2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练五十三直线与圆圆与圆的位置关系课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练课时作业梯级练五十三五十三直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1圆 x24xy20 与圆 x2y24x30 的公切线共有()a1 条b2 条c3 条d4 条【解析】选 d.x24xy20(x2)2y222，圆心坐标为(2，0)，半径为 2；x2y24x30(x2)2y212，圆心坐标为(2，0)，半径为 1，圆心距为 4，两圆半径的和为 3，因为 43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条2已知点(2a，b) (a0，b0)在圆 c：x2y24 和圆 m：(x2)2(y2)24 的公共弦所在直线上，则1a2

2、b的最小值为()a1b 2c4d8【解析】选 c.根据题意，圆 c：x2y24，圆 m：(x2)2(y2)24，则其公共弦的方程为 xy2，又由点(2a，b) (a0，b0)在两圆的公共弦上，则有 2ab2 则1a2b121a2b(2ab)124ba4ab12(44)4，当且仅当ba4ab且 2ab2，即 a12，b1 时取得最小值 4.3已知圆 c 的方程为(x3)2y21，若 y 轴上存在一点 a，使得以 a 为圆心、半径为 3 的圆与圆 c 有公共点，则 a 的纵坐标可以是()a1b3c5d7【解析】选 a.设a(0，y0)，两圆的圆心距dy2032，因为以a为圆心、半径为 3 的圆与圆

3、c有公共点，所以 31d312y20324，解得 7 y0 7 ，选项 b、c、d 不合题意4在平面直角坐标系内，过点 p(0，3)的直线与圆心为 c 的圆 x2y22x30 相交于 a，b两点，则abc 面积的最大值是()a2b4c 3d2 3【解析】选 a.过点 p(0，3)的直线与圆心为 c 的圆 x2y22x30 相交于 a，b 两点，当直线的斜率不存在时， 直线的方程为 x0， 在 y 轴上所截得的线段长为 d2 22122 3 ，所以 sabc122 3 1 3 .当直线的斜率存在时设圆心到直线的距离为 d，则所截得的弦长 l2 4d2.所以 sabc122 4d2d 4d2 d2

4、4d2d222，当且仅当 d 2 时成立所以abc面积的最大值为 2.5.在平面直角坐标系 xoy中,已知 a,b 两点在圆 x2+y2=1上,若直线 x+y-=0 上存在点 c,使abc 是边长为 1 的等边三角形,则点 c 的横坐标是 ()a.b.2c.d.【解析】选 c.如图所示,设点 c(x,-x),由abc 是边长为 1 的等边三角形,故四边形 aobc 为菱形,所以acb=aob=60,oac=obc=120,在oac 中,由余弦定理可得 oc2=oa2+ac2-2oaaccosoac,可得 oc2=12+12-211=3,即 oc=,所以=,解得 x=.二、填空题(每小题 5 分

5、，共 15 分)6.已知圆 c 的方程为(x-3)2+(y-4)2=1,过直线 l:3x+ay-5=0(a0)上任意一点作圆 c 的切线,若切线长的最小值为,则直线 l 的斜率为.【解析】设切线长最小时直线上对应的点为 p,则 pcl,又|cp|=,因为切线长的最小值为,故()2+1=,解得 a=4,故直线 l 的斜率为- .答案:-7点 p 在圆 c1：x2y28x4y110 上，点 q 在圆 c2：x2y24x2y10 上，则|pq|的最小值是_【解析】圆 x2y28x4y110 化为标准方程为(x4)2(y2)29，圆心为 c1(4，2)，半径为 3；圆 x2y24x2y10 化为标准方

6、程为(x2)2(y1)24，圆心为 c2(2，1)，半径为 2，所以两圆的圆心距为|c1c2|(24)2(12)2 369 453 5 5，所以两圆外离，所以|pq|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和，即 3 5 5.答案：3 5 58.已知点 m 在以 c1(a,a-2)为圆心,以 1 为半径的圆上,距离为 2的两点 p,q 在圆c2:x2+y2-8y+12=0 上,则的最小值为_.【解析】依题意,设 pq 中点为 d,则=+,=+,所以=-3,因为=1,所以 d 在以 1 为半径,以 c2为圆心的圆上,因为=3,所以=-,故-3=19-12.答案:19-12三、解答题(每小题 10 分，共

