2022版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十一讲导数的概念及运算学案新人教版VIP

1、第十一讲导数的概念及运算知识梳理双基自测知识点一导数的概念与导数的运算1函数的平均变化率一般地，已知函数yf(x)，把式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率，还可以表示为.2导数的概念(1)f(x)在xx0处的导数就是f(x)在xx0处的 瞬时变化率 ，记作：y|xx0或f(x0)，即f(x0) .(2)当把上式中的x0看作变量x时，f(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即yf(x) .3基本初等函数的导数公式(1)c 0 (c为常数)；(2)(xn) nxn1 (nq*)(3)(sin x) cos x ; (4)(cos x) sin x ；(5)(ax) axln a ; (6

2、)(ex) ex ；(7)(logax)； (8)(ln x) .4导数的运算法则(1)f(x)g(x) f(x)g(x) .(2)f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) .特别地：cf(x) cf(x) (c为常数)(3) (g(x)0).5复合函数的导数复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux .即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积知识点二导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)，切线方程为 yy

3、0f(x0)(xx0) .1.2f(x0)不一定为0，但f(x0)一定为0.3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)与f(x0)(x0为常数)表示的意义相同()(2)在曲线yf(x)上某点处的切线与曲线yf(x)过某点的切线意义相同()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲

4、线的切线()(5)cos .()(6)f(x0)f(x0).()(7)(2x)x2x1.()(8)ln(x).()解析(2)曲线yf(x)在点p(x0，y0)处的切线，点p在曲线上，而过点p(x0，y0)的切线，点p可以在曲线外(3)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点(4)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线(8)ln(x)(1).题组二走进教材2(选修22p18at4改编)计算：(1)(x43x31) 4x39x2 ；(2)(xex) exxex ；(3)(sin xcos x) cos 2x ；(4) .3(选修22p18at5改编)已知函数f(x)2xf(1)xln x，则f

5、(1)(c)ae b1 c1 de解析f(x)2f(1)ln x1，当x1时，f(1)2f(1)1，f(1)1，故选c.4(选修22p3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v 9.8t6.5 m/s，加速度a 9.8 m/s2.解析vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.题组三走向高考5(2020课标理，6,5分)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为(b)ay2x1 by2x1cy2x3 dy2x1解析本题考查导数的几何意义f(x)4x36x2，则f(1)2，易知f(1)1，由点斜式可

6、得函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为y(1)2(x1)，即y2x1.故选b.6(2019江苏，5分)在平面直角坐标系xoy中，点a在曲线yln x上，且该曲线在点a处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点a的坐标是 (e,1) .解析设a(x0，ln x0)，又y，则曲线yln x在点a处的切线方程为yln x0(xx0)，将(e，1)代入得，1ln x0(ex0)，化简得ln x0，解得x0e，则点a的坐标是(e,1)考点突破互动探究考点一导数的基本运算师生共研例1 (1)求下列函数的导数yln x；y(2x21)(3x1)；yxsincos；y；yln；ye2xc

7、os 3x.(2)若函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(3).分析直接求导；化简后再求导；利用商的导数运算法则求解；用复合函数求导法则求导(2)先求出f(1)得出导函数的解析式，再把x3代入导函数解析式得f(3)解析(1)y(ln x).因为y(2x21)(3x1)6x32x23x1，所以y(6x32x23x1)(6x3)(2x2)(3x)(1)18x24x3.另解：y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)4x(3x1)3(2x21)12x24x6x2318x24x3.因为yxsincosxsin x，所以yx1cos x.y.ylnln(12x2)，令u12x2，则yln由y

8、ln u与u12x2复合而成，yf(u)u(x)(12x2)(4x).y(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3x3e2xsin 3xe2x(2cos 3x3sin 3x)(2)对f(x)求导，得f(x)2f(1)x3，所以f(1)12f(1)3，解得f(1)，所以f(x)x3，将x3代入f(x)，可得f(3).名师点拨导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导(2)方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的

9、形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；复合函数：由外向内，层层求导变式训练1(1)填空若y(x1)(x2)(x3)，则y 3x212x11 ；若yexln x，则y ex；若ytan x，则y ；若y(x22x1)e2x，则y (3x2)e2x ；若y，则y .(2)(2020课标，15,5分)设函数f(x).若f(1)，则a 1 .(3)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1) 2 .(4)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1) 2 .解析(1)y(x23x2)(x3)x36x21

