2022高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3命题及其关系充要条件学案文含解析新人教A版

1、1.3命题及其关系、充要条件必备知识预案自诊知识梳理1.命题概念用语言、符号或式子表达的,可以判断的陈述句特点(1)能判断真假;(2)陈述句分类命题、命题2.四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系(2)四种命题的真假关系互为逆否的两个命题(或).互逆或互否的两个命题真假性.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念pqp是q的条件,q是p的条件pq,且qpp是q的条件pq,且qpp是q的条件pqp是q的条件pq,且qpp是q的条件1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4.2.p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.其他情况依次类推.3.集合与充要条件:设p,

2、q成立的对象构成的集合分别为a,b,p是q的充分不必要条件ab;p是q的必要不充分条件ab;p是q的充要条件a=b.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)命题“若=4,则tan =1”的否命题是“若=4,则tan 1”.()(2)命题“若x2-3x+20,则x2或xb”是“ab1”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件4.已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有()a.0个b.1个c.2个d.3个5.命题“在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题

3、是.关键能力学案突破考点命题及其相互关系【例1】(1)已知原命题为“若an+an+1212(a+b)2,则xa2+b2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是()a.逆命题与否命题均为真命题b.逆命题为假命题,否命题为真命题c.逆命题为假命题,逆否命题为真命题d.否命题为假命题,逆否命题为真命题思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假?解题心得1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例即可.

4、3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.对点训练1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()a.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数b.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数c.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数d.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()a.真、假、真b.假、假、真c.真、真、假d.假、假、假考点充分条件、必要条件的判断(多考向探究)考向1定义法

5、判断【例2】(2020辽宁实验中学五模,文3)已知a为正数,则“a1”是“a-1a+log2a0”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件考向2集合法判断【例3】(2020山东烟台模拟,3)“a0,ax+1x”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件考向3等价转化法判断【例4】函数f(x)=log2x,x0,-2x+a,x0有且只有一个零点的充分不必要条件是()a.a0b.0a12c.12a1解题心得充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据pq,qp是否同时成立进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含

6、关系进行判断.(3)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充要条件为止.对点训练2(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a,br,则“ab”是“a|a|b|b|”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件(2)设p:关于x的方程4x-2x-a=0有解;q:关于x的不等式log2(x+a-2)0对于x0恒成立,则p是q的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件(3)(2020江苏镇江期末,3)使不等式1+1x0成立的一个充分不必要条件是()a.x-1b.x0c.x1d.-1x0考点

7、充分条件、必要条件的应用【例5】若不等式m-1xm+1成立的充分不必要条件是13xbab1,由ab1ab,故选d.4.b原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,故选b.5.在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面逆否命题是既否条件又否结论,故答案为:在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面.关键能力学案突破例1(1)a(2)a(1)从原命题的真假入手,由于an+an+12anan+112(a+b)2,则xa2+

8、b2”是假命题,原命题的逆否命题是假命题.原命题的逆命题“若xa2+b2,则x12(a+b)2”是真命题,原命题的否命题是真命题.故选a.对点训练1(1)c(2)b(1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.(2)先证原命题为真,当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,br),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=a2+b2,原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假,取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,其逆命题

9、为假,故其否命题也为假,故选b.例2c由a1,可得a-1a+log2a0,反之,令f(a)=a-1a+log2a=log2a-1a+1,易知函数f(a)在(0,+)上单调递增,又f(1)=0,所以要使a-1a+log2a0,则a1,所以“a1”是“a-1a+log2a0”的充要条件.故选c.例3a若x0,ax+1x,则ax+1xmin,因为x+1x2,当且仅当x=1x时,等号成立,所以a2,因为a|a2a|a2,所以“a0,ax+1x”的充分不必要条件,故选a.例4a因为函数f(x)过点(1,0),即x=1为f(x)的一个零点,所以函数f(x)有且只有一个零点函数y=-2x+a(x0)没有零点函数y=2x(x0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a0或a1.又因为a|a1,故选a.对点训练2(1)c(2)b(3)c(1)设f(x)=x|x|=x2,x0,-x2,xb,则f(a)f(b),即a|a|b|b|,反之也成立,所以“ab”是“a|a|b|b|”的充分必要条件,故选c.(2)若p成立,则a=4x-2x=2x-122-14,所以a-14,即a的取值范围为-14,+;若q成立,则x+a-21对x0恒成立,所以a3-x对x0恒成立,则a3.即a的取值范围为3,+).由于3,+)-14,+,所以p是q的必要不充分条件,故选b.(3)不等式1+1x0x+1x0(x+1)x0