2022高考数学统考一轮复习第八章平面解析几何第三节圆的方程教师文档教案文北师大版

1、第三节第三节圆的方程圆的方程授课提示：对应学生用书第 156 页基础梳理1圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2y2dxeyf0条件：d2e24f0圆心：d2，e2半径：r12d2e24f2.点与圆的位置关系点 m(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)点 m(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)点 m(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)点 m(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1方程 ax2bxycy2dxeyf

2、0 表示圆的充要条件：ac0，b0，且 d2e24f0.2以 a(x1，y1)，b(x2，y2)为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.四基自测1(基础点：圆的一般方程与标准方程的互化)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是()a(2，3)b(2，3)c(2，3)d.(2，3)答案：d2(基础点：求圆的方程)过点 a(1，1)，b(1，1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是()a(x3)2(y1)24b(x3)2(y1)24c(x1)2(y1)24d.(x1)2(y1)24答案：c3(基础点：求圆的方程)aob 中，a(4，0)，b(0，3)，o(0，0)，则aob

3、外接圆的方程为_答案：x2y24x3y04(易错点：二元二次方程表示圆的条件)若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则a 的取值范围是_答案：(2，23)授课提示：对应学生用书第 156 页考点一求圆的方程挖掘求圆的方程/ 自主练透例(1)圆心在 y 轴上，半径长为 1，且过点 a(1，2)的圆的方程是()ax2(y2)21bx2(y2)21c(x1)2(y3)21dx2(y3)24解析根据题意可设圆的方程为 x2(yb)21，因为圆过点 a(1，2)，所以 12(2b)21，解得 b2，所以所求圆的方程为 x2(y2)21.答案a(2)圆心在直线 x2y30 上，且过点 a(2，3

4、)，b(2，5)的圆的方程为_解析法一：几何法设点 c 为圆心，因为点 c 在直线 x2y30 上，所以可设点 c 的坐标为(2a3，a)又该圆经过 a，b 两点，所以|ca|cb|，即 （2a32）2（a3）2 （2a32）2（a5）2，解得 a2，所以圆心 c 的坐标为(1，2)，半径 r 10，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得（2a）2（3b）2r2，（2a）2（5b）2r2，a2b30，解得 a1，b2，r210，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法三：待定系数法设圆的一般方程为 x2y2dxeyf

5、0，则圆心坐标为d2，e2 ，由题意得d22e2 30，492d3ef0，4252d5ef0，解得 d2，e4，f5.故所求圆的方程为 x2y22x4y50.答案x2y22x4y50(3)在平面直角坐标系 xoy 中， 以点 a(1， 0)为圆心且与直线 mxy2m10(mr)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r|m02m1|1m2|m1|1m2（1m）21m212m1m2，因为 1m22m，所以2m1m21，所以 r 11 2，所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.答案(x1)2y22破题技法求圆的方程的方法方法解读适合题型

6、几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线题设条件中有明显的几何特征续表方法解读适合题型待定系数法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(xa)2(yb)2r2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程 x2y2dxeyf0；(2)由题目给出的条件，列出关于 a，b，r 或 d，e，f 的方程组；(3)解出 a，b，r 或 d，e，f，代入标准方程或一般方程

7、题设条件中有明显的代数特征1将本例(1)改为圆心在 y 轴上，且过点(3，1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是()ax2y210y0bx2y210y0cx2y210 x0dx2y210 x0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为 r，则 32(r1)2r2，解得 r5，可得圆的方程为 x2y210y0，故选 b.答案：b2本小题(3)改为：在平面直角坐标系 xoy 中，过点 a(1，0)作直线 mxy2m10(mr r)的垂线， 垂足为 b， 以 a， b 的连线段为直径的所有圆中， 半径最大的圆的一般方程为_解析：因为直线 mxy2m10(mr r)过定点c(2，1)，所以直径 a

8、b 的最大值为|ac| 2，所以所求半径最大的圆的标准方程为x322y12212，化为一般方程为 x2y23xy20.答案：x2y23xy20考点二与圆有关的轨迹问题挖掘 1直接法求与圆有关的轨迹方程/ 自主练透例 1已知点 m 与两个定点 o(0， 0)， a(3， 0)的距离的比为12， 则点 m 的轨迹方程为_解析设点 m(x，y)，由题意得x2y2（x3）2y212，整理得 x2y22x30.答案x2y22x30将本题改为“m 与 a(3，0)，o(0，0)距离之比为”，则动点 m 的轨迹方程是什么？其轨迹是什么图形解析：由题意得x2y2（x3）2y21，整理得(12)x2(12)y2

9、6x90.当1 时，轨迹方程为 x32，表示 oa 的垂直平分线当1 时，方程为(x312)2y292（12）2，表示为以(312，0)为圆心，半径为3|12|的圆挖掘 2相关点(代入法)求轨迹方程/ 自主练透例 2(1)点 p(4，2)与圆 x2y24 上任意一点连线的中点的轨迹方程是()a(x2)2(y1)21b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24d.(x2)2(y1)21解析设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则xx142，yy122，即x12x4，y12y2，代入 x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.答案a(2)已知圆 c：(x1)2(y1)29，过点 a(2，3)作圆 c 的任意弦，则这些弦的中点 p 的轨迹方程为_解析设 p(x，y)，圆心 c(1，1)因为 p 点是过点 a 的弦的中点，所以papc.又因为pa(2x，3y)，pc(1x，1y)所以(2x)(1x)(3y)(1y)0.所以点 p 的轨迹方程为x322(y2)254.答案x322(y2)254破题技法与圆有关的轨迹问题的四种求法将本例(1)变为 p(4，2)，a 是 x2y24 的动点m 是线段 pa 上的点满足|pm|ma|(0)，则动点 m