10、1x6，所以y3x212x11.yexln xexex.ytan x，y.y(x22x1)e2x(x22x1)(e2x)(2x2)e2x(x22x1)(e2x)(3x2)e2x.y.(2)f(x)，则f(1)，解得a1.(3)f(x)4ax32bx，因为f(x)为奇函数且f(1)2，所以f(1)2.故填2.(4)解法一：令tex，故xln t，所以f(t)ln tt，即f(x)ln xx，所以f(x)1，所以f(1)2.解法二：f(ex)1ex，f(1)f(e0)1e02.故填2.考点二导数的几何意义多维探究角度1求曲线的切线方程例2 已知曲线f(x)x3x，则(1)曲线在点(1,0)处的切线

11、方程为 2xy20 ；(2)曲线过点(1,0)的切线方程为 2xy20或x4y10 ；(3)曲线平行于直线5xy10的切线方程为 5xy40或5xy40.分析(1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得；(2)由于在点p处的切线平行于直线5xy10，则在点p处的切线斜率为5.解析f(x)3x21.(1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为kf(1)2.所求切线方程为y2(x1)，即2xy20.(2)设切点为p(x0，xx0)，则k切f(x0)3x1，所求切线方程为yxx0(3x1)(xx0)，又切线过点(1,0)，xx0(3x1)(1x0)解得x01或.故所求切线方程为y2(x1)

12、或y即2xy20或x4y10.(3)设切点坐标为(x0，xx0)，则k切3x15解得x0，故切点为(，)或(，)所以所求切线方程为y5(x)或y5(x)即5xy40或5xy40.名师点拨求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点p(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点p(x0，y0)的切线方程，在点p处的切线，一定是以点p为切点，过点p的切线，不论点p在不在曲线上，点p不一定是切点(2)在点p处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)求过点p的曲线的切线方程的步骤为：第一步：设出切点坐标p(x1，f(x1)；第二步：写出过p(x1，f(x1)的

13、切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点p的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点p(x0，y0)的切线方程注：也可利用f(x1)k切求切点坐标(x1，y1)，有几组解就有几条切线角度2求切点坐标例3 (2021郑州质量检测)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为(a)a3 b2 c1 d解析设切点坐标为(x0，y0)，且x00，由yx，得kx02，x03.角度3求参数的值(或范围)例4 (1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点a(1,3)，则2ab 1 .(2)函数f(x)ln xa

14、x的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是(b)a(，2 b(，2)c(2，) d(0，)解析(1)由题意知，yx3axb的导数为y3x2a，则由此解得k2，a1，b3，2ab1.(2)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解所以f(x)a2在(0，)上有解，则a2.因为x0，所以22，所以a的取值范围是(，2)变式训练2(1)(角度1)(2019全国卷，5分)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为(c)axy10 b2xy210c2xy210 dxy10(2)(角度1)过点(1，1)的曲线yx32x的切线方程为

15、xy20或5x4y10 .(3)(角度2)曲线y3ln xx2在点p0处切线方程为4xy10，则点p0的坐标是(c)a(0,1) b(1，1) c(1,3) d(1,0)(4)(角度3)(2019全国卷，5分)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则(d)aae，b1 bae，b1cae1，b1 dae1，b1解析(1)依题意得y2cos xsin x，y(2cos xsin x)2cos sin 2，因此所求的切线方程为y12(x)，即2xy210，故选c.(2)设p(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0)3x2.故切线方程为yy0(3x2)(xx0)即y(

16、x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)即xy20或5x4y10.(3)由题意知y14，解得x1，此时41y10，解得y3，故点p0的坐标是(1,3)(4)因为yaexln x1，所以yae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1，所以解得名师讲坛素养提升两曲线的公共切线问题例5 (2020黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b(c)a1 bc1ln 2 d12ln 2解析设ykxb与yln x2和yln(x1)的切点分别为(x1，ln x12)和(x2，ln(x21)则切线分别为yln x12(xx1)，yln(x21)(xx2)化简得yxln x11，yxln(x21)，依题意，解得x1，从而bln x111ln 2.故选c.引申本例中两曲线公切线方程为 y2x1ln 2 .解析k2，公切线方程为y2x1ln 2.名师点拨同时和曲线yf(x)、yg(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线设直线与曲线yf(x)切于(x1，f(x1)与曲线yg(x)切于(x2，g(x2)，则切线方程为yf(