考研数学二真题与解析

1、2017年考研数学二真题与解析201年考研数学二真题一、选择题 18小题每小题分，共3分.若函数在处连续,则（a) （b） （c） （d)【详解】,，要使函数在处连续，必须满足所以应该选(a）2设二阶可导函数满足,且，则( )() （b） (c） （d)【详解】注意到条件，则知道曲线在上都是凹的，根据凹凸性的定义,显然当时，,当时，,而且两个式子的等号不是处处成立,否则不满足二阶可导.所以.所以选择（）当然,如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数,此时,可判断出选项(a),（），(d)都是错误的,当然选择(b）希望同学们在复习基础知识的同时,掌握这种做选择题的技巧.3.设数列收

2、敛，则(a）当时, (b）当时，(c）当时, (d）当时，【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有(d）是正确的其实此题注意，设，则分别解方程时，发现只有第四个方程有唯一解,也就是得到.4微分方程的特解可设为( )(a) (b）() （d）【详解】微分方程的特征方程为,有一对共轭的复数根所以不是特征方程的根,所以对应方程的特解应该设为；而是方程的单根，所以对应方程的特解应该设为;从而微分方程的特解可设为,应该选（c)设具有一阶偏导数，且对任意的都有,则( ）（a） （b)(c） (d)【详解】由条件对任意的都有可知对于是单调增加的,对就单调减少的.所以，只有第三个不等式可得正确结论（d

3、),应该选()6甲、乙两人赛跑,计时开始时，甲在乙前方10（单位:米)处，如图中,实线表示甲的速度曲线(单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线（单位：米秒）,三块阴影部分的面积分别为,计时开始后乙追上甲的时刻为，则( ）（a） （b）（c） (d）【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时,表示时刻内所走的路程.本题中的阴影面积分别表示在时间段内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在时乙追上甲,应该选(c).7设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得,则( )（a) (b）（c) (d)【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目可知所以，所以可知选择(b)8已知矩阵,则（a）相似，相似 （b)相

4、似,不相似(c)不相似,相似 （d）不相似,不相似【详解】矩阵的特征值都是是否可对解化,只需要关心的情况对于矩阵，秩等于1,也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是对于矩阵，,秩等于2 ,也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然不相似故选择(b）.二、填空题(本题共6小题，每小题4分,满分2分 把答案填在题中横线上)9曲线的斜渐近线为 解：,所以斜渐近线为1设函数由参数方程确定，则 【详解】，所以11 .【详解】12设函数具有一阶连续的偏导数,且已知,则 【详解】,所以,由,得，所以.3 【详解】交换二重积分的积分次序得:1.设矩

5、阵的一个特征向量为，则 .【详解】根据特征向量的定义，有,解得.三、解答题15.(本题满分10分）求极限【详解】令,则，16(本题满分10分）设函数具有二阶连续偏导数,，求,.【详解】，；.7.（本题满分1分）求【详解】由定积分的定义1（本题满分10分）已知函数是由方程【详解】在方程两边同时对求导,得 (1）在(1)两边同时对求导,得也就是令，得.当时,;当时，当时，函数取极大值;当时,函数取极小值.19.（本题满分10分)设函数在区间上具有二阶导数，且，证明：（)方程在区间至少存在一个实根;(2)方程在区间内至少存在两个不同实根证明：（1)根据的局部保号性的结论,由条件可知，存在，及，使得,

6、由于在上连续,且,由零点定理，存在，使得，也就是方程在区间至少存在一个实根;（2）由条件可知，由(1）可知，由洛尔定理，存在,使得;设，由条件可知在区间上可导,且，分别在区间上对函数使用尔定理,则存在使得，也就是方程在区间内至少存在两个不同实根20.（本题满分11分）已知平面区域,计算二重积分【详解】由于积分区域关于轴左右对称,所以由二重积分对称性可知.所以其中利用瓦列斯公式,知2.（本题满分11分）设是区间上的可导函数，且点是曲线上的任意一点，在点处的切线与轴相交于点，法线与轴相交于点若，求上的点的坐标满足的方程.【详解】曲线过点的切线方程为,令，得；曲线过点的法线方程为,令，得由条件,可得微分方程标准形为，是个一阶齐次型微分方程设,方程化为,整理,得分离变量,两边积分，得由初始条件,得,确定常数所以曲线的方程为.2.（本题满分11分）设三阶矩阵有三个不同的特征值,且(1）证明:；(2）若,求方程组的通解【详解】()证明:因为矩阵有三个不同的特征值，所以是非零矩阵,也就是假若时，则是矩阵的二重特征值,与条件不符合，所以有,又因为，也就是线性相关，,也就只有(）因为，所以的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于，所以基础解系为;又由，得非齐次方程组的特解可取为；方程组的通解为,其中为任意常数.（本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准形为