7、 20 分)9.已知圆 c 的方程为 x2+(y-4)2=4,点 o 是坐标原点,直线 l:y=kx 与圆 c 交于 m,n 两点.(1)求 k 的取值范围;(2)直线 l 能否将圆 c 分割成弧长之比为 13 的两段弧?若能,求出直线 l 的方程;若不能,请说明理由.【解析】(1)方法一:将 y=kx 代入圆 c 的方程 x2+(y-4)2=4,得(1+k2)x2-8kx+12=0.因为直线 l 与圆 c 交于 m,n 两点,所以=(-8k)2-412(1+k2)0,得 k23,(*)所以 k 的取值范围是(-,-)(,+).方法二:圆心到直线的距离 d=或 k-.(2)假设直线 l 将圆

8、c 分割成弧长之比为 13 的两段弧,则劣弧 mn 所对的圆心角mcn=90,由圆 c:x2+(y-4)2=4 知圆心 c(0,4),半径 r=2.在 rtmcn 中,可求弦心距 d=rsin 45=,故圆心 c(0,4)到直线 kx-y=0 的距离=,所以 1+k2=8,k=,经验证 k=满足不等式(*),故 l 的方程为 y=x.10已知点 a 的坐标为(2，0)，圆 c 的方程为 x2y24，动点 p 在圆 c 上运动，点 m 为 ap延长线上一点，且|ap|pm|.(1)求点 m 的轨迹方程(2)过点 q(3，4)作圆 c 的两条切线 qe，qf，分别与圆 c 相切于点 e，f，求直线

9、 ef 的方程，并判断直线 ef 与点 m 所在曲线的位置关系【解析】(1)设 m(x，y)，点 a 的坐标为(2，0)，动点 p 在圆 c 上运动，点 m 为 ap 延长线上一点，且|ap|pm|，则点 p 为 am 的中点，所以得 px22，y2代入圆 c 的方程 x2y24，得(x2)2y216.(2)过点 q(3，4)作圆 c 的两条切线 qe，qf，分别与圆 c 相切于点 e，f，则 qeec，qffc，则 qeqf，设圆 d 以 q 为圆心，以|qe|为半径，|oq|5，所以|qe| |oq|24 21 ，所以 d：(x3)2(y4)221.则 ef 为圆 d 与圆 c 的公共弦，

10、联立 c，d，作差得直线 ef 的方程：3x4y40，因为 d|234|3242254，所以相交1.(5 分)直线 l:x+ay=2 被圆 x2+y2=4 所截得的弦长为 2,则直线 l 的斜率为 ()a.b.-c.d.【解析】 选 d.可得圆心(0,0)到直线 l:x+ay=2 的距离 d=,由直线与圆相交可得,d2+3=22,可得 d=1,即 d=1,可得 a=,可得直线 l 的斜率为.2若圆 c1：(xm)2(y1)210(m0)始终平分圆 c2：(x1)2(y1)22 的周长，则直线 3x4y30 被圆 c1所截得的弦长为()a2 5b2 6c2 2d2 3【解析】选 b.由题意，联立

11、两圆方程(xm)2(y1)210，（x1）2（y1）22，可得相交直线方程为(22m)x4y9m20，又圆 c1平分圆 c2的周长，则有点(1，1)在直线上，代入直线方程，可得 m22m30，解得 m1 或 m3(舍)，故圆 c1为(x1)2(y1)210，c1的圆心到直线 3x4y30 的距离为 d1052 10 ，则所截得弦长为 l2 r2d22 6 .3(2020全国卷)已知m：x2y22x2y20，直线 l：2xy20，p 为 l 上的动点，过点 p 作m 的切线 pa，pb，切点为 a，b，当|pm|ab|最小时，直线 ab 的方程为()a2xy10b2xy10c2xy10d2xy1

12、0【解析】 选d.圆的方程可化为(x1)2(y1)24， 点 m到直线 l的距离为d|2112|2212 5 2，所以直线 l 与圆相离依圆的知识可知，四点 a，p，b，m 共圆，且 abmp，所以|pm|ab|2spam212|pa|am|2|pa|，而|pa|mp|24 ，当 mpl 时，|mp|min 5 ，|pa|min1，此时|pm|ab|最小所以 mp：y112(x1)即 y12x12，由y12x122xy20，解得x1y0.得 p(1，0)所以以 mp 为直径的圆的方程为 x2y2y10，两圆的方程相减可得：2xy10，即为直线 ab 的方程4已知圆 c：x2(y3)28 和动圆

