a 处北偏东45的方向，且与 a 相距 10 海里的 c 处，沿东偏南 15的方向以每小时 9 海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为_小时【解析】设海轮

7、“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为 x 小时，如图，在abc 中，ac10 海里，ab21x 海里，bc9x 海里，acb120.由余弦定理得(21x)2100(9x)22109xcos120，整理，得 36x29x100，解得 x23或 x512(舍). 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为23小时答案：238长为 3.5 m 的木棒 ab 斜靠在石堤旁，木棒的一端 a 在离堤足 c 处 1.4 m 的地面上，另一端 b 在离堤足 c 处的 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值 tan_【解析】由已知，在abc 中，ab3.5 m，ac1.4 m，bc2.8

8、m，且acb.由余弦定理得 ab2ac2bc22acbccosacb，即 3.521.422.8221.42.8cos ()，解得 cos516，所以 sin23116，所以 tansincos2315.答案：2315三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 a 处测得山顶 p 在北偏东 15(bac15)方向上，匀速向北航行 20 分钟到达 b 处，测得山顶 p 位于北偏东 60方向上，此时测得山顶p 的仰角为 60，若山高为 23 千米，(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行 10 分钟到达 d 处，问此时山顶 p 位于 d 处的南偏

9、东什么方向？【解析】(1)在bcp 中，tan pbcpcbcbc2，在abc 中，由正弦定理得bcsin bacabsin bca2sin 15absin 45，所以 ab2( 3 1)，故船的航行速度是每小时 6( 3 1)千米(2)在bcd 中，由余弦定理得 cd 6 ，在bcd 中，由正弦定理得cdsin dbcbcsin cdbsin cdb22，所以山顶 p 位于 d 处南偏东 45方向10.如图,在一条海防警戒线上的点 a,b,c 处各有一个水声监测点,b,c 两点到 a 的距离分别为20 千米和 50 千米,某时刻,b 收到发自静止目标 p 的一个声波信号,8 秒后 a,c 同

10、时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒.(1)设 a 到 p 的距离为 x 千米,用 x 表示 b,c 到 p 的距离,并求 x 的值;(2)求 p 到海防警戒线 ac 的距离.【解析】(1)依题意,有 pa=pc=x,pb=x-1.58=x-12.在pab 中,ab=20,cospab=,同理在pac 中,ac=50,cospac=.因为 cospab=cospac,所以=,解得 x=31.经检验 x=31 符合题意.(2)作pdac 于d,在adp 中,由cospad=,得sinpad=,所以pd=pasinpad=31=4(千米),故静止目标 p 到海防警戒线

11、ac 的距离为 4千米.【素养提升练】 （20 分钟 35 分）1如图，要测量底部不能到达的某铁塔 ab 的高度，在塔的同一侧选择 c，d 两观测点，且在 c，d 两点测得塔顶的仰角分别为 45，30.在水平面上测得bcd120，c，d 两地相距 600 m，则铁塔 ab 的高度是()a120 2 mb480 mc240 2 md600 m【解析】选 d.设 abx，则 bcx，bd 3x，在bcd 中，由余弦定理知 cos 120bc2cd2bd22bccdx260023x22600 x12，解得 x600 m，(x300 舍去).故铁塔 ab 的高度为 600 m2如图，为了测量正在海面匀

12、速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离 1 千米的两个观察点 c，d，在某天 10：00 观察到该船在 a 处，此时测得adc30，2 分钟后该船行驶至 b 处，此时测得acb60，bcd45，adb60，则船速为_千米/分钟【解析】在bcd 中，bdc306090，cd1，bcd45，所以 bc 2 .在acd 中，cad180(604530)45，所以cdsin 45acsin 30，ac22.在abc 中，ab2ac2bc22acbccos 6032，所以 ab62，所以船速为62264千米/分钟答案：643.(5 分)如图,在四边形 abcd 中,abd=45,adb=30,bc=1,d

13、c=2,cosbcd=,则bd=;三角形 abd 的面积为.【解析】在bcd 中,由余弦定理可得 bd2=bc2+cd2-2bccdcosbcd=1+4-212 =4,则bd=2.在abd 中,bad=180-30-45=105,sin 105=sin(45+60)=+=.由正弦定理可得 ad=2(-1),则 sabd= 2(-1)2sin 30=-1,故 bd=2,abd 的面积为-1.答案:2-14已知岛 a 南偏西 38方向，距岛 a 3 海里的 b 处有一艘缉私艇岛 a 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛屿北偏西 22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5

14、小时能截住该走私船？【解析】如图，设缉私艇在 c 处截住走私船，d 为岛 a 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里， 则bc0.5x海里， ac5海里， 由已知， bac1803822120，由余弦定理得bc2ab2ac22abac cos120，所以 bc249，bc0.5x7，解得 x14.又由正弦定理得 sin abcacsin bacbc53275 314，所以abc38，又bad38，所以 bcad，所以缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5 小时截住该走私船5已知在东西方向上有 m，n 两座小山，山顶各有一个发射塔 a，b，塔顶 a，b 的海拔高度分别为

15、 am100 m 和 bn200 m， 一测量车在小山 m 的正南方向的点 p 处测得发射塔顶 a 的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100 3 m 后到达点 q，在点 q 处测得发射塔顶 b 处的仰角为，且bqa，经测量 tan2，求两发射塔顶 a，b 之间的距离【解析】在 rtamp 中，apm30，am100 m，所以 pm100 3 m.连接 qm，在pqm 中，qpm60，又 pq100 3 m，所以pqm 为等边三角形，所以 qm100 3 m在 rtamq 中，由 aq2am2qm2得 aq200 m.在 rtbnq 中，tan2，bn200 m，所以 bq100

16、 5 m，cos55.在bqa 中，ba2bq2aq22bqaq cos(100 5 )2，所以 ba100 5 .所以两发射塔顶 a，b 之间的距离是 100 5 m1如图，某人在垂直于水平地面 abc 的墙面前的点 a 处进行射击训练已知点 a 到墙面的距离为 ab，某目标点 p 沿墙面的射击线 cm 移动，此人为了准确瞄准目标点 p，需计算由点 a 观察点 p 的仰角的大小(仰角为直线 ap 与平面 abc 所成的角).若 ab15 m，ac25 m，bcm30，则 tan的最大值是()a305b3010c4 39d5 39【解析】选 d.由已知，在 rtabc 中，sin acbabac152535，则 cos acb45.作 phbc，垂足为 h，连接 ah，如图所示设 phx m，则 ch 3 x m，在ach 中，由余弦定理得 ah ac2ch22acchcos acb 6253x240 3x ，tan pahphah1625x240 3x31x0，当1x4 3125时，tan取得最大