2022高考数学统考一轮复习第二章函数导数及其应用第四节指数与指数函数教师文档教案文北师大版

1、第四节第四节指数与指数函数指数与指数函数授课提示：对应学生用书第 20 页基础梳理1根式(1)根式的概念若 xna，则 x 叫作 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nn.式子na叫作根式，这里 n 叫作根指数，a 叫作被开方数a 的 n 次方根的表示：xnaxna（当 n 为奇数且 nn时） ，na（当 n 为偶数且 nn时）.(2)根式的性质(na)na(nn)nana，n 为奇数，|a|a，a0，a，a0，n 为偶数.2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：amnnam(a0，m，nnn，且 n1)；负分数指数幂：a1amn1nam(a0，m，nnn，且 n1)；0 的正分数指数

2、幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars(a0，r，sqq)；(ar)sars(a0，r，sqq)；(ab)rarbr(a0，b0，rqq)3指数函数的图像及性质函数yax(a0，且 a1)图像0a1a1图像特征在 x 轴上方，过定点(0，1)当 x 逐渐增大时，图像逐渐下降当 x 逐渐增大时，图像逐渐上升性质定义域r r值域(0，)单调性减增函数值变化规律当 x0 时，y1当 x0 时，y1；当 x0 时，0y1当 x0 时，0y1；当 x0 时，y11一个关注点na开方化简，要看 n 的奇偶性2指数函数图像和性质的注意点(1)指数函数 yax(a0，

3、a1)的图像和性质与 a 的取值有关，应分 a1 与 0a1 来研究(2)画指数函数 yax(a0，且 a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1，1a .3指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图像，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 cd1ab.规律：在 y 轴右(左)侧图像越高(低)，其底数越大4指数函数图像的对称规律函数 yax的图像与 yax的图像关于 y 轴对称， yax的图像与 yax的图像关于 x 轴对称，yax的图像与 yax的图像关于坐标原点对称四基自测1(基础点：有理数指数幂运算)化

4、简(2)612(1)0的结果为()a9b7c10d9答案：b2(基础点：指数函数图像)函数 f(x)1ex的图像大致是()答案：a3(基础点：指数函数解析式)若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的图像经过点 a2，13 ，则 f(1)_答案： 34(易错点：指数函数性质)函数 y(ax1)ex过定点_答案：(0，1)授课提示：对应学生用书第 21 页考点一实数指数幂的化简与求值例(1)化简416x8y4(x0，y0)的结果为()a2x2yb2xyc4x2yd2x2y解析416x8y4(16x8y4)1424(x)8(y)4142414(x)814(y)4142(x)2(y)2x2y.答案d(

5、2)23502221412(0.01)0.5.解析原式1144912110012114231101161101615.破题技法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算性质来解答将本例(1)中的“x0，y0”去掉后，如何化简该式解析：416x8y42|x2y|2x2yy02x2yy0.考点二指数函数的图像及应用挖掘 1由解析式辨识图像/ 自主练透例 1(1)(2020河

6、北武邑中学调研)函数 ye|x1|的大致图像是()解析当 x1 时，y1，排除 c、d.当 x1 时，ye(x1)为减函数，排除 a.故选 b.答案b(2)函数 f(x)1e|x|的图像大致是()解析f(x)1e|x|是偶函数，图像关于 y 轴对称，又 e|x|1，所以 f(x)的值域为(，0，因此排除 b、c、d，只有 a 满足答案a(3)(2020浙江镇海中学检测)不论 a 为何值，函数 y(a1)2xa2恒过定点，则这个定点的坐标是()a(1，12)b(1，12)c(1，12)d(1，12)解析y(a1)2xa2a(2x12)2x，令 2x120，得 x1，故函数 y(a1)2xa2恒过

7、定点(1，12)答案c破题技法对于 yax(a0，a1)当 a(0，1)且 a 逐渐变大时，图像右端(第一象限逐渐变“高”)，图像逐渐接近 y1，当 a1 时，图像就是直线 y1.当 a(1，)时，a 逐渐变大，在第一象限内图像逐渐接近于 y 轴总之，图像过定点(0，1)，在第一象限内，逆时针方向看，底数逐渐变大挖掘 2利用图像研究问题/ 互动探究例 2(1)函数 f(x)axb的图像如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()aa1，b1，b0c0a0d0a1，b0解析由 f(x)axb的图像可以观察出，函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1.函数 f(x)axb的图

8、像是在 f(x)ax的图像的基础上向左平移得到的，所以 b0，故选 d.答案d(2)(2020衡水模拟)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_解析曲线|y|2x1 与直线 yb 的图像如图所示，由图可知：如果|y|2x1 与直线 yb没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1，1答案1，1破题技法与指数函数有关图像问题的求解方法(1)已知函数解析式判断其图像，一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应

9、注意分类讨论在例 2(2)中，将曲线变为 y|2x1|，与直线 yb 有且只有一个公共点，则 b 的取值范围是_解析：y|2x1|其图像如图所示，要使 yb 与曲线只有一个公共点必须 b1 或 b0，当 b0 或 b1 时，yb 与曲线只有一个公共点答案：01，)考点三指数函数的性质及应用挖掘 1指数型函数的定义域、值域/ 互动探究例 1(1)函数 y12x22x1的值域是()a(，4)b(0，)c(0，4d4，)解析设 tx22x1，则 y12t.因为 t(x1)222，y12t为关于 t 的减函数，所以 0y12t1224，故所求函数的值域为(0，4答案c(2)函数 y14x12x1 在

10、x3，2上的值域是_解析因为 x3，2，若令 t12x，则 t14，8.则 yt2t1t12234.当 t12时，ymin34；当 t8 时，ymax57.所以所求函数值域为34，57.答案34，571将本例(1)变为 y2，其值域如何？答案：14，)2将本例(1)变为 ya，其值域如何？答案：当 0a1，值域为0，1a2；当 a1 时，值域为1a2，挖掘 2比较指数幂的大小/ 互动探究例 2(1)已知 f(x)2x2x，a7914，b9715，clog279，则 f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()af(b)f(a)f(c)bf(c)f(b)f(a)cf(c)f(a)f(b)df(b

11、)f(c)9715b0，clog279bc，所以 f(c)f(b)f(a)选 b.答案b(2)设函数 f(x)x2a与 g(x)ax(a1 且 a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则 m(a1)0.2与 n1a0.1的大小关系是()amnbmncmndm n解析因为 f(x)x2a与 g(x)ax(a1 且 a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以 a2，所以 m(a1)0.21，n1a0.11，所以 mn，故选 d.答案d挖掘 3有关指数型的不等式求解/ 互动探究例 3(1)函数 f(x)3x2，x12x，x1，满足 f(f(a)2f(a)a 的取值范围是()aa23b23a1c0a

12、1da1解析f(x)3x2，x12x，x1，若 f(f(a)2f(a)，则 f(a)1，当 a1 时，3a21，3a3，a1 矛盾，当 a1 时，2a1，显然成立，故选 d.答案d(2)不等式 24 的解集为_解析不等式 24 可转化为 222，利用指数函数 y2x的性质可得，x2x2，解得1x2，故所求解集为x|1x2答案x|1x2破题技法1.形如 axab的不等式，借助于函数 yax的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0a1 两种情况讨论2形如 axb 的不等式，注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助于函数 yax的单调性求解3解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论4利用复合函数判断形如 yaf(x)的单调性，它的单调区间与 f(x)的单调区间有关5对于函数 yaf(x)和复合函数 yf(ax)的定义域、值域常利用换元法，其关键点：(1)函数 yaf(x)的定义域与 f(x)的定