13、 p：(xa)2y28 交于 a，b 两点(1)若直线 ab 过原点，求 a；(2)若直线 ab 交 x 轴于 q，当pqc 面积最小时，求|ab|.【解析】(1)由圆 c：x2(y3)28 和动圆 p：(xa)2y28，可得圆心坐标分别为 c(0，3)，p(a，0)，半径都是 r2 2 ，因为圆 c：x2(y3)28 和动圆p：(xa)2y28 交于 a，b 两点，可得圆心距小于半径之和，|pc|4 2 ，即 a29(4 2 )2，解得 23 a 23 ，又由两圆相减，可得公共弦直线 ab：6y92axa2，因为直线 ab 过原点，可得 a29，解得 a3，检验成立，所以实数 a 的值为3.

14、(2)由直线 ab：6y92axa2，令 y0，即2axa29，解得 xq12a9a，即 q12a9a ，0，则|pq|12a9a a|12|a9a|，所以 spqc12|pq|33212|a9a|92，当且仅当 a3 时取得等号，且满足 a( 23 ， 23 )，此时直线 ab：yx，又由圆心到直线距离为 d32，所以弦长为 28322 14 .所以当pqc 面积最小时，|ab|的值为 14 .5如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 a(0，3)，直线 l：y2x4，设圆 c 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆心 c 也在直线 yx1 上，过点 a 作圆 c 的切线，求切线方程；(2)

15、若圆 c 上存在点 m，使 ma2mo，求圆心 c 的横坐标 a 的取值范围【解析】(1)由y2x4，yx1，得圆心 c(3，2)，因为圆 c 的半径为 1，所以圆 c 的方程为：(x3)2(y2)21，显然切线的斜率一定存在，设所求圆 c 的切线方程为 ykx3，即 kxy30，所以|3k23|k211，所以 2k(4k3)0，所以 k0 或 k34.所以所求圆 c 的切线方程为 y3 或 3x4y120.(2)因为圆 c 的圆心在直线 l：y2x4 上，所以，设圆心 c 为(a，2a4)，则圆 c 的方程为(xa)2y（2a4）21.又因为 ma2mo，所以设 m 为(x，y)，则 x2（

16、y3）22 x2y2，整理得 x2(y1)24，设为圆 d.所以点 m 应该既在圆 c 上又在圆 d 上，即圆 c 和圆 d 有交点，所以|21|a2（2a4）（1）2|21|，由 5a212a80，得 ar，由 5a212a0，得 0a125.综上所述，a 的取值范围为0，125.【加练备选拔高】已知圆 m:x2+(y-2)2=1,点 p 是直线 l:x+2y=0 上的一动点,过点 p 作圆 m 的切线 pa,pb,切点为a,b.(1)当切线 pa 的长度为时,求点 p 的坐标;(2)若pam 的外接圆为圆 n,试问:当 p 运动时,圆 n 是否过定点?若过定点,求出所有的定点的坐标;若不过

17、定点,请说明理由;(3)求线段 ab 长度的最小值.【解析】(1)由题可知,圆 m 的半径 r=1,设 p(-2b,b),因为 pa 是圆 m 的一条切线,所以map=90,所以|mp|=2,解得 b=0 或 b= ,所以点 p 的坐标为 p(0,0)或 p.(2)设 p(-2b,b),因为map=90,所以经过 a,p,m 三点的圆 n 以 mp 为直径,其方程为(x+b)2+=,即(2x-y+2)b+(x2+y2-2y)=0,由解得或所以圆 n 过定点(0,2),.(3)因为圆n方程为(xb)2yb2224b2（b2）24，即x2y22bx(b2)y2b0，又圆m：x2y24y30，得圆m

18、与圆n相交弦ab所在直线方程为 2bx(b2)y2b30.点m(0，2)到直线ab的距离d15b24b4，所以相交弦长|ab|2 1d22115b24b42115b252165，所以当b25时ab有最小值112.1已知圆 o：x2y21，过直线 l：xy20 上第一象限内的一动点 m 作圆 o 的两条切线，切点分别为 a，b，过 a，b 两点的直线与坐标轴分别交于 p，q 两点，则opq 面积的最小值为()a1b12c14d18【解析】选 b.因为 a，b 为切点，所以 oaam，obbm，所以 o，a，m，b 四点共圆，设m(x0，y0)，则圆心 ox02，y02，方程为xx022yy022x20y204，整理得 x2y2xx0yy00，与圆 o：x2y21 的方程作差得 xx0yy0